Diophantus II.VIII - Diophantus II.VIII

Diophantus II.VIII: Průsečík přímky CB a kruhu dává racionální bod (X₀,y₀).

The osmý problém druhé knihy Diophantus je Aritmetika je rozdělit čtverec na součet dvou čtverců.

Řešení dané Diophantem

Diophantus vezme čtverec na 16 a vyřeší problém následujícím způsobem:^[1]

Rozdělit daný čtverec na součet dvou čtverců.
Rozdělit 16 na součet dvou čtverců.
Nechť je první součet ${displaystyle x ^ {2}}$ , a tedy druhý ${displaystyle 16-x ^ {2}}$ . Ten druhý má být čtverec. Tvořím druhou mocninu rozdílu libovolného násobku X zmenšena kořenem [16], tj. zmenšena o 4. Vytvořím například druhou mocninu 2X - 4. Je ${displaystyle 4x ^ {2} + 16-16x}$ . Dal jsem tento výraz rovný ${displaystyle 16-x ^ {2}}$ . Přidávám na obě strany ${displaystyle x ^ {2} + 16x}$ a odečíst 16. Tímto způsobem získám ${displaystyle 5x ^ {2} = 16x}$ , proto ${displaystyle x = 16/5}$ .
Jedno číslo je tedy 256/25 a druhé 144/25. Součet těchto čísel je 16 a každý součet je čtverec.

Geometrická interpretace

Geometricky můžeme tuto metodu ilustrovat nakreslením kruhu X² + y² = 4² a čára y = 2X - 4. Hledaný pár čtverců je tedy X₀² a y₀², kde (X₀, y₀) je bod, který není na y-osa, kde se přímka a kruh protínají. To je znázorněno na sousedním diagramu.

Zobecnění Diophantova řešení

Diophantus II.VIII: Zobecněné řešení, ve kterém strany trojúhelníku OAB tvoří racionální trojnásobek, pokud má čára CB racionální gradient t.

Můžeme zobecnit Diophantovo řešení k řešení problému pro jakýkoli daný čtverec, který budeme algebraicky reprezentovat jako A². Také od té doby Diophantus odkazuje na libovolný násobek X, vezmeme libovolný násobek tx. Pak:

{displaystyle {egin {aligned} & (tx-a) ^ {2} = a ^ {2} -x ^ {2} Rightarrow & t ^ {2} x ^ {2} -2atx + a ^ {2} = a ^ {2} -x ^ {2} Rightarrow & x ^ {2} (t ^ {2} +1) = 2atx Rightarrow & x = {frac {2at} {t ^ {2} +1}} {ext {or}} x = 0. end {aligned}}}

Proto zjistíme, že jeden ze sčítání je ${displaystyle x ^ {2} = vlevo ({frac {2at} {t ^ {2} +1}} vpravo) ^ {2}}$ a druhá je ${displaystyle (tx-a) ^ {2} = vlevo ({frac {a (t ^ {2} -1)} {t ^ {2} +1}} vpravo) ^ {2}}$ . Součet těchto čísel je ${displaystyle a ^ {2}}$ a každý součet je čtverec. Geometricky jsme protínali kruh X² + y² = A² s linkou y = tx - A, jak je znázorněno na sousedním schématu.^[2] Zapisováním délek OB, OA a AB stran trojúhelníku OAB jako uspořádané n-tice získáme trojnou

{displaystyle left [a; {frac {2at} {t ^ {2} +1}}; {frac {a (t ^ {2} -1)} {t ^ {2} +1}} včas]}

.

Specifického výsledku dosaženého Diophantem lze dosáhnout pořízením A = 4 a t = 2:

{displaystyle left [a; {frac {2at} {t ^ {2} +1}}; {frac {a (t ^ {2} -1)} {t ^ {2} +1}} ight] = vlevo [{frac {20} {5}}; {frac {16} {5}}; {frac {12} {5}} ight] = {frac {4} {5}} vlevo [5; 4; 3ight] .}

Vidíme, že Diophantovo konkrétní řešení je ve skutečnosti nenápadně maskované (3, 4, 5) trojné. Protože však trojice bude vždy racionální, pokud A a t jsou racionální, můžeme získat nekonečno racionálních trojic změnou hodnoty t, a tedy změnu hodnoty libovolného násobku X.

K dosažení algebraického řešení stačí pouze jeden další krok Platonická sekvence ${displaystyle [{frac {t ^ {2} +1} {2}}; t; {frac {t ^ {2} -1} {2}}]}$ a to znamená vynásobení všech stran výše uvedené trojice faktorem ${displaystyle quad {frac {t ^ {2} +1} {2a}}}$ . Všimněte si také, že pokud A = 1, strany [OB, OA, AB] se zmenší na

{displaystyle left [1; {frac {2t} {t ^ {2} +1}}; {frac {t ^ {2} -1} {t ^ {2} +1}} vpravo].}

V moderní notaci je to spravedlivé ${displaystyle (1, sin heta, cos heta),}$ pro θ zobrazené ve výše uvedeném grafu, napsané jako kotangens t θ / 2. V konkrétním příkladu, který uvedl Diophantus, t má hodnotu 2, libovolný multiplikátor X. Na zúčtovací jmenovatelé, tento výraz vygeneruje Pytagorejské trojnásobky. Zajímavé je, že libovolný multiplikátor X se stal základním kamenem výrazů generátoru.

Diophantus II.IX dosahuje stejného řešení ještě rychlejší cestou, která je velmi podobná výše uvedenému „obecnému řešení“. Problém je opět rozdělit 16 na dva čtverce.^[3]

Nechť je první číslo N a druhý libovolný násobek N zmenšen kořenem (z) 16. Například 2N - 4. Pak:
${displaystyle {egin {aligned} & N ^ {2} + (2N-4) ^ {2} = 16 Rightarrow & 5N ^ {2} + 16-16N = 16 Rightarrow & 5N ^ {2} = 16N Rightarrow & N = {frac {16} {5}} end {zarovnáno}}}$

Historická poznámka: Fermat slavný komentář, který se později stal Fermatova poslední věta se objeví mezi „Quaestio VIII“ a „Quaestio IX“ strana 61 vydání Arithmetica z roku 1670.

Viz také

Fermatova poslední věta a Diophantus II.VIII

Reference

^ Aritmetika, Diophantus. Kniha II, problém 8. Jak je parafrázováno na str. 24, Diophantus a Diophantine rovnice, Isabella Grigoryevna Bashmakova, aktualizoval Joseph Silverman, tr. z ruštiny Abe Shenitzer a Hardy Grant. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1997. ISBN 0-88385-526-7. Orig. hospoda. Moskva: Nauke, 1972. V citátu byl opraven překlep.
^ Bashmakova, s. 24–25.
^ Toto řešení je v číslování II.IX Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Sir Thomas Little Heath, Cambridge: University of Cambridge Press, 1885. V číslování Diophanti Alexandrini Opera Omnia cum Graecis Commentariis, vyd. a přeložil Paul koželužna „Leipzig: B. G. Teubner, 1893, je součástí II.VIII.

[1] Aritmetika, Diophantus. Kniha II, problém 8. Jak je parafrázováno na str. 24, Diophantus a Diophantine rovnice, Isabella Grigoryevna Bashmakova, aktualizoval Joseph Silverman, tr. z ruštiny Abe Shenitzer a Hardy Grant. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1997. ISBN 0-88385-526-7. Orig. hospoda. Moskva: Nauke, 1972. V citátu byl opraven překlep.

[2] Bashmakova, s. 24–25.

[3] Toto řešení je v číslování II.IX Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Sir Thomas Little Heath, Cambridge: University of Cambridge Press, 1885. V číslování Diophanti Alexandrini Opera Omnia cum Graecis Commentariis, vyd. a přeložil Paul koželužna „Leipzig: B. G. Teubner, 1893, je součástí II.VIII.

[1]

[2]

[3]