Caseysova věta - Caseys theorem - Wikipedia

v matematika, Caseyho věta, také známý jako generalizovaný Ptolemaiova věta, je věta v Euklidovská geometrie pojmenoval podle Irů matematik John Casey.

Formulace věty

{ displaystyle t_ {12} cdot t_ {34} + t_ {14} cdot t_ {23} -t_ {13} cdot t_ {24} = 0}

Nechat ${ displaystyle , O}$ být kruh o poloměru ${ displaystyle , R}$ . Nechat ${ displaystyle , O_ {1}, O_ {2}, O_ {3}, O_ {4}}$ být (v tomto pořadí) čtyři neprotínající se kruhy, které leží uvnitř ${ displaystyle , O}$ a tečna k tomu. Označit podle ${ displaystyle , t_ {ij}}$ délka exteriéru společná bitangens z kruhů ${ displaystyle , O_ {i}, O_ {j}}$ . Pak:^[1]

{ displaystyle , t_ {12} cdot t_ {34} + t_ {14} cdot t_ {23} = t_ {13} cdot t_ {24}.}

Všimněte si, že v degenerovaném případě, kdy se všechny čtyři kruhy redukují na body, je to přesně Ptolemaiova věta.

Důkaz

Lze připsat následující důkaz^[2] Zachariášovi.^[3] Označte poloměr kruhu ${ displaystyle , O_ {i}}$ podle ${ displaystyle , R_ {i}}$ a jeho tečný bod s kružnicí ${ displaystyle , O}$ podle ${ displaystyle , K_ {i}}$ . Použijeme notaci ${ displaystyle , O, O_ {i}}$ pro středy kruhů. Všimněte si, že od Pythagorova věta,

{ displaystyle , t_ {ij} ^ {2} = { overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} - (R_ {i} -R_ {j}) ^ {2}.}

Pokusíme se tuto délku vyjádřit z hlediska bodů ${ displaystyle , K_ {i}, K_ {j}}$ . Podle zákon kosinů v trojúhelníku ${ displaystyle , O_ {i} OO_ {j}}$ ,

{ displaystyle { overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} = { overline {OO_ {i}}} ^ {2} + { overline {OO_ {j}}} ^ {2 } -2 { overline {OO_ {i}}} cdot { overline {OO_ {j}}} cdot cos angle O_ {i} OO_ {j}}

Protože kruhy ${ displaystyle , O, O_ {i}}$ tečna k sobě navzájem:

{ displaystyle { overline {OO_ {i}}} = R-R_ {i}, , úhel O_ {i} OO_ {j} = úhel K_ {i} OK_ {j}}

Nechat ${ displaystyle , C}$ být bodem v kruhu ${ displaystyle , O}$ . Podle sinusový zákon v trojúhelníku ${ displaystyle , K_ {i} CK_ {j}}$ :

{ displaystyle { overline {K_ {i} K_ {j}}} = 2R cdot sin úhel K_ {i} CK_ {j} = 2R cdot sin { frac { úhel K_ {i} OK_ {j}} {2}}}

Proto,

{ displaystyle cos úhel K_ {i} OK_ {j} = 1-2 sin ^ {2} { frac { úhel K_ {i} OK_ {j}} {2}} = 1-2 cdot left ({ frac { overline {K_ {i} K_ {j}}} {2R}} right) ^ {2} = 1 - { frac {{ overline {K_ {i} K_ {j} }} ^ {2}} {2R ^ {2}}}}

a jejich nahrazení ve vzorci výše:

{ displaystyle { overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} = (R-R_ {i}) ^ {2} + (R-R_ {j}) ^ {2} -2 ( R-R_ {i}) (R-R_ {j}) left (1 - { frac {{ overline {K_ {i} K_ {j}}} ^ {2}} {2R ^ {2}} }že jo)}

{ displaystyle { overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} = (R-R_ {i}) ^ {2} + (R-R_ {j}) ^ {2} -2 ( R-R_ {i}) (R-R_ {j}) + (R-R_ {i}) (R-R_ {j}) cdot { frac {{ overline {K_ {i} K_ {j} }} ^ {2}} {R ^ {2}}}}

{ displaystyle { overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} = ((R-R_ {i}) - (R-R_ {j})) ^ {2} + (R-R_ {i}) (R-R_ {j}) cdot { frac {{ overline {K_ {i} K_ {j}}} ^ {2}} {R ^ {2}}}}

A konečně, délka, kterou hledáme, je

{ displaystyle t_ {ij} = { sqrt {{ overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} - (R_ {i} -R_ {j}) ^ {2}}} = { frac {{ sqrt {R-R_ {i}}} cdot { sqrt {R-R_ {j}}} cdot { overline {K_ {i} K_ {j}}}} {R}} }

Nyní můžeme pomocí originálu vyhodnotit levou stranu Ptolemaiova věta aplikován na zapsaného čtyřúhelník ${ displaystyle , K_ {1} K_ {2} K_ {3} K_ {4}}$ :

{ displaystyle { begin {aligned} & t_ {12} t_ {34} + t_ {14} t_ {23} [4pt] = {} & { frac {1} {R ^ {2}}} cdot { sqrt {R-R_ {1}}} { sqrt {R-R_ {2}}} { sqrt {R-R_ {3}}} { sqrt {R-R_ {4}}} vlevo ({ overline {K_ {1} K_ {2}}} cdot { overline {K_ {3} K_ {4}}} + { overline {K_ {1} K_ {4}}} cdot { overline {K_ {2} K_ {3}}} vpravo) [4pt] = {} & { frac {1} {R ^ {2}}} cdot { sqrt {R-R_ {1 }}} { sqrt {R-R_ {2}}} { sqrt {R-R_ {3}}} { sqrt {R-R_ {4}}} vlevo ({ overline {K_ {1} K_ {3}}} cdot { overline {K_ {2} K_ {4}}} vpravo) [4pt] = {} & t_ {13} t_ {24} end {zarovnáno}}}

Další zobecnění

Je vidět, že čtyři kruhy nemusí ležet uvnitř velkého kruhu. Ve skutečnosti k tomu mohou být tečny také zvenčí. V takovém případě je třeba provést následující změnu:^[4]

Li ${ displaystyle , O_ {i}, O_ {j}}$ jsou tečna ze stejné strany ${ displaystyle , O}$ (oba dovnitř nebo oba ven), ${ displaystyle , t_ {ij}}$ je délka vnější společné tečny.

Li ${ displaystyle , O_ {i}, O_ {j}}$ jsou tečna z různých stran ${ displaystyle , O}$ (jeden dovnitř a jeden ven), ${ displaystyle , t_ {ij}}$ je délka vnitřní tečny.

Rovněž platí obrácení Caseyho věty.^[4] To znamená, že pokud platí rovnost, kruhy jsou tečny ke společnému kruhu.

Aplikace

Caseyho věta a její obrácení mohou být použity k prokázání různých výroků v Euklidovská geometrie. Například nejkratší známý důkaz^[1]^:411 z Feuerbachova věta používá obrácenou větu.

Reference

^ ^A ^b Casey, J. (1866). „O rovnicích a vlastnostech: (1) soustavy kruhů dotýkajících se tří kruhů v rovině; (2) soustavy koulí dotýkajících se čtyř koulí ve vesmíru; (3) soustavy kruhů dotýkajících se tří kruhů na kouli ; (4) systému kuželoseček zapsaných do kuželosečky a dotýkajících se tří zapsaných kuželoseček v rovině “. Sborník Královské irské akademie. 9: 396–423. JSTOR 20488927.
^ Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (překlad Reinie Erné jako Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, druhého rozšířeného vydání publikovaného Epsilon-Uitgaven 1987).
^ Zacharias, M. (1942). „Der Caseysche Satz“. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89.
^ ^A ^b Johnson, Roger A. (1929). Moderní geometrie. Houghton Mifflin, Boston (znovu publikovaný fax Dover 1960, 2007 jako Advanced Euclidean Geometry).

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Caseyho věta“. MathWorld.
Shailesh Shirali: Na zobecněné Ptolemaiově větě^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
Crux Mathematicorum svazek 22, vydání 2 (obsahuje výše uvedený článek)

[Cas-1] A ^b Casey, J. (1866). „O rovnicích a vlastnostech: (1) soustavy kruhů dotýkajících se tří kruhů v rovině; (2) soustavy koulí dotýkajících se čtyř koulí ve vesmíru; (3) soustavy kruhů dotýkajících se tří kruhů na kouli ; (4) systému kuželoseček zapsaných do kuželosečky a dotýkajících se tří zapsaných kuželoseček v rovině “. Sborník Královské irské akademie. 9: 396–423. JSTOR 20488927.

[Bot-2] Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (překlad Reinie Erné jako Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, druhého rozšířeného vydání publikovaného Epsilon-Uitgaven 1987).

[Zach-3] Zacharias, M. (1942). „Der Caseysche Satz“. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89.

[John-4] A ^b Johnson, Roger A. (1929). Moderní geometrie. Houghton Mifflin, Boston (znovu publikovaný fax Dover 1960, 2007 jako Advanced Euclidean Geometry).

[1]

[2]

[3]

[4]