Operátor Hecke - Hecke operator
v matematika, zejména v teorii modulární formy, a Operátor Hecke, studoval Hecke (1937 ), je určitý druh "průměrování" operátor, který hraje významnou roli ve struktuře vektorové prostory modulárních forem a obecnějších automorfní reprezentace.
Dějiny
Mordell (1917 ) použil Hecke operátory na modulárních formách v příspěvku ke speciálnímu hrotová forma z Ramanujan, před obecnou teorií danou Hecke (1937) . Mordell dokázal, že Funkce Ramanujan tau, vyjadřující koeficienty formy Ramanujan,
Myšlenka sahá do dřívější práce Adolf Hurwitz, kteří léčili algebraické korespondence mezi modulární křivky které realizují některé jednotlivé operátory Hecke.
Matematický popis
Hecke operátory lze realizovat v řadě kontextů. Nejjednodušší význam je kombinatorický, konkrétně jako převzetí daného čísla n nějaká funkce F(Λ) definované na mříže pevné pozice do
se součtem převzatým všemi Λ ′, které jsou podskupiny Λ indexu n. Například s n = 2 a dvě dimenze, existují tři takové Λ ′. Modulární formy jsou konkrétní druhy funkcí mřížky, s výhradou podmínek, které je vytvářejí analytické funkce a homogenní s ohledem na homotheties, stejně jako mírný růst v nekonečnu; tyto podmínky jsou součtem zachovány, a tak operátoři Hecke zachovávají prostor modulárních forem dané hmotnosti.
Další způsob, jak vyjádřit operátory Hecke, je pomocí dvojité kosety v modulární skupina. V současné době adelic přístup, to znamená dvojité kosety s ohledem na některé kompaktní podskupiny.
Explicitní vzorec
Nechat Mm být množina integrálních matic 2 × 2 s určující m a Γ = M1 být plný modulární skupina SL(2, Z). Vzhledem k modulární formě F(z) hmotnosti k, moperátor Hecke působí podle vzorce[je třeba další vysvětlení ]
kde z je v horní polorovina a normalizační konstanta mk−1 zajišťuje, že obraz formuláře s celočíselnými Fourierovými koeficienty má celočíselné Fourierovy koeficienty. To lze přepsat do formuláře
což vede k vzorci pro Fourierovy koeficienty Tm(F(z)) = ∑ bnqn z hlediska Fourierových koeficientů F(z) = ∑ Anqn:
Z tohoto explicitního vzorce je vidět, že operátoři Hecke s různými indexy dojíždějí a že pokud A0 = 0 tedy b0 = 0, tedy podprostor Sk hrotových forem hmotnosti k je zachována operátory Hecke. Je-li (nenulová) forma hrotu F je současná vlastní forma všech operátorů Hecke Tm s vlastními hodnotami λm pak Am = λmA1 a A1 ≠ 0. Heckeovy vlastní tvary jsou normalizováno aby A1 = 1, tedy
U normalizovaných cuspidálních Heckových vlastních tvarů s celočíselnou hmotností se tedy jejich Fourierovy koeficienty shodují s jejich Heckovými vlastními hodnotami.
Hecke algebry
Algebry operátorů Hecke se nazývají „Hecke algebry“ a jsou komutativní prsteny. V klasice eliptická modulární forma teorie, operátoři Hecke Tn s n coprime na úroveň působící na prostor hrotových forem dané hmotnosti jsou samoadjung s respektem k Peterssonův vnitřní produkt. Proto spektrální věta znamená, že existuje základ modulárních forem, které jsou vlastní funkce pro tyto operátory Hecke. Každá z těchto základních forem má Produkt Euler. Přesněji řečeno Mellinova transformace je Dirichletova řada to má Produkty Euler s místním faktorem pro každé prvočíslo str je inverzní[je zapotřebí objasnění ] z Heckeův polynom, kvadratický polynom v str−s. V případě ošetřeném Mordellem je prostor hrotových forem hmotnosti 12 s ohledem na celou modulární skupinu jednorozměrný. Z toho vyplývá, že forma Ramanujan má produkt Euler a zavádí multiplikativitu τ(n).
Další související matematické kruhy se také nazývají „Hecke algebry“, ačkoli někdy není souvislost s operátory Hecke zcela zřejmá. Tyto algebry zahrnují určité kvocienty skupinové algebry z opletení skupiny. Přítomnost této komutativní operátorové algebry hraje významnou roli v harmonická analýza modulárních forem a zobecnění.
Viz také
Reference
- Apostol, Tom M. (1990), Modulární funkce a Dirichletovy řady v teorii čísel (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8 (Viz kapitola 8.)
- „Operátor Hecke“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Hecke, E. (1937), „Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. I.“, Mathematische Annalen (v němčině), 114: 1–28, doi:10.1007 / BF01594160, ISSN 0025-5831, Zbl 0015.40202 Hecke, E. (1937), „Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. II.“, Mathematische Annalen (v němčině), 114: 316–351, doi:10.1007 / BF01594180, ISSN 0025-5831, Zbl 0016.35503
- Mordell, Louis J. (1917), „O empirických rozšířeních modulárních funkcí pana Ramanujana.“, Sborník Cambridge Philosophical Society, 19: 117–124, JFM 46.0605.01
- Jean-Pierre Serre, Kurz aritmetiky.
- Don Zagier, Eliptické modulární formy a jejich aplikace, v 1-2-3 modulárních formulářů, Universitext, Springer, 2008 ISBN 978-3-540-74117-6