Hilbertsova věta 90 - Hilberts Theorem 90 - Wikipedia

v abstraktní algebra, Hilbertova věta 90 (nebo Satz 90) je důležitým výsledkem cyklická rozšíření z pole (nebo k jedné z jejích zobecnění), která vede k Kummerova teorie. Ve své nejzákladnější podobě uvádí, že pokud L/K. je cyklické rozšíření polí s Galoisova skupina G = Gal (L/K.) vygenerovaný prvkem ${ displaystyle sigma,}$ a pokud ${ displaystyle a}$ je prvek L z relativní norma 1, pak existuje ${ displaystyle b}$ v L takhle

${ displaystyle a = sigma (b) / b.}$

Věta odvozuje svůj název od skutečnosti, že se jedná o 90. větu v David Hilbert je slavný Zahlbericht (Hilbert1897, 1998 ), i když je to původně kvůli Kummer  (1855, str.213, 1861 ). Často obecnější věta kvůli Emmy Noetherová  (1933 ) dostává jméno s tím, že pokud L/K. je konečný Galoisovo rozšíření polí se skupinou Galois G = Gal (L/K.), poté první kohomologie skupina je triviální:

${ displaystyle H ^ {1} (G, L ^ { times}) = {1 }.}$

Příklady

Nechat L/K. být kvadratické rozšíření ${ displaystyle mathbb {Q} (i) / mathbb {Q}.}$ Skupina Galois je cyklická řádu 2, její generátor ${ displaystyle s}$ konající konjugací:

${ displaystyle s: c + di mapsto c-di.}$

Prvek ${ displaystyle x = a + bi}$ v L má normu ${ displaystyle x}$, tj. ${ displaystyle x ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$. Prvek normy jedna odpovídá racionálnímu řešení rovnice ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1}$ nebo jinými slovy bod s racionálními souřadnicemi na jednotkový kruh. Hilbertova věta 90 pak uvádí, že každý takový prvek y normy lze parametrizovat (s integrálemC, d) tak jako

${ displaystyle y = { frac {c + di} {c-di}} = { frac {c ^ {2} -d ^ {2}} {c ^ {2} + d ^ {2}}} + { frac {2cd} {c ^ {2} + d ^ {2}}} i}$

což lze považovat za racionální parametrizaci racionálních bodů na jednotkové kružnici. Racionální body ${ displaystyle (x, y) = (a / c, b / c)}$ na jednotkovém kruhu ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ odpovídají Pytagorovy trojice, tj. trojnásobek ${ displaystyle (a, b, c)}$ celých čísel vyhovujících ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}.}$

Kohomologie

Věta může být vyjádřena jako skupinová kohomologie: pokud L^× je multiplikativní skupina jakéhokoli (ne nutně konečného) rozšíření Galois L pole K. s odpovídající skupinou Galois G, pak

${ displaystyle H ^ {1} (G, L ^ { times}) = {1 }.}$

Další zobecnění pomocí neabelovská skupinová kohomologie uvádí, že pokud H je buď Všeobecné nebo speciální lineární skupina přes L, pak

${ displaystyle H ^ {1} (G, H) = {1 }.}$

Toto je zevšeobecnění od té doby ${ displaystyle L ^ { times} = operatorname {GL} _ {1} (L).}$ Další zobecnění je

${ displaystyle H _ {{ akutní {e}} t} ^ {1} (X, mathbb {G} _ {m}) = H ^ {1} (X, { mathcal {O}} _ {X } ^ { times}) = operatorname {Pic} (X)}$

pro X schéma a další Teorie Milnora K. hraje roli v Voevodského důkaz o Milnor domněnka.

Důkaz

Základní

Nechat ${ displaystyle L / K}$ být cyklický stupně ${ displaystyle n,}$ a ${ displaystyle sigma}$ generovat ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$. Vyberte libovolné ${ displaystyle a v L}$ normy

${ displaystyle N (a): = a sigma (a) sigma ^ {2} (a) cdots sigma ^ {n-1} (a) = 1.}$

Vyčištěním jmenovatelů, řešením ${ displaystyle a = x / sigma (x) v L}$ je to stejné, jako to ukázat ${ displaystyle a sigma ( cdot): L až L}$ má vlastní číslo ${ displaystyle 1}$. Rozšířit to na mapu ${ displaystyle L}$-vektorové mezery

${ displaystyle { begin {cases} 1_ {L} otimes a sigma ( cdot): L otimes _ {K} L až L otimes _ {K} L ell otimes ell ' mapsto ell otimes a sigma ( ell ') end {případy}}}$

Věta o primitivním prvku dává ${ displaystyle L = K ( alfa)}$ pro některé ${ displaystyle alpha}$. Od té doby ${ displaystyle alpha}$ má minimální polynom

${ displaystyle f (t) = (t- alfa) (t- sigma ( alpha)) cdots left (t- sigma ^ {n-1} ( alpha) right) v K [ t],}$

identifikujeme

${ displaystyle L otimes _ {K} L { stackrel { sim} { to}} L otimes _ {K} K [t] / f (t) { stackrel { sim} { to} } L [t] / f (t) { stackrel { sim} { to}} L ^ {n}}$

přes

${ Displaystyle ell otimes p ( alpha) mapsto ell left (p ( alpha), p ( sigma alpha), ldots, p ( sigma ^ {n-1} alpha) že jo).}$

Zde jsme napsali druhý faktor jako a ${ displaystyle K}$-polynom v ${ displaystyle alpha}$.

Pod touto identifikací naše mapa

${ displaystyle { begin {cases} a sigma ( cdot): L ^ {n} až L ^ {n} ell left (p ( alpha), ldots, p ( sigma ^ {n-1} alpha)) mapsto ell (ap ( sigma alpha), ldots, sigma ^ {n-1} ap ( sigma ^ {n} alpha) right) end { případy}}}$

To znamená pod touto mapou

${ displaystyle ( ell _ {1}, ldots, ell _ {n}) mapsto (a ell _ {n}, sigma a ell _ {1}, ldots, sigma ^ {n -1} a ell _ {n-1}).}$

${ displaystyle (1, sigma a, sigma a sigma ^ {2} a, ldots, sigma a cdots sigma ^ {n-1} a)}$ je vlastní vektor s vlastní hodnotou ${ displaystyle 1}$ iff ${ displaystyle a}$ má normu ${ displaystyle 1}$.

Reference

• Hilbert, David (1897), „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (v němčině), 4: 175–546, ISSN  0012-0456
• Hilbert, David (1998), Teorie algebraických číselných polí, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62779-1, PAN  1646901
• Kummer, Ernst Eduard (1855), „Uber eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.“, Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině), 50: 212–232, doi:10,1515 / crll.1855.50.212, ISSN  0075-4102
• Kummer, Ernst Eduard (1861), „Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, der Grad eine Primzahl ist“, Abdruck aus den Abhandlungen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (v němčině), přetištěno v 1. svazku jeho sebraných děl, strany 699–839
• Kapitola II J.S. Milne, Teorie pole třídy, k dispozici na jeho webových stránkách [1].
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, PAN  1737196, Zbl  0948.11001
• Noether, Emmy (1933), „Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.“, Mathematische Annalen (v němčině), 108 (1): 411–419, doi:10.1007 / BF01452845, ISSN  0025-5831, Zbl  0007.29501
• Snaith, Victor P. (1994), Struktura modulu GaloisMonografie Fields Institute, Providence, RI: Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-0264-X, Zbl  0830.11042

Externí odkazy