Věta o protínajících se akordech - Intersecting chords theorem



The věta o protínajících se akordech nebo prostě Věta o akordech je prohlášení v elementární geometrii, které popisuje vztah čtyř úseček vytvořených dvěma protínajícími se akordy v kruhu. Uvádí, že produkty délek úseček na každém akordu jsou stejné. Je to Proposition 35 Book 3 of Euclid's Elementy.
Přesněji řečeno, pro dva akordy AC a BD protínající se v bodě S platí následující rovnice:
Rovněž platí obráceně, tedy pro dva úsečkové segmenty AC a BD protínající v S výše uvedená rovnice platí, pak jejich čtyři koncové body A, B, C a D lež na společném kruhu. Nebo jinými slovy, pokud jsou úhlopříčky čtyřúhelníku abeceda protínají se S a splňte výše uvedenou rovnici, pak je to a cyklický čtyřúhelník.
Hodnota dvou produktů ve větě akordů závisí pouze na vzdálenosti průsečíku S ze středu kruhu a nazývá se absolutní hodnota síla S, přesněji lze konstatovat, že:
kde r je poloměr kruhu a d je vzdálenost mezi středem kružnice a průsečíkem S. Tato vlastnost vyplývá přímo z aplikace věty o akordech na třetí akord, který prochází S a střed kruhu M (viz výkres).
Věta může být prokázána pomocí podobných trojúhelníků (pomocí věta o zapsaném úhlu ). Zvažte úhly trojúhelníků ASD a BSC:
To znamená trojúhelníky ASD a BSC jsou podobné, a proto
Vedle tečna-secanová věta a věta o protínajících secantech věta o protínajícím se akordu představuje jeden ze tří základních případů obecnější věty o dvou protínajících se čarách a kružnici - síla bodové věty.
Reference
- Paul Glaister: Věta o protínajících se akordech: 30 let dále. Mathematics in School, Vol. 36, č. 1 (leden 2007), s. 22 (JSTOR )
- Bruce Shawyer: Průzkumy v geometrii. Světově vědecké, 2010, ISBN 9789813100947, str. 14
- Hans Schupp: Elementargeometrie. Sch枚ningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, str. 149 (německy).
- Sch眉 lerduden - Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, str. 415-417 (německy)
externí odkazy
- Věta o protínajících se akordech na cut-the-knot.org
- Věta o protínajících se akordech na proofwiki.org
- Weisstein, Eric W. "Akord". MathWorld.
- Dvě interaktivní ilustrace: [1] a [2]