Ptolemysova věta - Ptolemys theorem - Wikipedia

Ptolemaiova věta je vztah mezi těmito délkami v cyklickém čtyřúhelníku.

v Euklidovská geometrie, Ptolemaiova věta je vztah mezi čtyřmi stranami a dvěma úhlopříčkami a cyklický čtyřúhelník (čtyřúhelník, jehož vrcholy leží na společném kruhu). Věta je pojmenována po řecký astronom a matematik Ptolemaios (Claudius Ptolemaeus).^[1] Ptolemaios použil teorém jako pomůcku při tvorbě jeho tabulka akordů, trigonometrická tabulka, kterou použil pro astronomii.

Pokud jsou vrcholy cyklického čtyřúhelníku A, B, C, a D v pořadí pak věta říká, že:

${ displaystyle | { overline {AC}} | cdot | { overline {BD}} | = | { overline {AB}} | cdot | { overline {CD}} | + | { overline { BC}} | cdot | { overline {AD}} |}$

kde svislé čáry označují délky úseček mezi pojmenovanými vrcholy. V kontextu geometrie se výše uvedená rovnost často píše jednoduše jako

${ displaystyle AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot AD}$

Tento vztah lze vyjádřit slovně takto:

Pokud je čtyřúhelník v kruhu popsatelný, pak součin délek jeho úhlopříček se rovná součtu součinů délek párů protilehlých stran.

Navíc konverzovat Ptolemaiovy věty platí také:

V případě čtyřúhelníku, pokud je součet součinů délek jeho dvou párů protilehlých stran roven součinu délek jeho úhlopříček, může být čtyřúhelník zapsán do kruhu, tj. Je to cyklický čtyřúhelník.

Příklady

Rovnostranný trojúhelník

Rovnostranný trojúhelník

Ptolemaiova věta dává jako důsledek pěknou větu^[2] týkající se rovnostranného trojúhelníku zapsaného do kruhu.

Dáno Rovnostranný trojúhelník vepsaný do kruhu a bodu na kruhu.

Vzdálenost od bodu k nejvzdálenějšímu vrcholu trojúhelníku je součtem vzdáleností od bodu k dvěma bližším vrcholům.

Důkaz: Okamžitě vyplývá z Ptolemaiovy věty:

${ displaystyle qs = ps + rs Rightarrow q = p + r.}$

Náměstí

Žádný náměstí lze vepsat do kruhu, jehož střed je středem čtverce. Pokud se společná délka jeho čtyř stran rovná ${ displaystyle a}$ pak se délka úhlopříčky rovná ${ displaystyle a { sqrt {2}}}$ podle Pythagorova věta a vztah zjevně platí.

Obdélník

Pythagorova věta: "manifestum est": Copernicus

Obecněji řečeno, pokud je čtyřúhelník a obdélník se stranami a a b a úhlopříčkou d pak se Ptolemaiova věta redukuje na Pythagorovu větu. V tomto případě se střed kruhu shoduje s průsečíkem úhlopříček. Součin úhlopříček je pak d², pravá strana Ptolemaiova vztahu je součet A² + b².

Copernicus - který ve své trigonometrické práci značně používal Ptolemaiovu větu - označuje tento výsledek jako „porism“ nebo samozřejmý důsledek:

Dále je jasné (manifest est), že když je daný akord, který subkrucuje oblouk, lze také najít tento akord, který subkutuje zbytek půlkruhu.^[3]

Pentagon

The Zlatý řez vyplývá z této aplikace Ptolemaiovy věty

Zajímavějším příkladem je vztah mezi délkou A strany a (společné) délky b z 5 akordů v pravidelném pětiúhelníku. Podle dokončení náměstí, vztah dává Zlatý řez:^[4]

${ displaystyle { begin {pole} {rl} b ! cdot ! b , ; ; qquad quad qquad = & ! ! ! ! a ! cdot ! a + a ! cdot ! b b ^ {2} ; ; - ab quad qquad = & ! ! a ^ {2} { frac {b ^ {2}} { a ^ {2}}} ; ; - { frac {ab} {a ^ {2}}} ; ; ; qquad = & ! ! ! { frac {a ^ {2 }} {a ^ {2}}} ({ frac {b} {a}}) ^ {2} - { frac {b} {a}} + ({ frac {1} {2} }) ^ {2} = & ! ! 1 + ({ frac {1} {2}}) ^ {2} ({ frac {b} {a}} - { frac {1} {2}}) ^ {2} = & ! ! Quad { frac {5} {4}} { frac {b} {a}} - { frac {1} {2}} ; ; ; = & ! ! ! ! pm { frac { sqrt {5}} {2}} { frac {b} {a}}> 0 , Rightarrow , varphi = { frac {b} {a}} = & ! ! ! ! { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} end {pole}}}$

Strana dekagonu

Strana vepsaného dekagonu

Pokud se nyní průměr AF nakreslí půlící DC tak, že DF a CF jsou strany c vepsaného dekagonu, lze znovu použít Ptolemaiovu větu - tentokrát na cyklický čtyřúhelník ADFC s průměrem d jako jedna z jeho úhlopříček:

${ displaystyle ad = 2bc}$

${ displaystyle Rightarrow reklama = 2 varphi ac}$ kde ${ displaystyle varphi}$ je zlatý řez.

${ displaystyle Rightarrow c = { frac {d} {2 varphi}}.}$^[5]

odkud se získá strana vepsaného dekagonu z hlediska průměru kruhu. Pythagorasova věta aplikovaná na AFD pravoúhlého trojúhelníku pak dává „b“ ve smyslu průměru a „a“ stranu pětiúhelníku ^[6] se poté vypočítá jako

${ displaystyle a = { frac {b} { varphi}} = b ( varphi -1).}$

Tak jako Copernicus (sleduje Ptolemaia) napsal:

„Je uveden průměr kruhu, který je dán, strany trojúhelníku, čtyřúhelníku, pětiúhelníku, šestiúhelníku a desetiúhelníku, které stejný kruh popisuje.“^[7]

Důkazy

Důkaz podobnosti trojúhelníků

Konstrukce pro důkaz Ptolemaiovy věty

Nechť ABCD je a cyklický čtyřúhelník.Na akord BC, vepsané úhly ∠BAC = ∠BDC a na AB, ∠ADB = ∠ACB.Construujte K na AC tak, že ∠ABK = ∠CBD; protože ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.

Nyní, společnými úhly △ ABK je podobný na △ DBC a podobně △ ABD je podobné △ KBC. AK / AB = CD / BD a CK / BC = DA / BD; ekvivalentně AK · BD = AB · CD a CK · BD = BC · DA .Přidáním dvou rovností máme AK · BD + CK · BD = AB · CD + BC · DA a faktorizací to dá (AK + CK) · BD = AB · CD + BC · DA. AK + CK = AC, takže AC · BD = AB · CD + BC · DA, Q.E.D.^[8]

Písemný důkaz platí pouze pro jednoduchý cyklické čtyřstěny. Pokud je čtyřúhelník samočinně křížený, pak K bude umístěno mimo úsečku AC. Ale v tomto případě AK − CK = ± AC, což dává očekávaný výsledek.

Důkaz trigonometrickými identitami

Nechte vepsané úhly podřízené ${ displaystyle AB}$, ${ displaystyle BC}$ a ${ displaystyle CD}$ být, respektive ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle beta}$ a ${ displaystyle gamma}$a poloměr kruhu je ${ displaystyle R}$, pak máme ${ displaystyle AB = 2R sin alfa}$, ${ displaystyle BC = 2R sin beta}$, ${ displaystyle CD = 2R sin gamma}$, ${ displaystyle AD = 2R sin (180 - ( alpha + beta + gamma))}$, ${ displaystyle AC = 2R sin ( alpha + beta)}$ a ${ displaystyle BD = 2R sin ( beta + gamma)}$a původní rovnost, která má být prokázána, se transformuje na

${ Displaystyle sin ( alpha + beta) sin ( beta + gamma) = sin alpha sin gamma + sin beta sin ( alpha + beta + gamma)}$

ze kterého je faktor ${ displaystyle 4R ^ {2}}$ zmizel vydělením obou stran rovnice.

Nyní pomocí součtových vzorců ${ displaystyle sin (x + y) = sin {x} cos y + cos x sin y}$ a ${ displaystyle cos (x + y) = cos x cos y- sin x sin y}$, je triviální ukázat, že obě strany výše uvedené rovnice jsou stejné

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & sin alpha sin beta cos beta cos gamma + sin alpha cos ^ {2} beta sin gamma + {} & cos alpha sin ^ {2} beta cos gamma + cos alpha sin beta cos beta sin gamma. end {zarovnáno}}}$

Q.E.D.

Zde je další, snad transparentnější důkaz pomocí rudimentární trigonometrie. Definujte nový čtyřúhelník ${ displaystyle ABCD '}$ zapsáno ve stejném kruhu, kde ${ displaystyle A, B, C}$ jsou sameas v ${ displaystyle ABCD}$, a ${ displaystyle D '}$, ležící na stejném akordu jako ${ displaystyle D}$, je definováno ${ displaystyle | { overline {AD '}} | = | { overline {AC}} |}$, ${ displaystyle | { overline {CD '}} | = | { overline {AD}} |}$. Pak, ${ displaystyle ABCD '}$ má stejné délky hran a následně stejné vepsané úhly podřízené odpovídajícími hranami, jako ${ displaystyle ABCD}$, pouze v jiném pořadí. To znamená ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle beta}$ a ${ displaystyle gamma}$, pro, respektive ${ displaystyle AB, BC}$ a ${ displaystyle AD '}$.Taky, ${ displaystyle ABCD}$ a ${ displaystyle ABCD '}$ mít stejnou oblast. Pak,

${ displaystyle { begin {aligned} Area (ABCD) & = { frac {1} {2}} AC cdot BD cdot sin ( alpha + gamma); Area (ABCD ') & = { frac {1} {2}} AB cdot AD ' cdot sin (180- alpha - gamma) + { frac {1} {2}} BC cdot CD' cdot sin ( alpha + gamma) & = { frac {1} {2}} (AB cdot CD + BC cdot AD) cdot sin ( alpha + gamma) end {zarovnáno}}}$.

Q.E.D.

Důkaz inverzí

Důkaz Ptolemaiovy věty prostřednictvím kruhová inverze

Vyberte pomocný kruh ${ displaystyle Gamma}$ poloměru ${ displaystyle r}$ se středem na D, vzhledem ke kterému je obvod ABCD obráceně do řádku (viz obrázek). Poté${ displaystyle A'B '+ B'C' = A'C '.}$Pak ${ displaystyle A'B ', B'C'}$ a ${ displaystyle A'C '}$ lze vyjádřit jako ${ displaystyle { frac {AB cdot DB ' cdot r ^ {2}} {DA}}}$, ${ displaystyle { frac {BC cdot DB ' cdot r ^ {2}} {DC}}}$ a ${ displaystyle { frac {AC cdot DC ' cdot r ^ {2}} {DA}}}$ resp. Vynásobení každého termínu ${ displaystyle { frac {DA cdot DC} {DB ' cdot r ^ {2}}}}$ a pomocí ${ displaystyle { frac {DC '} {DB'}} = { frac {DB} {DC}}}$ přináší Ptolemaiovu rovnost.

Q.E.D. Všimněte si, že pokud čtyřúhelník není cyklický, pak A ', B' a C 'tvoří trojúhelník a tudíž A'B' + B'C '> A'C', což nám dává velmi jednoduchý důkaz Ptolemaiovy nerovnosti, který je uveden níže .

Důkaz pomocí komplexních čísel

Nechte ABCD uspořádat ve směru hodinových ručiček kolem kruhu dovnitř ${ displaystyle mathbb {C}}$ identifikací ${ displaystyle A mapsto z_ {A}, ldots, D mapsto z_ {D}}$ s ${ displaystyle z_ {A}, ldots, z_ {D} in mathbb {C}}$. Z polární forma komplexního čísla ${ displaystyle z = vert z vert e ^ {i arg (z)}}$, následuje

${ displaystyle úhel ABC = arg (z_ {C} -z_ {B}) - arg (z_ {A} -z_ {B}) { pmod {2 pi}}, quad}$ a

${ displaystyle úhel CDA = arg (z_ {A} -z_ {D}) - arg (z_ {C} -z_ {D}) { pmod {2 pi}}}$.

Protože opačné úhly v cyklickém čtyřúhelníku součet k ${ displaystyle pi}$, následuje

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 0 & = pi + úhel ABC + úhel CDA { pmod {2 pi}} & = arg (-1) + left [ arg (z_ {C} -z_ {B}) - arg (z_ {A} -z_ {B}) vpravo] + vlevo [ arg (z_ {A} -z_ {D}) - arg (z_ {C} -z_ {D}) right] { pmod {2 pi}} & = arg left [(z_ {A} -z_ {D}) (z_ {B} -z_ {C}) right] - arg left [(z_ {A} -z_ {B}) (z_ {C} -z_ {D}) right]. end {zarovnáno}}}$

Proto nastavte ${ displaystyle varphi = - arg left [(z_ {A} -z_ {B}) (z_ {C} -z_ {D}) right] = - arg left [(z_ {A} - z_ {D}) (z_ {B} -z_ {C}) doprava],}$aby

${ displaystyle left | (z_ {A} -z_ {B}) (z_ {C} -z_ {D}) right | = (z_ {A} -z_ {B}) (z_ {C} -z_ {D}) e ^ {i varphi}, quad}$ a

${ displaystyle left | (z_ {A} -z_ {D}) (z_ {B} -z_ {C}) right | = (z_ {A} -z_ {D}) (z_ {B} -z_ {C}) e ^ {i varphi}}$.

Tudíž,

${ displaystyle { begin {aligned} { overline {AB}} cdot { overline {CD}} + { overline {AD}} cdot { overline {BC}} & = left | z_ {A } -z_ {B} doprava | doleva | z_ {C} -z_ {D} doprava | + doleva | z_ {A} -z_ {D} doprava | doleva | z_ {B} -z_ { C} right | & = left | (z_ {A} -z_ {B}) (z_ {C} -z_ {D}) right | + left | (z_ {A} -z_ {D }) (z_ {B} -z_ {C}) doprava | & = (z_ {A} -z_ {B}) (z_ {C} -z_ {D}) e ^ {i varphi} + (z_ {A} -z_ {D}) (z_ {B} -z_ {C}) e ^ {i varphi} & = (z_ {A} -z_ {C}) (z_ {B} - z_ {D}) e ^ {i varphi} & = left | (z_ {A} -z_ {C}) (z_ {B} -z_ {D}) e ^ {i varphi} vpravo | & = left | z_ {A} -z_ {C} left | right | z_ {B} -z_ {D} right | left | e ^ {i varphi} right | & = { overline {AC}} cdot { overline {BD}} end {aligned}}}$

kde předposlední rovnost vyplývá ze skutečnosti, že kvantita je již skutečná a pozitivní.Q.E.D.

Dodatky

${ displaystyle | S_ {1} | = sin ( theta _ {1})}$

Dodatek 1: Pythagorova věta

V případě kruhu jednotkového průměru po stranách ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, S_ {4}}$ kteréhokoli cyklického čtyřúhelníku ABCD jsou číselně stejné jako sinusy úhlů ${ displaystyle theta _ {1}, theta _ {2}, theta _ {3}}$ a ${ displaystyle theta _ {4}}$ které nahrazují. Podobně jsou úhlopříčky rovny sinu součtu kteréhokoli z nich pár úhlů, které subtilují. Můžeme pak napsat Ptolemaiovu větu v následující trigonometrické formě:

${ displaystyle sin theta _ {1} sin theta _ {3} + sin theta _ {2} sin theta _ {4} = sin ( theta _ {1} + theta _ {2}) sin ( theta _ {1} + theta _ {4})}$

Použití určitých podmínek na podřízené úhly ${ displaystyle theta _ {1}, theta _ {2}, theta _ {3}}$ a ${ displaystyle theta _ {4}}$ pomocí výše uvedeného jako výchozího bodu je možné odvodit řadu důležitých důsledků. V následujícím textu je třeba mít na paměti součet úhlů ${ displaystyle theta _ {1} + theta _ {2} + theta _ {3} + theta _ {4} = 180 ^ { circ}}$.

Důsledek 1. Pythagorova věta

Nechat ${ displaystyle theta _ {1} = theta _ {3}}$ a ${ displaystyle theta _ {2} = theta _ {4}}$. Pak ${ displaystyle theta _ {1} + theta _ {2} = theta _ {3} + theta _ {4} = 90 ^ { circ}}$(protože opačné úhly cyklického čtyřúhelníku jsou doplňkové). Pak:^[9]

${ displaystyle sin theta _ {1} sin theta _ {3} + sin theta _ {2} sin theta _ {4} = sin ( theta _ {1} + theta _ {2}) sin ( theta _ {1} + theta _ {4})}$

${ displaystyle sin ^ {2} theta _ {1} + sin ^ {2} theta _ {2} = sin ^ {2} ( theta _ {1} + theta _ {2}) }$

${ displaystyle sin ^ {2} theta _ {1} + cos ^ {2} theta _ {1} = 1}$

Důsledek 2. Zákon kosinů

Důsledek 2: zákon kosinů

Nechat ${ displaystyle theta _ {2} = theta _ {4}}$. Obdélník důsledku 1 je nyní symetrický lichoběžník se stejnými úhlopříčkami a dvojicí stejných stran. Délka rovnoběžek se liší o ${ displaystyle 2x}$ jednotky kde:

${ displaystyle x = S_ {2} cos ( theta _ {2} + theta _ {3})}$

V tomto případě bude snazší vrátit se ke standardnímu výroku Ptolemaiově věty:

${ displaystyle { begin {array} {lcl} S_ {1} S_ {3} + S_ {2} S_ {4} = { overline {AC}} cdot { overline {BD}} Rightarrow S_ {1} S_ {3} + {S_ {2}} ^ {2} = { overline {AC}} ^ {2} Rightarrow S_ {1} [S_ {1} -2S_ {2} cos ( theta _ {2} + theta _ {3})] + {S_ {2}} ^ {2} = { overline {AC}} ^ {2} Rightarrow {S_ {1}} ^ {2} + {S_ {2}} ^ {2} -2S_ {1} S_ {2} cos ( theta _ {2} + theta _ {3}) = { overline {AC}} ^ {2} end {array}}}$

Kosinové pravidlo pro trojúhelník ABC.

Dodatek 3. Složený úhel sinus (+)

Nechat

${ displaystyle theta _ {1} + theta _ {2} = theta _ {3} + theta _ {4} = 90 ^ { circ}.}$

Pak

${ displaystyle sin theta _ {1} sin theta _ {3} + sin theta _ {2} sin theta _ {4} = sin ( theta _ {3} + theta _ {2}) sin ( theta _ {3} + theta _ {4})}$

Proto,

${ displaystyle cos theta _ {2} sin theta _ {3} + sin theta _ {2} cos theta _ {3} = sin ( theta _ {3} + theta _ {2}) krát 1}$

Vzorec pro složený úhel sinus (+).^[10]

Důsledek 4. Složený úhel sinus (-)

Nechat ${ displaystyle theta _ {1} = 90 ^ { circ}}$. Pak ${ displaystyle theta _ {2} + ( theta _ {3} + theta _ {4}) = 90 ^ { circ}}$. Proto,

${ displaystyle sin theta _ {1} sin theta _ {3} + sin theta _ {2} sin theta _ {4} = sin ( theta _ {3} + theta _ {2}) sin ( theta _ {3} + theta _ {4})}$

${ displaystyle sin theta _ {3} + sin theta _ {2} cos ( theta _ {2} + theta _ {3}) = sin ( theta _ {3} + theta _ {2}) cos theta _ {2}}$

${ displaystyle sin theta _ {3} = sin ( theta _ {3} + theta _ {2}) cos theta _ {2} - cos ( theta _ {2} + theta _ {3}) sin theta _ {2}}$

Vzorec pro složený úhel sinus (-).^[10]

Tato derivace odpovídá Třetí věta jak zaznamenal Copernicus Následující Ptolemaios v Almagest. Zejména pokud jsou uvedeny strany pětiúhelníku (s obvodem 36 °) a šestiúhelníku (s obvodem 30 °), lze vypočítat akord s tvarem 6 °. To byl kritický krok ve starodávné metodě výpočtu tabulek akordů.^[11]

Dodatek 5. Kosinus složeného úhlu (+)

Tento důsledek je jádrem Pátá věta jak zaznamenal Koperník po Ptolemaiově v Almagestu.

Nechat ${ displaystyle theta _ {3} = 90 ^ { circ}}$. Pak ${ displaystyle theta _ {1} + ( theta _ {2} + theta _ {4}) = 90 ^ { circ}}$. Proto

${ displaystyle sin theta _ {1} sin theta _ {3} + sin theta _ {2} sin theta _ {4} = sin ( theta _ {3} + theta _ {2}) sin ( theta _ {3} + theta _ {4})}$

${ displaystyle cos ( theta _ {2} + theta _ {4}) + sin theta _ {2} sin theta _ {4} = cos theta _ {2} cos theta _ {4}}$

${ displaystyle cos ( theta _ {2} + theta _ {4}) = cos theta _ {2} cos theta _ {4} - sin theta _ {2} sin theta _ {4}}$

Vzorec pro kosinus složeného úhlu (+)

Navzdory absenci obratnosti naší moderní trigonometrické notace by mělo být z výše uvedených důsledků zřejmé, že v Ptolemaiově teorémě (nebo jednodušeji Druhá věta ) starověký svět měl k dispozici mimořádně flexibilní a mocný trigonometrický nástroj, který umožňoval tehdejším kognoscentům sestavovat přesné tabulky akordů (odpovídající tabulkám sinusů) a používat je ve svých pokusech porozumět a zmapovat vesmír jako viděli to. Vzhledem k tomu, že tabulky akordů byly vypracovány Hipparchus tři století před Ptolemaiem musíme předpokládat, že věděl o „druhé větě“ a jejích derivátech. Po stopách starověkých astronomů zaznamenává historie hvězdný katalog Timocharis Alexandrie. Pokud, jak se jeví jako pravděpodobné, sestavení takových katalogů vyžadovalo pochopení „druhé věty“, potom jejich skutečný původ poté zmizí v mlhách starověku, ale nelze bezdůvodně předpokládat, že astronomové, architekti a stavební inženýři starověký Egypt o tom mohl mít nějaké znalosti.

Ptolemaiova nerovnost

Tohle je ne cyklický čtyřúhelník. Rovnost zde nikdy neplatí a je nerovná ve směru naznačeném Ptolemaiově nerovností.

Rovnice v Ptolemaiově teorému není nikdy pravdivá s necyklickými čtyřúhelníky. Ptolemaiova nerovnost je rozšířením této skutečnosti a je obecnější formou Ptolemaiovy věty. Uvádí, že vzhledem k čtyřúhelníku abeceda, pak

${ displaystyle { overline {AB}} cdot { overline {CD}} + { overline {BC}} cdot { overline {DA}} geq { overline {AC}} cdot { overline {BD}}}$

kde platí rovnost právě tehdy, když je čtyřúhelník cyklický. Tento speciální případ je ekvivalentní Ptolemaiově teorému.

Druhá Ptolemaiova věta

Tato sekce ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Ptolemaiova věta“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

${ displaystyle { frac {AC} {BD}} = { frac {AB cdot DA + BC cdot CD} {AB cdot BC + DA cdot CD}}}$

Ptolemaiova věta dává součin úhlopříček (cyklického čtyřúhelníku), které znají strany. Identita výše udává jejich poměr.

Důkaz: Je známo, že oblast trojúhelníku ${ displaystyle ABC}$ vepsané do kruhu o průměru ${ displaystyle R}$ je : ${ displaystyle { mathcal {A}} = { frac {AB cdot BC cdot CA} {4R}}}$

Zapisujeme-li plochu čtyřúhelníku jako součet dvou trojúhelníků sdílejících stejnou kružnici, získáme dva vztahy pro každý rozklad.

${ displaystyle { mathcal {A}} _ { text {tot}} = { frac {AB cdot BC cdot CA} {4R}} + { frac {CD cdot DA cdot AC} {4R }} = { frac {AC cdot (AB cdot BC + CD cdot DA)} {4R}}}$

${ displaystyle { mathcal {A}} _ { text {tot}} = { frac {AB cdot BD cdot DA} {4R}} + { frac {BC cdot CD cdot DB} {4R }} = { frac {BD cdot (AB cdot DA + BC cdot CD)} {4R}}}$

Rovnicí získáme oznámený vzorec.

Následek: Známe-li součin i poměr úhlopříček, odečteme jejich okamžité výrazy:

${ displaystyle { begin {seřazeno} AC ^ {2} & = AC cdot BD cdot { frac {AC} {BD}} = (AB cdot CD + BC cdot DA) { frac {AB cdot DA + BC cdot CD} {AB cdot BC + DA cdot CD}} [8pt] BD ^ {2} & = { frac {AC cdot BD} { frac {AC} {BD} }} = (AB cdot CD + BC cdot DA) { frac {AB cdot BC + DA cdot CD} {AB cdot DA + BC cdot CD}} end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Caseyho věta
• Řecká matematika

Poznámky

Reference

• Coxeter, H. S. M. a S. L. Greitzer (1967) „Ptolemaiova věta a její rozšíření.“ §2.6 v Geometrie Revisited, Mathematical Association of America 42–43.
• Copernicus (1543) De Revolutionibus Orbium Coelestium, Anglický překlad nalezen v Na ramenou obrů (2002) editoval Stephen Hawking, Knihy tučňáků ISBN  0-14-101571-3
• Amarasinghe, G. W. I. S. (2013) Stručný základní důkaz pro Ptolemaiovu větu, Globální žurnál pokročilého výzkumu klasických a moderních geometrií (GJARCMG) 2 (1): 20–25 (pdf).

externí odkazy

• Důkaz Ptolemaiovy věty pro cyklický čtyřstěn
• MathPages - K Ptolemaiově větě
• Elert, Glenn (1994). „Ptolemaiova tabulka akordů“. E-svět.
• Ptolemaiova věta na cut-the-uzel
• Složený úhel na cut-the-uzel
• Ptolemaiova věta na PlanetMath
• Ptolemaiova nerovnost na MathWorld
• De Revolutionibus Orbium Coelestium na Harvardu.
• Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit
• Ptolemaiova věta Jay Warendorff, Demonstrační projekt Wolfram.
• Kniha XIII z Euklidovy prvky