Poloměr zakřivení - Radius of curvature

v diferenciální geometrie, poloměr zakřivení, $R$ , je reciproční z zakřivení. Pro křivka, to se rovná poloměr z kruhový oblouk který nejlépe odpovídá křivce v tomto bodě. Pro povrchy, poloměr zakřivení je poloměr kruhu, který nejlépe odpovídá a normální sekce nebo kombinace z toho.^[1]^[2]^[3]

Definice

V případě a prostorová křivka, poloměr zakřivení je délka vektor zakřivení.

V případě a rovinná křivka, pak $R$ je absolutní hodnota z^[3]

{displaystyle Requiv left | {frac {ds} {dvarphi}} ight | = {frac {1} {kappa}},}

kde $s$ je délka oblouku z pevného bodu na křivce, $φ$ je tangenciální úhel a $κ$ je zakřivení.

Pokud je křivka uvedena v Kartézské souřadnice tak jako $y (X)$ , pak je poloměr zakřivení (za předpokladu, že je křivka diferencovatelná až do řádu 2):

{displaystyle R = left | {frac {left (1 + y '^ {, 2} ight) ^ {frac {3} {2}}} {y' '}} ight |, qquad {mbox {where}} quad y '= {frac {dy} {dx}}, čtyřkolka y' '= {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}},}

a $| z |$ označuje absolutní hodnotu $z$ .

Je-li křivka uvedena parametricky podle funkcí $X (t)$ a $y (t)$ , pak je poloměr zakřivení

{displaystyle R = left | {frac {ds} {dvarphi}} ight | = left | {frac {left ({{dot {x}} ^ {2} + {dot {y}} ^ {2}} ight) ^ {frac {3} {2}}} {{dot {x}} {ddot {y}} - {dot {y}} {ddot {x}}}} ight |, qquad {mbox {where}} quad {dot {x}} = {frac {dx} {dt}}, quad {ddot {x}} = {frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}, quad {dot {y} } = {frac {dy} {dt}}, quad {ddot {y}} = {frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}}.}

Heuristicky lze tento výsledek interpretovat jako^[2]

{displaystyle R = {frac {left | mathbf {v} ight | ^ {3}} {left | mathbf {v} imes mathbf {dot {v}} ight |}}, qquad {mbox {where}} čtyřkolka vlevo | mathbf {v} ight | = {ig |} ({dot {x}}, {dot {y}}) {ig |} = R {frac {dvarphi} {dt}}.}

Vzorec

Li $y : ℝ \to ℝ n$ je parametrizovaná křivka v $ℝ n$ pak poloměr zakřivení v každém bodě křivky, $ρ : ℝ \to ℝ$ , darováno^[3]

{displaystyle ho = {frac {left | {oldsymbol {gamma}} 'ight | ^ {3}} {sqrt {left | {oldsymbol {gamma}}' ight | ^ {2}, left | {oldsymbol {gamma}} '' ight | ^ {2} -left ({oldsymbol {gamma}} '' cdot {oldsymbol {gamma}} '' ight) ^ {2}}}}}

.

Jako zvláštní případ, pokud $F (t)$ je funkce z $ℝ$ na $ℝ$ , pak poloměr zakřivení jeho graf, $y (t) = (t, F (t))$ , je

{displaystyle ho (t) = {frac {left | 1 + f '^ {, 2} (t) ight | ^ {frac {3} {2}}} {left | f' '(t) ight |}} .}

Derivace

Nechat $y$ být jako výše, a opravit $t$ . Chceme najít poloměr $ρ$ parametrizovaného kruhu, který odpovídá $y$ ve svém nultém, prvním a druhém derivátu v $t$ . Je zřejmé, že poloměr nebude záviset na poloze $y (t)$ , pouze na rychlost $y'(t)$ a zrychlení $y ″(t)$ . Jsou jen tři nezávislí skaláry které lze získat ze dvou vektorů $proti$ a $w$ , jmenovitě $proti \cdot proti$ , $proti \cdot w$ , a $w \cdot w$ . Poloměr zakřivení tedy musí být funkcí tří skalárů $| y'(t) | 2$ , $| y ″(t) | 2$ a $y'(t) \cdot y ″(t)$ .^[3]

Obecná rovnice pro parametrizovanou kružnici v $ℝ n$ je

{displaystyle mathbf {g} (u) = mathbf {a} cos h (u) + mathbf {b} sin h (u) + mathbf {c}}

kde $C \in ℝ n$ je střed kruhu (irelevantní, protože zmizí v derivátech), $A, b \in ℝ n$ jsou kolmé vektory délky $ρ$ (to znamená, $A \cdot A = b \cdot b = ρ 2$ a $A \cdot b = 0$ ), a $h : ℝ \to ℝ$ je libovolná funkce, která je dvakrát diferencovatelná $t$ .

Příslušné deriváty $G$ pracovat být

{displaystyle {egin {aligned} | mathbf {g} '| ^ {2} & = ho ^ {2} (h') ^ {2} mathbf {g} 'cdot mathbf {g}' '& = ho ^ {2} h'h '' | mathbf {g} '' | ^ {2} & = ho ^ {2} left ((h ') ^ {4} + (h' ') ^ {2} ight) konec {zarovnáno}}}

Pokud nyní srovnáme tyto deriváty $G$ k odpovídajícím derivátům $y$ na $t$ získáváme

{displaystyle {egin {aligned} | {oldsymbol {gamma}} '(t) | ^ {2} & = ho ^ {2} h' ^ {, 2} (t) {oldsymbol {gamma}} '(t ) cdot {oldsymbol {gamma}} '' (t) & = ho ^ {2} h '(t) h' '(t) | {oldsymbol {gamma}}' '(t) | ^ {2} & = ho ^ {2} vlevo (h '^ {, 4} (t) + h' '^ {, 2} (t) ight) konec {zarovnáno}}}

Tyto tři rovnice ve třech neznámých ( $ρ$ , $h'(t)$ a $h ″(t)$ ) lze vyřešit pro $ρ$ , což dává vzorec pro poloměr zakřivení:

{displaystyle ho (t) = {frac {left | {oldsymbol {gamma}} '(t) ight | ^ {3}} {sqrt {left | {oldsymbol {gamma}}' (t) ight | ^ {2} , vlevo | {oldsymbol {gamma}} '' (t) ight | ^ {2} - {ig (} {oldsymbol {gamma}} '(t) cdot {oldsymbol {gamma}}' '(t) {ig) } ^ {2}}}}}

nebo vynecháním parametru $t$ pro čitelnost,

{displaystyle ho = {frac {left | {oldsymbol {gamma}} 'ight | ^ {3}} {sqrt {left | {oldsymbol {gamma}}' ight | ^ {2}; left | {oldsymbol {gamma}} '' ight | ^ {2} -left ({oldsymbol {gamma}} '' cdot {oldsymbol {gamma}} '' ight) ^ {2}}}}.}

Příklady

Půlkruhy a kruhy

Pro půlkruh poloměru $A$ v horní polorovině

{displaystyle y = {sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}, quad y '= {frac {-x} {sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}}, quad y '' = {frac {-a ^ {2}} {left (a ^ {2} -x ^ {2} ight) ^ {frac {3} {2}}}}, quad R = | -a | = a.}

Elipsa (červená) a její evoluce (modrý). Tečky jsou vrcholy elipsy, v bodech největšího a nejmenšího zakřivení.

Pro půlkruh o poloměru $A$ ve spodní polorovině

{displaystyle y = - {sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}, quad R = | a | = a.}

The kruh poloměru $A$ má poloměr zakřivení rovný $A$ .

Elipsy

V elipsa s hlavní osou $2 A$ a vedlejší osa $2 b$ , vrcholy na hlavní ose mají nejmenší poloměr zakřivení ze všech bodů, $R = b 2 / A$ ; a vrcholy na vedlejší ose mají největší poloměr zakřivení ze všech bodů, $R = A 2 / b$ .

Aplikace

Pro použití v diferenciální geometrie viz Cesàro rovnice.
Poloměr zakřivení Země (aproximovaný zploštělým elipsoidem) viz Poloměr zakřivení Země.
Poloměr zakřivení se také používá ve třídílné rovnici pro ohýbání paprsky.
Poloměr zakřivení (optika)
Technologie tenkých filmů
Tištěná elektronika

Napětí v polovodičových strukturách

Stres v polovodič struktura zahrnující odpaří tenké filmy obvykle vyplývá z teplotní roztažnost (tepelné namáhání) během výrobního procesu. Dochází k tepelnému namáhání, protože povlaky filmu se obvykle vytvářejí nad pokojovou teplotou. Po ochlazení z teploty depozice na teplotu místnosti se rozdíl v koeficienty tepelné roztažnosti podkladu a filmu způsobují tepelné namáhání.^[4]

Vnitřní stres výsledky mikrostruktury vytvořené ve filmu při ukládání atomů na substrát. Napětí v tahu je výsledkem mikrovoidů (malých děr, považovaných za defekty) v tenkém filmu, kvůli atraktivní interakci atomů napříč dutinami.

Napětí v tenkovrstvých polovodičových strukturách vede k vzpěr oplatek. Poloměr zakřivení namáhané konstrukce souvisí s tenzorem napětí ve struktuře a lze jej popsat modifikovaným Kamenná formule.^[5] Topografii namáhané struktury včetně poloměrů zakřivení lze měřit pomocí metod optického skeneru. Moderní skenerové nástroje mají schopnost měřit úplnou topografii substrátu a měřit oba hlavní poloměry zakřivení, přičemž poskytují přesnost řádově 0,1% pro poloměry zakřivení 90 metrů a více.^[6]

Viz také

Reference

^ Weisstien, Eric. "Poloměr zakřivení". Wolfram Mathworld. Citováno 15. srpna 2016.
^ ^A ^b Kishan, Hari (2007). Diferenciální počet. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.
^ ^A ^b ^C ^d Láska, Clyde E.; Rainville, hrabě D. (1962). Diferenciální a integrální počet (Šesté vydání). New York: MacMillan.
^ „Ovládání stresu v tenkých filmech“. Flipchips.com. Citováno 2016-04-22.
^ „O stanovení napětí filmu z ohybu substrátu: Stoneyho vzorec a jeho limity“ (PDF). Qucosa.de. Citováno 2016-04-22.
^ Peter Walecki. „Model X“. Zebraoptical.com. Citováno 2016-04-22.

Další čtení

dělat Carmo, Manfredo (1976). Diferenciální geometrie křivek a povrchů. ISBN 0-13-212589-7.

externí odkazy

[1] Weisstien, Eric. "Poloměr zakřivení". Wolfram Mathworld. Citováno 15. srpna 2016.

[:0-2] A ^b Kishan, Hari (2007). Diferenciální počet. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.

[:1-3] A ^b ^C ^d Láska, Clyde E.; Rainville, hrabě D. (1962). Diferenciální a integrální počet (Šesté vydání). New York: MacMillan.

[4] „Ovládání stresu v tenkých filmech“. Flipchips.com. Citováno 2016-04-22.

[5] „O stanovení napětí filmu z ohybu substrátu: Stoneyho vzorec a jeho limity“ (PDF). Qucosa.de. Citováno 2016-04-22.

[6] Peter Walecki. „Model X“. Zebraoptical.com. Citováno 2016-04-22.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Různé pojmy zakřivení definováno v diferenciální geometrie
Diferenciální geometrie křivek	Zakřivení Torze křivky Frenet-Serretovy vzorce Poloměr zakřivení (aplikace) Afinní zakřivení Celkové zakřivení Celkové absolutní zakřivení
Diferenciální geometrie povrchů	Hlavní zakřivení Gaussovo zakřivení Střední zakřivení Rám Darboux Gauss – Codazziho rovnice První základní forma Druhá základní forma Třetí základní forma
Riemannova geometrie	Zakřivení Riemannovských potrubí Riemannův tenzor zakřivení Ricciho zakřivení Skalární zakřivení Částečné zakřivení
Zakřivení spojení	Zakřivená forma Torzní tenzor Společné zakřivení Holonomy