Vzorce pro generování Pythagorovy trojice - Formulas for generating Pythagorean triples

Kromě Euklidova vzorce mnoho dalších vzorce pro generování Pytagorejské trojnásobky byly vyvinuty.

Euklidovy, Pythagorovy a Platónovy vzorce

Byly zde popsány Euklidovy, Pythagorovy a Platónovy vzorce pro výpočet trojic:

Níže uvedené metody se objevují v různých zdrojích, často bez uvedení původu.

Fibonacciho metoda

Leonardo z Pisy (C. 1170 - c. 1250) popsal tuto metodu^[1][2] pro generování primitivních trojic pomocí sekvence po sobě jdoucích lichých celých čísel ${displaystyle 1,3,5,7,9,11, ldots}$ a skutečnost, že součet prvního ${displaystyle n}$ pojmy této sekvence jsou ${displaystyle n ^ {2}}$. Li ${displaystyle k}$ je ${displaystyle n}$-tý člen této sekvence ${displaystyle n = (k + 1) / 2}$.

Vyberte libovolné liché čtvercové číslo ${displaystyle k}$ z této sekvence (${displaystyle k = a ^ {2}}$) a nechte tento čtverec být ${displaystyle n}$-tý člen posloupnosti. Také nechte ${displaystyle b ^ {2}}$ být součtem předchozího ${displaystyle n-1}$ podmínky, a nechme ${displaystyle c ^ {2}}$ být součtem všech ${displaystyle n}$ podmínky. Pak jsme to stanovili ${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ a vygenerovali jsme primitivní triple [a, b, c]. Tato metoda vytváří nekonečné množství primitivních trojic, ale ne všechny.

PŘÍKLAD: Vyberte ${displaystyle k = 9 = 3 ^ {2} = a ^ {2}}$. Toto liché čtvercové číslo je pátým členem posloupnosti, protože ${displaystyle 5 = n = (a ^ {2} +1) / 2}$. Součet předchozích 4 podmínek je ${displaystyle b ^ {2} = 4 ^ {2}}$ a součet všech ${displaystyle n = 5}$ podmínky je ${displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2}}$ dává nám ${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ a primitivní triple [a, b, c] = [3, 4, 5].

Průběh celých a zlomkových čísel

Německý matematik a mnich Michael Stifel zveřejnil následující metodu v roce 1544.^[3][4]

Zvažte postup celých a zlomkových čísel:${displaystyle 1 {frac {1} {3}}, {ext {}} 2 {frac {2} {5}}, {ext {}} 3 {frac {3} {7}}, {ext {}} 4 {frac {4} {9}}, ldots}$

Vlastnosti tohoto postupu jsou: (a) celá čísla jsou čísla běžné řady a mají jednotu jako svůj společný rozdíl; b) čitateli zlomků, připojeným k celým číslům, jsou také přirozená čísla; c) jmenovateli zlomků jsou lichá čísla, ${displaystyle 3, {ext {}} 5, {ext {}} 7, {ext {}} 9,}$ atd.

Chcete-li vypočítat Pythagorovu trojku, vyberte libovolný člen tohoto postupu a snižte jej na nevhodný zlomek. Vezměte si například výraz ${displaystyle 3 {frac {3} {7}}}$. Nevhodná frakce je ${displaystyle {frac {24} {7}}}$. Čísla 7 a 24 jsou strany, A a b, pravého trojúhelníku a přepona je o jednu větší než největší strana. Například:

${displaystyle 1 {frac {1} {3}} {ext {}} {xrightarrow {ext {yields}}} {ext {}} [3,4,5], {ext {2}} {frac {2} {5}} {ext {}} {xrightarrow {ext {yields}}} {ext {}} [5,12,13], {ext {3}} {frac {3} {7}} {ext {} } {xrightarrow {ext {yields}}} {ext {}} [7,24,25], {ext {4}} {frac {4} {9}} {ext {}} {xrightarrow {ext {yields} }} {ext {}} [9,40,41], {ext {}} ldots}$

Jacques Ozanam^[5] publikoval Stifelovu sekvenci v roce 1694 a přidal podobnou sekvenci ${displaystyle 1 {frac {7} {8}}, {ext {}} 2 {frac {11} {12}}, {ext {}} 3 {frac {15} {16}}, {ext {}} 4 {frac {19} {20}}, ldots}$ s pojmy odvozenými od ${displaystyle n + {frac {4n + 3} {4n + 4}}}$. Stejně jako dříve, chcete-li z této sekvence vyrobit trojnásobek, vyberte libovolný výraz a zredukujte jej na nevhodný zlomek. Čitatel a jmenovatel jsou strany, A a b, pravého trojúhelníku. V tomto případě je přepona vyrobeného trojnásobku (trojek) o 2 větší než větší strana. Například:

${displaystyle 1 {frac {7} {8}} {xrightarrow {ext {yields}}} [15,8,17], 2 {frac {11} {12}} {xrightarrow {ext {yields}}} [35 , 12,37], 3 {frac {15} {16}} {xrightarrow {ext {yields}}} [63,16,65], 4 {frac {19} {20}} {xrightarrow {ext {yields} }} [99,20 101], ldots}$

Společně sekvence Stifel a Ozanam produkují všechny primitivní trojky Platón a Pythagoras rodiny resp. The Fermat rodinu je třeba najít jinými způsoby.

S A kratší a b delší noha trojúhelníku:

${displaystyle {ext {Plato:}} c-b = 2, quad quad {ext {Pythagoras:}} c-b = 1, quad quad {ext {Fermat:}} vlevo | a-bight | = 1}$

Dicksonova metoda

Leonard Eugene Dickson (1920)^[6] připisuje si následující metodu pro generování Pythagorovských trojic. Najít celočíselná řešení ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}$, najít kladná celá čísla r, s, a t takhle ${displaystyle r ^ {2} = 2.}$ je perfektní čtverec.

Pak:

${displaystyle x = r + s ,,, y = r + t ,,, z = r + s + t.}$

Z toho vidíme, že ${displaystyle r}$ je jakékoli sudé celé číslo a to s a t jsou faktory ${displaystyle {frac {r ^ {2}} {2}}}$. Touto metodou lze najít všechny Pythagorovy trojice. Když s a t jsou coprime, trojice bude primitivní. Jednoduchý důkaz Dicksonovy metody představil Josef Rukavická (2013).^[7]

Příklad: Vyberte r = 6. Potom ${displaystyle {frac {r ^ {2}} {2}} = 18}$Tři páry faktorů po 18 jsou: (1, 18), (2, 9) a (3, 6). Všechny tři páry faktorů vytvoří trojice pomocí výše uvedených rovnic.

s = 1, t = 18 vytváří trojnásobek [7, 24, 25], protože X = 6 + 1 = 7,  y = 6 + 18 = 24,  z = 6 + 1 + 18 = 25.

s = 2, t = 9 vytváří trojnásobek [8, 15, 17], protože X = 6 + 2 = 8,  y = 6 +  9 = 15,  z = 6 + 2 + 9 = 17.

s = 3, t = 6 vytváří trojnásobek [9, 12, 15], protože X = 6 + 3 = 9,  y = 6 +  6 = 12,  z = 6 + 3 + 6 = 15. (od s a t nejsou coprime, tato trojice není primitivní.)

Zobecněná Fibonacciho sekvence

Metoda I

Pro čísla Fibonacci začínající na F₁ = 0 a F₂ = 1 a s každým následujícím Fibonacciho číslem, které je součtem předchozích dvou, lze vygenerovat sekvenci Pythagorových trojic počínaje od (A₃, b₃, C₃) = (4, 3, 5) prostřednictvím

${displaystyle (a_ {n}, b_ {n}, c_ {n}) = (a_ {n-1} + b_ {n-1} + c_ {n-1} ,, F_ {2n-1} -b_ {n-1} ,, F_ {2n})}$

pro n ≥ 4.

Metoda II

Pythagorovu trojku lze vygenerovat pomocí libovolných dvou kladných celých čísel pomocí následujících postupů s použitím zobecněného Fibonacciho sekvence.

Pro počáteční kladná celá čísla h_n a h_n+1, pokud h_n + h_n+1 = h_n+2 a h_n+1 + h_n+2 = h_n+3, pak

${displaystyle (2h_ {n + 1} h_ {n + 2}, h_ {n} h_ {n + 3}, 2h_ {n + 1} h_ {n + 2} + h_ {n} ^ {2})}$

je Pythagorova trojka.^[8]

Metoda III

Toto je a matice přístup založený na generování primitivních trojic s generalizovanými Fibonacciho sekvencemi.^[9] Začněte s maticí 2 × 2 a vložte dvě coprime pozitivní celá čísla (q, q ') v horní řadě. Vložte sudé celé číslo (pokud existuje) do levá ruka sloupec.

${displaystyle left [{egin {array} {* {20} c} q & {q '} ullet & ullet end {array}} ight]}$

Nyní použijte následující „Fibonacciho pravidlo“, abyste získali položky ve spodním řádku:

${displaystyle {egin {array} {* {20} c} q '+ q = p q + p = p'end {pole}} o vlevo [{egin {pole} {* {20} c} q & q' p & p'end {array}} ight]}$

Takové pole lze nazvat „Fibonacciho box“. Všimněte si, že q ', q, p, p' je zobecněná Fibonacciho sekvence. Vezmeme-li sloupec, řádek a úhlopříčku, získáme strany trojúhelníku [a, b, c], jeho oblast Aa jeho obvod P, stejně jako poloměry r_i jeho incircle a tři excircles jak následuje:

${displaystyle {egin {array} {l} a = 2qp b = q'p ' c = pp'-qq' = qp '+ q'p {ext {radii}} o (r_ {1} = qq ', r_ {2} = qp', r_ {3} = q'p, r_ {4} = pp ') A = qq'pp' P = r_ {1} + r_ {2} + r_ { 3} + r_ {4} konec {pole}}}$

Polohranné tečny v ostrých úhlech jsou q / str a q '/ p'.

PŘÍKLAD:

Použitím coprime celá čísla 9 a 2.

${displaystyle left [{egin {array} {* {20} c} 2 & 9 ullet & ullet end {array}} ight] o left [{egin {array} {* {20} c} 2 & 9 11 & 13end {array}} večer]}$

Produkty sloupců, řádků a úhlopříček jsou: (sloupce: 22 a 117), (řádky: 18 a 143), (úhlopříčky: 26 a 99), takže

${displaystyle {egin {array} {l} a = 2 (22) = 44 b = 117 c = (143-18) = (26 + 99) = 125 {ext {radii}} o (r_ { 1} = 18, čtyřkolka r_ {2} = 26, čtyřkolka r_ {3} = 99, čtyřkolka r_ {4} = 143) A = 18 (143) = 2574 P = (18 + 26 + 99 + 143) = 286end {pole}}}$

Polohranné tečny v ostrých úhlech jsou 2/11 a 9/13. Všimněte si, že pokud jsou zvolena celá čísla q, q ' nejsou coprime, stejný postup vede k neprimitivní trojce.

Pytagorovy trojice a Descartova kruhová rovnice

Tato metoda generování primitivní Pythagorovy trojice také poskytuje celočíselná řešení pro Descartova kruhová rovnice,^[9]

${displaystyle left (k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + k_ {4} ight) ^ {2} = 2 vlevo (k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2} ight),}$

kde celé číslo zakřivení k_i se získají vynásobením převrácené hodnoty každého poloměru plochou A. Výsledek je k₁ = pp ', k₂ = qp ', k₃ = q'p, k₄ = qq '. Zde je největší kruh považován za mající záporné zakřivení vzhledem k ostatním třem. Největší kruh (zakřivení k₄) může být také nahrazen menším kruhem s kladným zakřivením ( k₀ = 4pp '- qq' ).

PŘÍKLAD:

Pomocí plochy a čtyř poloměrů získaných výše pro primitivní triple [44, 117, 125] získáme následující celočíselná řešení Descartovy rovnice: k₁ = 143, k₂ = 99, k₃ = 26, k₄ = (- 18) a k₀ = 554.

Ternární strom: Generování všech primitivních pythagorejských trojic

Každý primitivní pythagorejský trojník odpovídá jednoznačně Fibonacciho krabici. Naopak každá Fibonacciho schránka odpovídá jedinečnému a primitivnímu pythagorovskému trojnásobku. V této části použijeme Fibonacciho box namísto primitivního trojnásobku, který představuje. Nekonečný ternární strom obsahující všechny primitivní trojice Pythagoreanů / Fibonacciho boxy lze sestrojit následujícím postupem.^[10]

Zvažte Fibonacciho box obsahující dvě, lichá, coprime celá čísla X a y v pravém sloupci.

${displaystyle left [{egin {array} {* {20} {c}} ullet & x ullet & yend {array}} ight]}$

Je vidět, že tato celá čísla lze také umístit následovně:

${displaystyle left [{egin {array} {* {20} {c}} ullet & x y & ullet end {array}} ight], left [{egin {array} {* {20} {c}} x & y ullet & ullet end {array}} ight], vlevo [{egin {array} {* {20} {c}} y & x ullet & ullet end {array}} ight]}$

což má za následek další tři platné Fibonacciho boxy obsahující X a y. Můžeme si představit první Box jako „rodiče“ následujících tří. Například pokud X = 1 a y = 3 máme:

${displaystyle left [{egin {array} {* {20} {c}} 1 & 1 2 & 3end {array}} ight] leftarrow {ext {parent}}}$

${displaystyle left [{egin {array} {* {20} {c}} 2 & 1 3 & 5end {array}} ight], left [{egin {array} {* {20} {c}} 1 & 3 4 & 5end {array} } ight], left [{egin {array} {* {20} {c}} 3 & 1 4 & 7end {array}} ight] leftarrow {ext {children}}}$

Každé „dítě“ je navíc rodičem dalších tří dětí, které lze získat stejným postupem. Pokračování tohoto procesu v každém uzlu vede k nekonečnému ternárnímu stromu obsahujícímu všechny možné Fibonacciho boxy nebo ekvivalentně k ternárnímu stromu obsahujícímu všechny možné primitivní trojice. (Zde zobrazený strom se liší od klasického stromu popsaného Berggrenem v roce 1934 a má mnoho různých teoreticko-číselných vlastností.) Porovnání: „Klasický strom“.^[11] Viz také Strom primitivních trojitých Pythagorejců.^[12]

Generování trojic pomocí kvadratických rovnic

Existuje několik metod pro definování kvadratické rovnice pro výpočet každé nohy Pythagorovy trojky.^[13] Jednoduchou metodou je úprava standardní euklidovské rovnice přidáním proměnné X ke každému m a n pár. The m, n pár je považován za konstantu, zatímco hodnota X se mění tak, aby vytvořila „rodinu“ trojic na základě vybrané trojice. Libovolný koeficient lze umístit před „X"hodnota buď m nebo n, což způsobí, že výsledná rovnice bude systematicky „přeskakovat“ přes trojky. Vezměme si například trojici [20, 21, 29], kterou lze vypočítat z Euklidových rovnic s hodnotou m = 5 a n = 2. Také libovolně vložte koeficient 4 před „X"v"m"termín.

Nechat ${displaystyle m_ {1} = (4x + m)}$ a nechte ${displaystyle n_ {1} = (x + n)}$

Proto nahrazení hodnot m a n:

${displaystyle {egin {aligned} {ext {Side}} A & = 2m_ {1} n_ {1} && = 2 (4x + 5) {ext {}} (x + 2) && = 8x ^ {2} + 26x +20 {ext {Side}} B & = m_ {1} ^ {2} -n_ {1} ^ {2} && = (4x + 5) ^ {2} - (x + 2) ^ {2} && = 15x ^ {2} + 36x + 21 {ext {Side}} C & = m_ {1} ^ {2} + n_ {1} ^ {2} && = (4x + 5) ^ {2} + (x +2) ^ {2} && = 17x ^ {2} + 44x + 29end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že původní trojnásobek obsahuje konstantní člen v každé z příslušných kvadratických rovnic. Níže je ukázkový výstup z těchto rovnic. Všimněte si, že účinek těchto rovnic je způsobitm"hodnota v Euklidových rovnicích se zvyšuje v krocích po 4, zatímco"n"přírůstky hodnoty o 1.

Pythagorovy trojice pomocí matic a lineárních transformací

Nechat [A, b, C] být primitivní trojnásobek s A zvláštní. Pak 3 nové trojice [A₁, b₁, C₁], [A₂, b₂, C₂], [A₃, b₃, C₃] mohou být vyrobeny z [A, b, C] použitím násobení matic a Berggrenova^[11] tři matice A, B, C. Trojnásobný [A, b, C] se nazývá rodič ze tří nových trojic ( děti). Každé dítě je samo rodičem dalších 3 dětí atd. Pokud jeden začíná primitivní trojicí [3, 4, 5], všechny primitivní trojice budou nakonec vytvořeny použitím těchto matic. Výsledek lze graficky vyjádřit jako nekonečno ternární strom s [A, b, C] v kořenovém uzlu. Stejného výsledku lze dosáhnout použitím Berggrensových tří lineární transformace je uvedeno níže.

${displaystyle {overset {A} {mathop {left [{egin {matrix} -1 & 2 & 2 -2 & 1 & 2 -2 & 2 & 3 end {matrix}} ight]}}} left [{egin {matrix} a b c end {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} a_ {1} b_ {1} c_ {1} end {matrix}} ight], quad {ext {}} {overet {B} {mathop {left [{egin {matrix} 1 & 2 & 2 2 & 1 & 2 2 & 2 & 3 end {matrix}} ight]}}} left [{egin {matrix} a b c end {matrix}} ight] = left [{egin { matrix} a_ {2} b_ {2} c_ {2} end {matrix}} ight], quad {ext {}} {přesahující {C} {mathop {left [{egin {matrix} 1 & -2 & 2 2 & -1 & 2 2 & -2 & 3end {matrix}} ight]}}} vlevo [{egin {matrix} a b cend {matrix}} ight] = vlevo [{egin {matrix} a_ {3} b_ {3} c_ {3} konec {matrix}} vpravo]}$

Berggrenovy tři lineární transformace jsou:

${displaystyle {egin {aligned} & {egin {matrix} -a + 2b + 2c = a_ {1} quad & -2a + b + 2c = b_ {1} quad & -2a + 2b + 3c = c_ {1} & quad o left [{ext {}} a_ {1}, {ext {}} b_ {1}, {ext {}} c_ {1} ight] end {matrix}} & {egin {matrix} + a + 2b + 2c = {{a} _ {2}} quad & + 2a + b + 2c = {{b} _ {2}} quad & + 2a + 2b + 3c = {{c} _ {2}} & quad o left [{ext {}} {{a} _ {2}}, {ext {}} {{b} _ {2}}, {ext {}} {{c} _ {2}} ight] end {matrix}} & {egin {matrix} + a-2b + 2c = {{a} _ {3}} quad & + 2a-b + 2c = {{b} _ {3}} quad & + 2a-2b + 3c = {{c} _ {3}} & quad o left [{ext {}} {{a} _ {3}}, {ext {}} {{b} _ {3}}, { ext {}} {{c} _ {3}} ight] end {matrix}} & end {zarovnáno}}}$

Alternativně lze také použít 3 různé matice nalezené Priceem.^[10] Tyto matice A ', B', C ' a jejich odpovídající lineární transformace jsou uvedeny níže.

${displaystyle {overset {{A} '} {mathop {left [{egin {matrix} 2 & 1 & -1 -2 & 2 & 2 -2 & 1 & 3end {matrix}} ight]}}} left [{egin {matrix} a b cend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} a_ {1} b_ {1} c_ {1} end {matrix}} ight], quad {ext {}} {overet {{B} '} {mathop {left [{egin {matrix} 2 & 1 & 1 2 & -2 & 2 2 & -1 & 3end {matrix}} ight]}}} left [{egin {matrix} a b c end {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} a_ {2} b_ {2} c_ {2} end {matrix}} ight], quad {ext {}} {overset {{C} '} {mathop {left [{egin { matrix} 2 & -1 & 1 2 & 2 & 2 2 & 1 & 3 end {matrix}} ight]}}} left [{egin {matrix} a b c end {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} a_ { 3} b_ {3} c_ {3} konec {matrix}} vpravo]}$

Cenové tři lineární transformace jsou

${displaystyle {egin {aligned} & {egin {matrix} + 2a + bc = a_ {1} quad & -2a + 2b + 2c = b_ {1} quad & -2a + b + 3c = c_ {1} & quad o left [{ext {}} a_ {1}, {ext {}} b_ {1}, {ext {}} c_ {1} ight] end {matrix}} & {egin {matrix} + 2a + b + c = a_ {2} quad & + 2a-2b + 2c = b_ {2} quad & + 2a-b + 3c = c_ {2} & quad o left [{ext {}} a_ {2}, {ext {} } b_ {2}, {ext {}} c_ {2} ight] end {matrix}} & {egin {matrix} + 2a-b + c = a_ {3} quad & + 2a + 2b + 2c = b_ {3} quad & + 2a + b + 3c = c_ {3} & quad o left [{ext {}} a_ {3}, {ext {}} b_ {3}, {ext {}} c_ {3} ight ] end {matrix}} & end {aligned}}}$

3 děti produkované každou ze dvou sad matic nejsou stejné, ale každá sada samostatně produkuje všechny primitivní trojice.

Například pomocí [5, 12, 13] jako rodiče získáme dvě sady tří dětí:

${displaystyle {egin {array} {ccc} & left [5,12,13ight] & A & B & C left [45,28,53ight] & left [55,48,73ight] & left [7,24,25ight] end {array} } quad quad quad quad quad quad {egin {array} {ccc} {} & left [5,12,13ight] & {} A '& B' & C ' left [9,40,41ight] & left [35,12, 37ight] & left [11,60,61ight] end {array}}}$

Plocha úměrná součtu čtverců

Všechny primitivní trojice s ${displaystyle b + 1 = c}$ a s A liché lze vygenerovat takto:^[14]

Pytagorejský trojnásobek	Poloobvod	Plocha	Poloměr kruhu	Poloměr kruhu
${displaystyle left (3,4,5ight)}$	1 + 2 + 3	${displaystyle 6 imes (1 ^ {2})}$	1	${displaystyle {frac {5} {2}}}$
${displaystyle left (5,12,13ight)}$	1 + 2 + 3 + 4 + 5	${displaystyle 6 imes (1 ^ {2} + 2 ^ {2})}$	2	${displaystyle {frac {13} {2}}}$
${displaystyle left (7,24,25ight)}$	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7	${displaystyle 6 imes (1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2})}$	3	${displaystyle {frac {25} {2}}}$
.......	.......	.......	.......	.......
${displaystyle left (a, {frac {a ^ {2} -1} {2}}, {frac {a ^ {2} +1} {2}} ight)}$	1 + 2 + ... + A	${displaystyle 6 imes left [1 ^ {2} + 2 ^ {2} + cdots + left ({frac {a-1} {2}} ight) ^ {2} ight]}$	${displaystyle left ({frac {a-1} {2}} ight)}$	${displaystyle {frac {c} {2}}}$

Věta o výčtu nadměrné výšky

Wade a Wade^[15] nejprve představil kategorizaci Pythagorových trojic podle jejich výšky, definované jako c - b, spojující 3,4,5 až 5,12,13 a 7,24,25 atd.

McCullough a Wade^[16] rozšířil tento přístup, který produkuje všechny Pythagorovy trojnásobky, když ${displaystyle k> {frac {h {sqrt {2}}} {d}}:}$ Napište kladné celé číslo h jako pq² s p bez čtverců a q pozitivní. Soubor d = 2pq -li p je liché nebo d= pq -li p je sudý. Pro všechny páry (h, k) kladných celých čísel, trojice jsou dány vztahem

${displaystyle (h + dk, dk + {frac {(dk) ^ {2}} {2h}}, h + dk + {frac {(dk) ^ {2}} {2h}}).}$

K primitivní trojici dochází, když gcd (k, h) = 1 a buď h = q² s q liché nebo h=2q².

Reference