Vrcholová forma - Cusp form

v teorie čísel, pobočka matematika, a hrotová forma je zvláštní druh modulární forma s nulovým konstantním koeficientem v expanzi Fourierovy řady.

Úvod

Cusp forma se rozlišuje v případě modulárních forem pro modulární skupina zmizením konstantního koeficientu A₀ v Fourierova řada expanze (viz q-expanze )

${ displaystyle sum a_ {n} q ^ {n}.}$

Tato Fourierova expanze existuje jako důsledek přítomnosti v činnosti modulární skupiny na horní polorovina prostřednictvím transformace

${ displaystyle z mapsto z + 1.}$

U jiných skupin může dojít k nějakému překladu několika jednotkami, v takovém případě je Fourierova expanze z hlediska jiného parametru. Ve všech případech však limit jako q → 0 je limit v horní polorovině jako imaginární část z z → ∞. Vezmeme-li kvocient modulární skupinou, tento limit odpovídá a hrot a modulární křivka (ve smyslu přidaného bodu pro zhutnění ). Definice tedy znamená, že hrotová forma je modulární forma, která mizí na hrotu. V případě jiných skupin může existovat několik hrbolků a definice se stává modulární formou mizející v Všechno vrcholy. To může zahrnovat několik expanzí.

Dimenze

Rozměry prostorů hrotových forem jsou v zásadě vypočítatelné pomocí Riemann – Rochova věta. Například Funkce Ramanujan tau τ(n) vzniká jako posloupnost Fourierových koeficientů vrcholové formy váhy 12 pro modulární skupinu, s A₁ = 1. Prostor takových forem má dimenzi 1, což znamená, že tato definice je možná; a to odpovídá za akci Operátoři Hecke v prostoru skalární násobení (Mordellův důkaz totožnosti Ramanujana). Výslovně to je modulární diskriminátor

${ displaystyle Delta (z, q),}$

což představuje (až a normalizační konstanta ) diskriminující krychle na pravé straně Weierstrassova rovnice z eliptická křivka; a 24. síla Funkce Dedekind eta. Zde jsou zapsány Fourierovy koeficienty

${ displaystyle tau (n)}$

a zavolalFunkce tau Ramanujana ', s normalizací τ(1) = 1.

Související pojmy

Na větším obrázku automorfní formy, hrotové formy se doplňují s Eisensteinova řada, v diskrétní spektrum/spojité spektrumnebo diskrétní reprezentace řady/indukovaná reprezentace rozlišení typické pro různé části spektrální teorie. To znamená, že řada Eisenstein může být „navržena“ tak, aby nabývala daných hodnot v mžiku. Existuje velká obecná teorie, v závislosti na poměrně složité teorii parabolické podskupiny a odpovídající cuspidální reprezentace.

Reference

• Serre, Jean-Pierre, Kurz aritmetiky, Postgraduální texty z matematiky, Č. 7, Springer-Verlag, 1978. ISBN  0-387-90040-3
• Shimura, Goro, Úvod do aritmetické teorie automorfních funkcí, Princeton University Press, 1994. ISBN  0-691-08092-5
• Gelbart, Stephen, Automorfní formuláře pro skupiny Adele, Annals of Mathematics Studies, č. 83, Princeton University Press, 1975. ISBN  0-691-08156-5