Podmínky integrovatelnosti pro diferenciální systémy - Integrability conditions for differential systems - Wikipedia

v matematika, určité systémy parciální diferenciální rovnice jsou užitečně formulovány z hlediska jejich podkladové geometrické a algebraické struktury ve smyslu systému diferenciální formy. Myšlenkou je využít výhody diferenciální formy omezuje do a podmanifold a skutečnost, že toto omezení je slučitelné s vnější derivace. Toto je jeden z možných přístupů k jistým nadměrně určené systémy například včetně Laxové páry z integrovatelné systémy. A Pfaffianský systém je specifikováno 1-formy sám, ale teorie zahrnuje i jiné typy příkladů diferenciální systém. Abychom to propracovali, systém Pfaffian je sada 1-forem na hladkém potrubí (které se nastaví na 0, aby se našlo řešení do systému).

Vzhledem ke sbírce různých 1 forem ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}, i = 1,2, tečky, k}$ na ${ displaystyle textstyle n}$-dimenzionální potrubí ${ displaystyle M}$, an integrální potrubí je ponořený (ne nutně vložený) podmanifold, jehož tečný prostor v každém bodě ${ displaystyle textstyle p v N}$ je zničen každým z nich ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}}$.

A maximální integrální potrubí je ponořený (ne nutně vložený) dílčí potrubí

${ displaystyle i: N podmnožina M}$

takové, že jádro mapy omezení na formulářích

${ displaystyle i ^ {*}: Omega _ {p} ^ {1} (M) rightarrow Omega _ {p} ^ {1} (N)}$

je překlenuta ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}}$ v každém bodě ${ displaystyle p}$ z ${ displaystyle N}$. Pokud navíc ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}}$ jsou tedy lineárně nezávislé ${ displaystyle N}$ je (${ displaystyle n-k}$)-dimenzionální.

Systém Pfaffian se říká, že je zcela integrovatelný -li ${ displaystyle M}$ připouští a foliace pomocí maximálních integrálních potrubí. (Upozorňujeme, že foliace nemusí být pravidelný; tj. listy foliace nemusí být vloženy do podmanifoldů.)

An stav integrability je podmínkou na ${ displaystyle alpha _ {i}}$ zaručit, že budou existovat integrální dílčí potrubí dostatečně vysoké dimenze.

Nezbytné a dostatečné podmínky

Nezbytné a dostatečné podmínky pro úplná integrovatelnost systému Pfaffian jsou dány Frobeniova věta. Jedna verze uvádí, že pokud je ideální ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ algebraicky generované sbírkou α_i uvnitř kruhu Ω (M) je odlišně uzavřeno, jinými slovy

${ displaystyle d { mathcal {I}} podmnožina { mathcal {I}},}$

pak systém připouští a foliace pomocí maximálních integrálních potrubí. (Konverzace je zřejmá z definic.)

Příklad neintegrovatelného systému

Ne každý systém Pfaffian je zcela integrovatelný ve smyslu Frobenius. Zvažte například následující jeden formulář na R³ − (0,0,0):

${ displaystyle theta = z , dx + x , dy + y , dz.}$

Li dθ byly v ideálu generovaném θ, který bychom měli, díky šikmosti klínového součinu

${ displaystyle theta klín d theta = 0.}$

Ale přímý výpočet dává

${ Displaystyle theta klín d theta = (x + y + z) , dx klín dy klín dz}$

což je nenulový násobek standardního svazku na R³. Neexistují tedy žádné dvourozměrné listy a systém není zcela integrovatelný.

Na druhou stranu pro křivku definovanou

${ Displaystyle x = t, quad y = c, qquad z = e ^ {- t / c}, quad t> 0}$

pak θ definované výše je 0, a proto lze křivku snadno ověřit jako řešení (tj integrální křivka ) pro výše uvedený systém Pfaffian pro jakoukoli nenulovou konstantu C.

Příklady aplikací

v Riemannova geometrie, můžeme uvažovat o problému hledání ortogonální kostra θⁱ, tj. soubor 1-forem tvořících základ kotangensního prostoru v každém bodě s ${ displaystyle langle theta ^ {i}, theta ^ {j} rangle = delta ^ {ij}}$ které jsou uzavřené (dθⁱ = 0, i = 1, 2, ..., n). Podle Poincaré lemma, θⁱ místně bude mít tvar dXⁱ pro některé funkce Xⁱ na potrubí, a tak poskytnout izometrii otevřené podmnožiny M s otevřenou podmnožinou Rⁿ. Takové potrubí se nazývá místně plochý.

Tento problém se omezuje na otázku na svazek coframe z M. Předpokládejme, že jsme měli takový uzavřený kostru

${ displaystyle Theta = ( theta ^ {1}, tečky, theta ^ {n}).}$

Kdybychom měli další kostru ${ displaystyle Phi = ( phi ^ {1}, tečky, phi ^ {n})}$, pak by tyto dva rámy byly spojeny ortogonální transformací

${ displaystyle Phi = M Theta}$

Pokud je připojení 1-forma ω, pak máme

${ displaystyle d Phi = omega klín Phi}$

Na druhou stranu,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} d Phi & = (dM) klín Theta + M klín d Theta & = (dM) klín Theta & = (dM) M ^ {- 1} klín Phi. End {zarovnáno}}}$

Ale ${ displaystyle omega = (dM) M ^ {- 1}}$ je Maurer – Cartanova forma pro ortogonální skupina. Proto se řídí strukturální rovnicí${ displaystyle d omega + omega klín omega = 0,}$ a to je jen zakřivení z M: ${ displaystyle Omega = d omega + omega klín omega = 0.}$Po aplikaci Frobeniovy věty lze dospět k závěru, že potrubí M je lokálně ploché právě tehdy, když jeho zakřivení zmizí.

Zobecnění

Existuje mnoho zevšeobecnění podmínek integrability v diferenciálních systémech, které nemusí být nutně generovány v jedné formě. Nejznámější z nich jsou Cartan – Kählerova věta, který funguje pouze pro skutečné analytické diferenciální systémy a Věta o prodloužení Cartan – Kuranishi. Vidět Další čtení pro detaily. The Newlander-Nirenbergova věta dává podmínky integrability pro téměř složitou strukturu.

Další čtení

• Bryant, Chern, Gardner, Goldschmidt, Griffiths, Vnější diferenciální systémyPublikace Výzkumného ústavu matematických věd, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97411-3
• Olver, P., Ekvivalence, invarianty a symetrie, Cambridge, ISBN  0-521-47811-1
• Ivey, T., Landsberg, J.M., Cartan pro začátečníky: Diferenciální geometrie pomocí pohyblivých rámů a externích diferenciálních systémůAmerická matematická společnost, ISBN  0-8218-3375-8
• Dunajski, M., Solitons, Instantons a Twistors, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-857063-9