Řešení trojúhelníků - Solution of triangles - Wikipedia

Řešení trojúhelníků (latinský: solutio triangulorum) je hlavní trigonometrický problém najít vlastnosti a trojúhelník (úhly a délky stran), pokud jsou některé z nich známy. Trojúhelník může být umístěn na a letadlo nebo na a koule. Mezi aplikace vyžadující trojúhelníková řešení patří geodézie, astronomie, konstrukce, a navigace.

Řešení rovinných trojúhelníků

Standardní notace pro trojúhelník

Obecný trojúhelník má šest hlavních charakteristik (viz obrázek): tři lineární (délky stran) $A, b, C$ ) a tři úhlové ( $α, β, y$ ). Klasickým problémem trigonometrie v rovině je určit tři ze šesti charakteristik a určit další tři. Trojúhelník lze v tomto smyslu jednoznačně určit, pokud mu je dána některá z následujících možností:^[1]^[2]

Tři strany (SSS)
Dvě strany a přiložený úhel (SAS)
Dvě strany a úhel mezi nimi není zahrnut (SSA), pokud je délka strany sousedící s úhlem kratší než délka druhé strany.
Strana a dva sousední úhly (JAKO)
Strana, úhel proti ní a úhel sousedící s ním (AAS).

Pro všechny případy v rovině musí být uvedena alespoň jedna z délek stran. Pokud jsou uvedeny pouze úhly, nelze délky stran určit, protože žádné podobný trojúhelník je řešení.

Trigonomické vztahy

Přehled konkrétních kroků a nástrojů použitých při řešení rovinných trojúhelníků

Standardní metodou řešení problému je použití základních vztahů.

Zákon kosinů: ${ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc cos alpha}$; ${ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac cos beta}$; ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos gamma}$
Zákon sinusů: ${ displaystyle { frac {a} { sin alpha}} = { frac {b} { sin beta}} = { frac {c} { sin gamma}}}$
Součet úhlů: ${ displaystyle alpha + beta + gamma = 180 ^ { circ}}$
Zákon tečen: ${ displaystyle { frac {ab} {a + b}} = { frac { tan [{ frac {1} {2}} ( alpha - beta)]} { tan [{ frac { 1} {2}} ( alpha + beta)]}}.}$

Existují i jiné (někdy prakticky užitečné) univerzální vztahy: zákon kotangens a Mollweidův vzorec.

Poznámky

Chcete-li najít neznámý úhel, zákon kosinů je bezpečnější než sinusový zákon. Důvodem je, že hodnota sinus protože úhel trojúhelníku tento úhel jednoznačně neurčuje. Například pokud $hřích β = 0.5$ , úhel $β$ se může rovnat 30 ° nebo 150 °. Použití zákona kosinů tomuto problému předchází: v intervalu od 0 ° do 180 ° kosinová hodnota jednoznačně určuje jeho úhel. Na druhou stranu, pokud je úhel malý (nebo blízký 180 °), pak je numericky robustnější jej určit ze svého sinu než z jeho kosinu, protože funkce oblouku a kosinu má divergentní derivaci na 1 (nebo −1) .
Předpokládáme, že relativní poloha specifikovaných charakteristik je známa. Pokud ne, bude řešením také zrcadlový odraz trojúhelníku. Například tři délky stran jednoznačně definují buď trojúhelník, nebo jeho odraz.

Tři strany dané (SSS)

Jsou uvedeny tři strany

Nechte tři délky stran $A, b, C$ být upřesněno. Najít úhly $α, β$ , zákon kosinů může být použito:^[3]

{ displaystyle { begin {seřazeno} alpha & = arccos { frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} [4pt] beta & = arccos { frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2ac}}. end {zarovnáno}}}

Pak úhel $y = 180° - α - β$ .

Některé zdroje doporučují najít úhel $β$ z sinusový zákon ale (jak uvádí poznámka 1 výše) existuje riziko záměny hodnoty ostrého úhlu s tupou.

Další metodou výpočtu úhlů ze známých stran je použití zákon kotangens.

Dvě strany a daný úhel (SAS)

Dvě strany a uvedený úhel jsou uvedeny

Zde délky stran $A, b$ a úhel $y$ mezi těmito stranami jsou známy. Třetí stranu lze určit ze zákona kosinů:^[4]

{ displaystyle c = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos gamma}}.}

Nyní použijeme zákon kosinů k nalezení druhého úhlu:

{ displaystyle alpha = arccos { frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}}.}

Konečně, $β = 180° - α - y$ .

Dvě strany a daný úhel bez zahrnutí (SSA)

Jsou dány dvě strany a není zahrnutý úhel

Dvě řešení pro trojúhelník

Tento případ není řešitelný ve všech případech; řešení je zaručeno jedinečné pouze v případě, že délka strany sousedící s úhlem je kratší než délka druhé strany. Předpokládejme, že dvě strany $b, C$ a úhel $β$ jsou známy. Rovnice pro úhel $y$ lze odvodit z sinusový zákon:^[5]

{ displaystyle sin gamma = { frac {c} {b}} sin beta.}

Označujeme dále $D = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} C / b hřích β$ (pravá strana rovnice). Existují čtyři možné případy:

Li $D > 1$ , žádný takový trojúhelník neexistuje, protože strana $b$ nedosahuje čáry $před naším letopočtem$ . Ze stejného důvodu řešení neexistuje, pokud je úhel $β \geq 90°$ a $b \leq C$ .
Li $D = 1$ , existuje jedinečné řešení: $y = 90°$ , tj. trojúhelník je pravoúhlý.
Li D < 1 jsou možné dvě alternativy.
1. Li $b \geq C$ , pak $β \geq y$ (větší strana odpovídá většímu úhlu). Protože žádný trojúhelník nemůže mít dva tupé úhly, $y$ je ostrý úhel a řešení $y = arcsin D$ je jedinečný.
2. Li $b < C$ , úhel $y$ může být akutní: $y = arcsin D$ nebo tupý: $γ ' = 180° - y$ . Obrázek vpravo ukazuje bod $C$ , strana $b$ a úhel $y$ jako první řešení a pointa $C'$ , boční $b '$ a úhel $γ '$ jako druhé řešení.

Jednou $y$ získá se třetí úhel $α = 180° - β - y$ .

Třetí stranu pak lze najít ze sinusového zákona:

{ displaystyle a = b { frac { sin alpha} { sin beta}}}

nebo

{ displaystyle a = c cos beta pm { sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} sin ^ {2} beta}}}

Strana a dva sousední úhly dané (ASA)

Jedna strana a dva sousední úhly dané

Známé vlastnosti jsou boční $C$ a úhly $α, β$ . Třetí úhel $y = 180° - α - β$ .

Ze zákona sinusů lze vypočítat dvě neznámé strany:^[6]

{ displaystyle a = c { frac { sin alpha} { sin gamma}}; quad b = c { frac { sin beta} { sin gamma}}.}

nebo

{ displaystyle a = c { frac { sin alpha} { sin alpha cos beta + sin beta cos alpha}}}

{ displaystyle b = c { frac { sin beta} { sin alpha cos beta + sin beta cos alpha}}}

Strana, jeden sousední úhel a opačný úhel daný (AAS)

Postup řešení trojúhelníku AAS je stejný jako postup pro trojúhelník ASA: Nejprve najděte třetí úhel pomocí vlastnosti součet úhlů trojúhelníku, poté najděte další dvě strany pomocí sinusový zákon.

Jiné dané délky

V mnoha případech lze trojúhelníky vyřešit zadáním tří informací, z nichž některé jsou délky trojúhelníků mediány, nadmořské výšky nebo úhlové přímky. Posamentier a Lehmann^[7] vyjmenujte výsledky pro otázku řešitelnosti s použitím maximálně odmocnin (tj. konstruovatelnost ) pro každý z 95 odlišných případů; 63 z nich je proveditelných.

Řešení sférických trojúhelníků

Sférický trojúhelník

Generál sférický trojúhelník je plně určen třemi z jeho šesti charakteristik (3 strany a 3 úhly). Délky stran $A, b, C$ sférického trojúhelníku jsou jejich centrální úhly, měřeno spíše v úhlových jednotkách než v lineárních jednotkách. (Na jednotkové kouli je úhel (v radiány ) a délka kolem koule jsou číselně stejné. V ostatních sférách se úhel (v radiánech) rovná délce kolem koule dělené poloměrem.)

Sférická geometrie se liší od rovinného Euklidovská geometrie, takže řešení sférických trojúhelníků je postaveno na různých pravidlech. Například součet tří úhlů $α + β + y$ záleží na velikosti trojúhelníku. Navíc, podobné trojúhelníky nemůže být nerovné, takže problém konstrukce trojúhelníku se zadanými třemi úhly má jedinečné řešení. Základní vztahy použité k řešení problému jsou podobné jako u rovinného případu: viz Sférický zákon kosinů a Sférický zákon sinusů.

Mezi další užitečné vztahy patří poloviční formule a Napierovy analogie:^[8]

${ displaystyle tan { frac {c} {2}} cos { frac { alfa - beta} {2}} = tan { frac {a + b} {2}} cos { frac { alpha + beta} {2}}}$
${ displaystyle tan { frac {c} {2}} sin { frac { alfa - beta} {2}} = tan { frac {ab} {2}} sin { frac { alpha + beta} {2}}}$
${ displaystyle cot { frac { gamma} {2}} cos { frac {ab} {2}} = tan { frac { alpha + beta} {2}} cos { frac {a + b} {2}}}$
${ displaystyle cot { frac { gamma} {2}} sin { frac {ab} {2}} = tan { frac { alpha - beta} {2}} sin { frac {a + b} {2}}.}$

Jsou uvedeny tři strany

Tři strany dané (sférické SSS)

Známé: boky $A, b, C$ (v úhlových jednotkách). Úhly trojúhelníku jsou vypočítány pomocí sférický zákon kosinů:

{ displaystyle alpha = arccos left ({ frac { cos a- cos b cos c} { sin b sin c}} vpravo),}

{ displaystyle beta = arccos left ({ frac { cos b- cos c cos a} { sin c sin a}} vpravo),}

{ displaystyle gamma = arccos left ({ frac { cos c- cos a cos b} { sin a sin b}} doprava).}

Dvě strany a uvedený úhel jsou uvedeny

Dvě strany a daný úhel (sférický SAS)

Známé: boky $A, b$ a úhel $y$ mezi nimi. Strana $C$ lze najít ze sférického zákona kosinů:

{ displaystyle c = arccos left ( cos a cos b + sin a sin b cos gamma right).}

Úhly $α, β$ lze vypočítat jak je uvedeno výše, nebo pomocí Napierových analogií:

{ displaystyle alpha = arctan { frac {2 sin a} { tan ({ frac { gamma} {2}}) sin (b + a) + cot ({ frac { gamma} {2}}) sin (ba)}},}

{ displaystyle beta = arctan { frac {2 sin b} { tan ({ frac { gamma} {2}}) sin (a + b) + cot ({ frac { gamma} {2}}) sin (ab)}}.}

Tento problém nastává v navigační problém nalezení velké kružnice mezi dvěma body na Zemi určenými jejich zeměpisnou šířkou a délkou; v této aplikaci je důležité používat vzorce, které nejsou náchylné k zaokrouhlovacím chybám. Pro tento účel lze použít následující vzorce (které lze odvodit pomocí vektorové algebry):

{ displaystyle { begin {zarovnáno} c & = arctan { frac { sqrt {( sin a cos b- cos a sin b cos gamma) ^ {2} + ( sin b sin gamma) ^ {2}}} { cos a cos b + sin a sin b cos gamma}}, alpha & = arctan { frac { sin a sin gamma} { sin b cos a- cos b sin a cos gamma}}, beta & = arctan { frac { sin b sin gamma} { sin a cos b- cos a sin b cos gamma}}, end {zarovnáno}}}

kde znaky čitatelů a jmenovatelů v těchto výrazech by měly být použity k určení kvadrantu arkustangensu.

Jsou dány dvě strany a není zahrnutý úhel

Dvě strany a daný úhel bez zahrnutí (sférický SSA)

Tento problém není řešitelný ve všech případech; řešení je zaručeno jedinečné pouze v případě, že délka strany sousedící s úhlem je kratší než délka druhé strany. Známé: boky $b, C$ a úhel $β$ ne mezi nimi. Řešení existuje, pokud platí následující podmínka:

{ displaystyle b> arcsin ( sin c , sin beta).}

Úhel $y$ lze najít z sférický zákon sinusů:

{ displaystyle gamma = arcsin vlevo ({ frac { sin c , sin beta} { sin b}} vpravo).}

Pokud jde o případ letadla, pokud $b < C$ pak existují dvě řešení: $y$ a $180° - y$ .

Pomocí Napierových analogií můžeme najít další charakteristiky:

{ displaystyle { begin {aligned} a & = 2 arctan left [ tan left ({ tfrac {1} {2}} (bc) right) { frac { sin left ({ tfrac {1} {2}} ( beta + gamma) right)} { sin left ({ tfrac {1} {2}} ( beta - gamma) right)}} right], [4pt] alpha & = 2 operatorname {arccot} left [ tan left ({ tfrac {1} {2}} ( beta - gamma) right) { frac { sin left ({ tfrac {1} {2}} (b + c) right)} { sin left ({ tfrac {1} {2}} (bc) right)}} right]. konec {zarovnáno}}}

Jedna strana a dva sousední úhly dané

Strana a dva sousední úhly dané (sférický ASA)

Známé: strana $C$ a úhly $α, β$ . Nejprve určíme úhel $y$ za použití sférický zákon kosinů:

{ displaystyle gamma = arccos ( sin alpha sin beta cos c- cos alpha cos beta). ,}

Můžeme najít dvě neznámé strany ze sférického zákona kosinů (pomocí vypočítaného úhlu $y$ ):

{ displaystyle a = arccos left ({ frac { cos alpha + cos beta cos gamma} { sin beta sin gamma}} right),}

{ displaystyle b = arccos left ({ frac { cos beta + cos alpha cos gamma} { sin alpha sin gamma}} right),}

nebo pomocí analogií Napier:

{ displaystyle { begin {aligned} a & = arctan left [{ frac {2 sin alpha} { cot ({ frac {c} {2}}) sin ( beta + alpha) + tan ({ frac {c} {2}}) sin ( beta - alpha)}} vpravo], [4pt] b & = arctan left [{ frac {2 sin beta} { cot ({ frac {c} {2}}) sin ( alpha + beta) + tan ({ frac {c} {2}}) sin ( alpha - beta) }} vpravo]. end {zarovnáno}}}

Jedna strana, jeden sousední úhel a uvedený opačný úhel

Strana, jeden sousední úhel a daný opačný úhel (sférický AAS)

Známé: strana $A$ a úhly $α, β$ . Strana $b$ lze najít z sférický zákon sinusů:

{ displaystyle b = arcsin left ({ frac { sin a , sin beta} { sin alpha}} vpravo).}

Pokud je úhel pro stranu $A$ je akutní a $α > β$ , existuje další řešení:

{ displaystyle b = pi - arcsin left ({ frac { sin a , sin beta} { sin alpha}} right).}

Pomocí Napierových analogií můžeme najít další charakteristiky:

{ displaystyle { begin {aligned} c & = 2 arctan left [ tan left ({ tfrac {1} {2}} (ab) right) { frac { sin left ({ tfrac {1} {2}} ( alpha + beta) right)} { sin left ({ frac {1} {2}} ( alpha - beta) right)}} right], [4pt] gamma & = 2 operatorname {arccot} left [ tan left ({ tfrac {1} {2}} ( alpha - beta) right) { frac { sin left ({ tfrac {1} {2}} (a + b) right)} { sin left ({ frac {1} {2}} (ab) right)}} right]. konec {zarovnáno}}}

Jsou dány tři úhly

Jsou dány tři úhly (sférický AAA)

Známé: úhly $α, β, y$ . Z sférický zákon kosinů odvodíme:

{ displaystyle a = arccos left ({ frac { cos alpha + cos beta cos gamma} { sin beta sin gamma}} right),}

{ displaystyle b = arccos left ({ frac { cos beta + cos gamma cos alpha} { sin gamma sin alpha}} vpravo),}

{ displaystyle c = arccos left ({ frac { cos gamma + cos alpha cos beta} { sin alpha sin beta}} vpravo).}

Řešení pravoúhlých sférických trojúhelníků

Výše uvedené algoritmy jsou mnohem jednodušší, pokud jeden z úhlů trojúhelníku (například úhel $C$ ) je pravý úhel. Takový sférický trojúhelník je plně definován svými dvěma prvky a další tři lze vypočítat pomocí Napierův Pentagon nebo následující vztahy.

{ displaystyle sin a = sin c cdot sin A}

(z sférický zákon sinusů )

{ displaystyle tan a = sin b cdot tan A}

{ displaystyle cos c = cos a cdot cos b}

(z sférický zákon kosinů )

{ displaystyle tan b = tan c cdot cos A}

{ displaystyle cos A = cos a cdot sin B}

(také ze sférického zákona kosinů)

{ displaystyle cos c = dětská postýlka A cdot dětská postýlka B}

Některé aplikace

Triangulace

Měření vzdálenosti pomocí triangulace

Pokud chcete měřit vzdálenost $d$ z břehu na vzdálenou loď pomocí triangulace, jeden označí na břehu dva body se známou vzdáleností $l$ mezi nimi (základní linie). Nechat $α, β$ být úhly mezi základní linií a směrem k lodi.

Z výše uvedených vzorců (případ ASA, za předpokladu rovinné geometrie) lze vypočítat vzdálenost jako výška trojúhelníku:

{ displaystyle d = { frac { sin alpha , sin beta} { sin ( alpha + beta)}} ell = { frac { tan alpha , tan beta} { tan alpha + tan beta}} ell.}

U sférického případu lze nejprve vypočítat délku strany od bodu v $α$ na loď (tj. strana naproti $β$ ) prostřednictvím vzorce ASA

{ displaystyle tan b = { frac {2 sin beta} { cot (l / 2) sin ( alpha + beta) + tan (l / 2) sin ( alpha - beta )}},}

a vložte to do vzorce AAS pro pravý podtrhel, který obsahuje úhel $α$ a po stranách $b$ a $d$ :

{ displaystyle sin d = sin b sin alpha = { frac { tan b} { sqrt {1+ tan ^ {2} b}}} sin alfa.}

(Rovinný vzorec je vlastně první člen Taylorovy expanze $d$ sférického řešení v pravomocích $l$ .)

Tato metoda se používá v kabotáž. Úhly $α, β$ jsou definovány pozorováním známých orientačních bodů z lodi.

Jak měřit výšku hory

Jako další příklad, pokud chcete měřit výšku $h$ hory nebo vysoké budovy, úhly $α, β$ jsou specifikovány dva pozemní body nahoru. Nechat $ℓ$ být vzdálenost mezi těmito body. Ze stejných vzorců případů ASA získáváme:

{ displaystyle h = { frac { sin alpha , sin beta} { sin ( beta - alpha)}} ell = { frac { tan alpha , tan beta} { tan beta - tan alpha}} ell.}

Vzdálenost mezi dvěma body na zeměkouli

Chcete-li vypočítat vzdálenost mezi dvěma body na světě,

Bod A: zeměpisná šířka

λ A

zeměpisná délka

L A

, a

Bod B: zeměpisná šířka

λ B

zeměpisná délka

L B

uvažujeme sférický trojúhelník $ABC$ , kde $C$ je severní pól. Některé vlastnosti jsou:

{ displaystyle a = 90 ^ { mathrm {o}} - lambda _ { mathrm {B}}, ,}

{ displaystyle b = 90 ^ { mathrm {o}} - lambda _ { mathrm {A}}, ,}

{ displaystyle gamma = L _ { mathrm {A}} -L _ { mathrm {B}}. ,}

Li dvě strany a daný úhel, získáme ze vzorců

{ displaystyle mathrm {AB} = R arccos left [ sin lambda _ { mathrm {A}} , sin lambda _ { mathrm {B}} + cos lambda _ { mathrm {A}} , cos lambda _ { mathrm {B}} , cos left (L _ { mathrm {A}} -L _ { mathrm {B}} right) right].}

Tady $R$ je Poloměr Země.

Viz také

Reference

^ „Řešení trojúhelníků“. Matematika je zábava. Citováno 4. dubna 2012.
^ „Řešení trojúhelníků“. web.horacemann.org. Archivovány od originál dne 7. ledna 2014. Citováno 4. dubna 2012.
^ „Řešení trojúhelníků SSS“. Matematika je zábava. Citováno 13. ledna 2015.
^ „Řešení trojúhelníků SAS“. Matematika je zábava. Citováno 13. ledna 2015.
^ „Řešení trojúhelníků SSA“. Matematika je zábava. Citováno 9. března 2013.
^ „Řešení ASA trojúhelníků“. Matematika je zábava. Citováno 13. ledna 2015.
^ Alfred S.Posamentier a Ingmar Lehmann, Tajemství trojúhelníků, Prometheus Books, 2012: str. 201–203.
^ Napierovy analogie na MathWorld

Euklid (1956) [1925]. Sir Thomas Heath (vyd.). Třináct knih elementů. Svazek I. Přeloženo s úvodem a komentářem. Doveru. ISBN 0-486-60088-2.

externí odkazy

Trigonometrické rozkoše tím, že Eli Maor „Princeton University Press, 1998. Ebook verze, ve formátu PDF, plný text prezentován.
Trigonometrie Alfred Monroe Kenyon a Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. Na obrázcích je uveden plný text. Kniha Google.
Sférická trigonometrie na matematickém světě.
Úvod do sférické spouště. Zahrnuje diskusi o Napierově kruhu a Napierových pravidlech
Sférická trigonometrie - pro použití na vysokých školách a školách autor: I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historická matematická monografie Cornell University Library.
Triangulátor - Řešitel trojúhelníku. Vyřešte jakýkoli problém s rovinným trojúhelníkem s minimem vstupních dat. Výkres řešeného trojúhelníku.
TriSph - Svobodný software pro řešení sférických trojúhelníků, konfigurovatelný pro různé praktické aplikace a konfigurovaný pro gnomonické.
Kalkulačka sférického trojúhelníku - Řeší sférické trojúhelníky.

[1] „Řešení trojúhelníků“. Matematika je zábava. Citováno 4. dubna 2012.

[2] „Řešení trojúhelníků“. web.horacemann.org. Archivovány od originál dne 7. ledna 2014. Citováno 4. dubna 2012.

[3] „Řešení trojúhelníků SSS“. Matematika je zábava. Citováno 13. ledna 2015.

[4] „Řešení trojúhelníků SAS“. Matematika je zábava. Citováno 13. ledna 2015.

[5] „Řešení trojúhelníků SSA“. Matematika je zábava. Citováno 9. března 2013.

[6] „Řešení ASA trojúhelníků“. Matematika je zábava. Citováno 13. ledna 2015.

[7] Alfred S.Posamentier a Ingmar Lehmann, Tajemství trojúhelníků, Prometheus Books, 2012: str. 201–203.

[8] Napierovy analogie na MathWorld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]