N-vektorový model - N-vector model

v statistická mechanika, n-vektorový model nebo Ó(n) Modelka je jednoduchý systém interakce točí se na krystalická mříž. Byl vyvinut společností H. Eugene Stanley jako zobecnění Isingův model, Model XY a Heisenbergův model.^[1] V n-vektorový model, n-komponentní jednotka délky klasické točí se ${ displaystyle mathbf {s} _ {i}}$ jsou umístěny na vrcholech a d-rozměrná mříž. The Hamiltonian z n-vektorový model je dán:

${ displaystyle H = -J { sum} _ { langle i, j rangle} mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j}}$

kde součet běží přes všechny páry sousedních otočení ${ displaystyle langle i, j rangle}$ a ${ displaystyle cdot}$ označuje standardní euklidovský vnitřní produkt. Zvláštní případy n-vektorové modely jsou:

${ displaystyle n = 0}$: samoobslužná chůze^[2][3]

${ displaystyle n = 1}$: Isingův model

${ displaystyle n = 2}$: Model XY

${ displaystyle n = 3}$: Heisenbergův model

${ displaystyle n = 4}$: Model hračky pro Higgsův sektor z Standardní model

Obecný matematický formalismus používaný k popisu a řešení n-vektorový model a určité zobecnění jsou vyvinuty v článku o Pottsův model.

Limit kontinua

Limitu kontinua lze chápat jako sigma model. To lze snadno získat napsáním hamiltoniánu z hlediska produktu

${ displaystyle - { tfrac {1} {2}} ( mathbf {s} _ {i} - mathbf {s} _ {j}) cdot ( mathbf {s} _ {i} - mathbf {s} _ {j}) = mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} -1}$

kde ${ displaystyle mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {i} = 1}$ je termín „hromadná magnetizace“. Pustíme-li tento pojem jako celkový konstantní faktor přidaný k energii, limit se získá definováním Newtona konečný rozdíl tak jako

${ displaystyle delta _ {h} [ mathbf {s}] (i, j) = { frac { mathbf {s} _ {i} - mathbf {s} _ {j}} {h}} }$

na sousedních příhradových místech ${ displaystyle i, j.}$ Pak ${ displaystyle delta _ {h} [ mathbf {s}] to nabla _ { mu} mathbf {s}}$ v limitu ${ displaystyle h to 0}$, kde ${ displaystyle nabla _ { mu}}$ je spád v ${ displaystyle (i, j) do mu}$ směr. V limitu tedy

${ displaystyle - mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} na { tfrac {1} {2}} nabla _ { mu} mathbf {s} cdot nabla _ { mu} mathbf {s}}$

kterou lze rozpoznat jako kinetickou energii pole ${ displaystyle mathbf {s}}$ v sigma model. Jeden má stále dvě možnosti rotace ${ displaystyle mathbf {s}}$: je převzato z diskrétní sady točení ( Pottsův model ) nebo se to bere jako bod na koule ${ displaystyle S ^ {n}}$; to je ${ displaystyle mathbf {s}}$ je spojitě oceňovaný vektor délky jednotky. V pozdějším případě se to označuje jako ${ displaystyle O (n)}$ nelineární sigma model, jako rotační skupina ${ displaystyle O (n)}$ je skupina izometrie z ${ displaystyle S ^ {n}}$a samozřejmě ${ displaystyle S ^ {n}}$ není „plochý“, tj. není lineární pole.

Reference

Tento fyzika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.