Kvantifikace jedinečnosti - Uniqueness quantification

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Leden 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika a logika, termín „jedinečnost“ označuje vlastnost bytí jediným objektem splňujícím určitou podmínku.^[1][2] Takhle kvantifikace je známý jako kvantifikace jedinečnosti nebo jedinečná existenční kvantifikace, a je často označován symboly „∃!“^[3] nebo „∃₌₁Například formální prohlášení

${ displaystyle existuje! n in mathbb {N} , (n-2 = 4)}$

lze číst jako „existuje přesně jedno přirozené číslo ${ displaystyle n}$ takhle ${ displaystyle n-2 = 4}$".

Prokazující jedinečnost

Nejběžnější technikou k prokázání jedinečné existence určitého objektu je nejprve dokázat existenci entity s požadovanou podmínkou a poté dokázat, že jakékoli dvě takové entity (řekněme, ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$) musí být navzájem rovnocenné (tj.${ displaystyle a = b}$).

Například ukázat, že rovnice ${ displaystyle x + 2 = 5}$ má přesně jedno řešení, nejprve by se začalo stanovením, že existuje alespoň jedno řešení, a to 3; důkazem této části je jednoduše ověření, že platí níže uvedená rovnice:

${ displaystyle 3 + 2 = 5.}$

Abychom zjistili jedinečnost řešení, postupovalo by se za předpokladu, že existují dvě řešení, a to ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$, uspokojující ${ displaystyle x + 2 = 5}$. To znamená

${ displaystyle a + 2 = 5 { text {and}} b + 2 = 5.}$

Podle tranzitivita rovnosti,

${ displaystyle a + 2 = b + 2.}$

Odečtením 2 z obou stran se pak získá

${ displaystyle a = b.}$

který završuje důkaz, že 3 je jedinečné řešení ${ displaystyle x + 2 = 5}$.

Obecně platí, že obě existence (existují alespoň jeden objekt) a jedinečnost (existuje nejvíce jeden objekt) musí být prokázáno, aby bylo možné dojít k závěru, že existuje přesně jeden objekt splňující uvedenou podmínku.

Alternativním způsobem, jak dokázat jedinečnost, je dokázat, že existuje objekt ${ displaystyle a}$ splnění podmínky a poté dokázat, že každý objekt splňující podmínku musí být stejný ${ displaystyle a}$.^[1]

Redukce na běžnou existenciální a univerzální kvantifikaci

Vyčíslení jedinečnosti lze vyjádřit pomocí existenciální a univerzální kvantifikátory predikátová logika definováním vzorce ${ displaystyle existuje! xP (x)}$ znamenat

${ Displaystyle existuje x , (P (x) , klín neg existuje y , (P (y) klín y neq x)),}$

což je logicky ekvivalentní

${ Displaystyle existuje x , (P (x) klín pro všechny y , (P (y) až y = x)).}$

Ekvivalentní definice, která rozděluje pojmy existence a jedinečnosti do dvou klauzulí, na úkor stručnosti, je

${ Displaystyle existuje x , P (x) klín pro všechny y , pro všechny z , (P (y) klín P (z) až y = z).}$

Další ekvivalentní definice, která má výhodu stručnosti, je

${ displaystyle existuje x , forall y , (P (y) leftrightarrow y = x).}$

Zobecnění

Kvantifikaci jedinečnosti lze zobecnit na počítání kvantifikace (nebo numerická kvantifikace^[4]). To zahrnuje jak kvantifikaci formuláře „přesně k objekty existují tak, že… “i„ nekonečně mnoho objektů existuje tak, že… “a„ pouze konečně existuje mnoho objektů tak, že… “. První z těchto forem je vyjádřitelná pomocí běžných kvantifikátorů, ale poslední dvě nelze vyjádřit v běžných logika prvního řádu.^[5]

Jedinečnost závisí na představě rovnost. Uvolnění to trochu hrubší vztah ekvivalence přináší kvantifikaci jedinečnosti až do že rovnocennost (v tomto rámci je pravidelná jedinečnost „jedinečnost až po rovnost“). Například mnoho konceptů v teorie kategorií jsou definovány jako jedinečné až izomorfismus.

Viz také

• V zásadě jedinečný
• Jeden horký
• Singleton (matematika)
• Věta o jedinečnosti

Reference

Bibliografie

• Kleene, Stephen (1952). Úvod do matematiky. Ishi Press International. p. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). Úvod do matematické logiky a teorie typů k pravdě prostřednictvím důkazů (2. vyd.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. p. 233. ISBN  1-4020-0763-9.