Kalmanův filtr - Kalman filter

v statistika a teorie řízení, Kalmanovo filtrování, také známý jako lineární kvadratický odhad (LQE), je algoritmus který používá řadu měření pozorovaných v čase, obsahující statistický šum a další nepřesnosti a vytváří odhady neznámých proměnných, které mají tendenci být přesnější než odhady založené na jediném měření samotném, odhadem společné rozdělení pravděpodobnosti přes proměnné pro každý časový rámec. Filtr je pojmenován po Rudolf E. Kálmán, jeden z hlavních vývojářů své teorie.
Kalmanův filtr má řadu technologických aplikací. Běžná aplikace je pro navádění, navigace a ovládání vozidel, zejména letadel, kosmických lodí a dynamicky umístěné lodě.[1] Kalmanov filtr je dále široce používaným konceptem v časové řady analýza používaná v oblastech jako zpracování signálu a ekonometrie. Kalmanovy filtry jsou také jedním z hlavních témat v oblasti robotiky plánování pohybu a ovládání a lze je použít v optimalizace trajektorie.[2] Kalmanov filtr funguje také pro modelování centrální nervový systém ovládání pohybu. Kvůli časové prodlevě mezi vydáním povelů motoru a příjmem senzorická zpětná vazba, použití Kalmanova filtru podporuje realistický model pro vytváření odhadů aktuálního stavu motorového systému a vydávání aktualizovaných příkazů.[3]
Algoritmus pracuje ve dvou krocích. V kroku predikce vytváří Kalmanov filtr odhad proudu stavové proměnné, spolu s jejich nejistotami. Jakmile je pozorován výsledek dalšího měření (nutně poškozený určitou mírou chyb, včetně náhodného šumu), jsou tyto odhady aktualizovány pomocí vážený průměr, přičemž větší váha je věnována odhadům s vyšší jistotou. Algoritmus je rekurzivní. Může to běžet reálný čas, používající pouze aktuální vstupní měření a dříve vypočítaný stav a jeho matici nejistoty; nejsou vyžadovány žádné další minulé informace.
Optimalita Kalmanova filtru předpokládá, že chyby jsou Gaussian. Podle slov Rudolf E. Kálmán „Souhrnně lze říci, že o náhodných procesech se uvažuje o následujících předpokladech: Fyzické náhodné jevy lze považovat za důsledek primárních náhodných zdrojů vzrušujících dynamické systémy. Za primární zdroje se považují nezávislé gaussovské náhodné procesy s nulovým průměrem; dynamické systémy budou být lineární. “[4] Ačkoli bez ohledu na gaussianitu, pokud jsou známy procesní a měřící kovarianty, je Kalmanov filtr nejlepší možný lineární odhad v minimální smysl střední kvadratické chyby.[5]
Rozšíření a zobecnění k metodě byly rovněž vyvinuty, například rozšířený Kalmanův filtr a neparfémovaný Kalmanov filtr které fungují nelineární systémy. Podkladový model je a skrytý Markovův model Kde státní prostor z latentní proměnné je kontinuální a všechny latentní a pozorované proměnné mají Gaussovo rozdělení. Kalmanův filtr byl také úspěšně použit v fúze více senzorů,[6] a distribuovány senzorové sítě vyvíjet distribuované nebo shoda Kalmanův filtr.[7]
Dějiny
Filtr je pojmenován po maďarštině emigrant Rudolf E. Kálmán, Ačkoli Thorvald Nicolai Thiele[8][9] a Peter Swerling vyvinul podobný algoritmus dříve. Richard S. Bucy z Laboratoř aplikované fyziky Johns Hopkins přispěl k teorii, což vedlo k tomu, že se jí někdy říká Kalman – Bucyův filtr.Stanley F. Schmidt je obecně připočítán s vývojem první implementace Kalmanova filtru. Uvědomil si, že filtr lze rozdělit na dvě odlišné části, přičemž jedna část pro časové úseky mezi výstupy snímače a další část pro začlenění měření.[10] Bylo to během návštěvy Kálmána v Výzkumné centrum NASA Ames že Schmidt viděl použitelnost Kálmánových myšlenek na nelineární problém odhadu trajektorie pro Program Apollo což vedlo k jeho začlenění do navigačního počítače Apollo. Tento Kalmanov filtr byl poprvé popsán a částečně vyvinut v technických dokumentech Swerlinga (1958), Kalmana (1960) a Kalmana a Bucyho (1961).
Počítač Apollo používal 2k RAM s magnetickým jádrem a 36k lano [...]. CPU byl postaven z integrovaných obvodů [...]. Rychlost hodin byla pod 100 kHz [...]. Skutečnost, že inženýři MIT dokázali zabalit tak dobrý software (jedna z prvních aplikací Kalmanova filtru) do tak malého počítače, je opravdu pozoruhodná.
— Rozhovor s Jackem Crenshawem, Matthew Reed, TRS-80.org (2009) [1]
Kalmanovy filtry byly životně důležité při implementaci navigačních systémů systému americké námořnictvo jaderný ponorky balistických raket a v naváděcích a navigačních systémech řízených střel, jako jsou americké námořnictvo Raketa Tomahawk a Americké letectvo je Letecky zahájená řízená střela. Používají se také v naváděcích a navigačních systémech systému opakovaně použitelné nosné prostředky a ovládání postoje a navigační systémy kosmických lodí, které kotví u Mezinárodní vesmírná stanice.[11]
Tento digitální filtr se někdy nazývá Filtr Stratonovich – Kalman – Bucy protože se jedná o speciální případ obecnějšího nelineárního filtru vyvinutého o něco dříve Sovětem matematik Ruslan Stratonovich.[12][13][14][15] Ve skutečnosti se některé rovnice lineárního filtru zvláštních případů objevily v těchto dokumentech Stratonoviche, které byly publikovány před létem 1960, kdy se Kalman setkal se Stratonovichem během konference v Moskvě.[16]
Přehled výpočtu
Kalmanov filtr používá systémový dynamický model (např. Fyzikální zákony pohybu), známé řídicí vstupy do tohoto systému a několik následných měření (například ze senzorů) k vytvoření odhadu proměnných veličin systému Stát ), což je lepší než odhad získaný použitím pouze jednoho měření samotného. Jako takový je to běžné fúze senzorů a fúze dat algoritmus.
Údaje o hlučném senzoru, aproximace v rovnicích, které popisují vývoj systému, a vnější faktory, které nejsou brány v úvahu pro všechna místa, omezují, jak dobře je možné určit stav systému. Kalmanův filtr účinně řeší nejistotu způsobenou hlučnými údaji ze snímače a do určité míry i náhodnými vnějšími faktory. Kalmanův filtr produkuje odhad stavu systému jako průměr předpokládaného stavu systému a nového měření pomocí vážený průměr. Účelem vah je, aby byly více důvěryhodné hodnoty s lepší (tj. Menší) odhadovanou nejistotou. Váhy se počítají z kovariance, míra odhadované nejistoty predikce stavu systému. Výsledkem váženého průměru je odhad nového stavu, který leží mezi předpovězeným a měřeným stavem a má lepší odhadovanou nejistotu než kterýkoli jiný. Tento proces se opakuje v každém časovém kroku, přičemž nový odhad a jeho kovariance informují o predikci použité v následující iteraci. To znamená, že Kalmanův filtr funguje rekurzivně a pro výpočet nového stavu vyžaduje pouze poslední „nejlepší odhad“ stavu systému, nikoli celou historii.
Relativní jistota měření a odhad aktuálního stavu je důležitým hlediskem a je běžné diskutovat o odezvě filtru z hlediska Kalmanova filtru získat. Kalmanův zisk je relativní váha daná měřením a odhadem aktuálního stavu a může být „vyladěna“ pro dosažení konkrétního výkonu. Při vysokém zesílení umístí filtr větší váhu na nejnovější měření a následuje je tedy citlivěji. S nízkým ziskem filtr přesněji sleduje předpovědi modelu. V extrémech bude vysoký zisk blízký jedné mít za následek skákavější odhadovanou trajektorii, zatímco nízký zisk blízký nule vyhladí hluk, ale sníží citlivost.
Při provádění skutečných výpočtů pro filtr (jak je popsáno níže) se zakóduje odhad stavu a kovariance matice zvládnout více dimenzí zahrnutých do jedné sady výpočtů. To umožňuje reprezentaci lineárních vztahů mezi různými stavovými proměnnými (jako je poloha, rychlost a zrychlení) v kterémkoli z přechodových modelů nebo kovariancí.
Příklad aplikace
Jako příklad aplikace zvažte problém stanovení přesné polohy nákladního vozidla. Vozík může být vybaven a GPS jednotka, která poskytuje odhad polohy do několika metrů. Odhad GPS bude pravděpodobně hlučný; naměřené hodnoty rychle „skákají kolem“, přestože zůstávají ve vzdálenosti několika metrů od skutečné polohy. Kromě toho, protože se od vozu očekává, že bude dodržovat fyzikální zákony, lze jeho polohu odhadnout také integrací jeho rychlosti v čase, která je určena sledováním otáček kola a úhlu volantu. Toto je technika známá jako mrtvé počítání. Mrtvé zúčtování obvykle poskytne velmi plynulý odhad polohy kamionu, ale bude drift postupem času se hromadí malé chyby.
V tomto příkladu lze Kalmanův filtr považovat za fungující ve dvou odlišných fázích: predikce a aktualizace. Ve fázi predikce bude stará poloha nákladního vozu upravena podle fyzického stavu zákony pohybu (dynamický model nebo model "přechodu stavu"). Vypočítá se nejen nový odhad polohy, ale také nová kovariance. Kovariance je možná úměrná rychlosti nákladního vozidla, protože jsme si nejistější ohledně přesnosti odhadu polohy mrtvého zúčtování při vysokých rychlostech, ale velmi jistí ohledně odhadu polohy při nízkých rychlostech. Dále ve fázi aktualizace se z jednotky GPS provede měření polohy nákladního vozidla. Spolu s tímto měřením přichází určitá míra nejistoty a jeho kovariance ve srovnání s predikcí z předchozí fáze určuje, jak moc nové měření ovlivní aktualizovanou predikci. V ideálním případě, protože odhady mrtvého zúčtování mají tendenci se vzdalovat od skutečné polohy, mělo by měření GPS přitáhnout odhad polohy zpět ke skutečné poloze, ale nemělo by jej rušit do takové míry, že bude hlučný a rychle skáče.
Technický popis a kontext
Kalmanov filtr je efektivní rekurzivní filtr že odhady vnitřní stav a lineární dynamický systém ze série hlučný Měření. Používá se v široké škále inženýrství a ekonometrické aplikace od radar a počítačové vidění k odhadu strukturálních makroekonomických modelů,[17][18] a je důležitým tématem v teorie řízení a řídicí systémy inženýrství. Spolu s lineárně kvadratický regulátor (LQR), Kalmanův filtr řeší lineární – kvadratická – Gaussova regulace problém (LQG). Kalmanov filtr, lineárně-kvadratický regulátor a lineárně-kvadratický-gaussovský regulátor jsou řešením toho, co je pravděpodobně nejzásadnějším problémem teorie řízení.
Ve většině aplikací je vnitřní stav mnohem větší (více stupně svobody ) než několik „pozorovatelných“ parametrů, které jsou měřeny. Kombinací řady měření však může Kalmanův filtr odhadnout celý vnitřní stav.
V Dempster – Shaferova teorie, každá stavová rovnice nebo pozorování je považována za zvláštní případ a funkce lineární víry a Kalmanov filtr je speciální případ kombinace funkcí lineární víry na spojovacím stromě nebo Markov strom. Mezi další přístupy patří filtry víry kteří používají Bayes nebo důkazní aktualizace stavových rovnic.
Nyní byla vyvinuta široká škála Kalmanových filtrů, z Kalmanovy původní formulace, nyní nazývané „jednoduchý“ Kalmanův filtr, Kalman – Bucyův filtr, Schmidtův „rozšířený“ filtr, informační filtr a řadu „odmocninových“ filtrů, které vyvinuli Bierman, Thornton a mnoho dalších. Snad nejběžněji používaným typem velmi jednoduchého Kalmanova filtru je fázově uzavřená smyčka, který je nyní v rádiích všudypřítomný frekvenční modulace (FM) rádia, televizní přijímače, satelitní komunikace přijímače, komunikační systémy ve vesmíru a téměř všechny ostatní elektronický komunikační zařízení.
Základní model dynamického systému
![]() | Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Srpna 2011) |
Kalmanovy filtry jsou založeny na lineární dynamické systémy diskretizováno v časové oblasti. Jsou po vzoru a Markovův řetězec postaven na lineární operátory rozrušený chybami, které mohou zahrnovat Gaussian hluk. The Stát systému je reprezentován jako a vektor z reálná čísla. U každého diskrétní čas přírůstek, na stav se aplikuje lineární operátor ke generování nového stavu, se smíšeným šumem a volitelně s některými informacemi z ovládacích prvků v systému, pokud jsou známy. Poté další lineární operátor smíchaný s více šumem generuje pozorované výstupy ze skutečného („skrytého“) stavu. Kalmanův filtr lze považovat za analogický se skrytým Markovovým modelem, s klíčovým rozdílem, že proměnné skrytého stavu nabývají hodnot v spojitém prostoru na rozdíl od diskrétního stavového prostoru jako ve skrytém Markovově modelu. Mezi rovnicemi Kalmanova filtru a rovnicemi skrytého Markovova modelu existuje silná analogie. Přehled tohoto a dalších modelů je uveden v Roweis a Ghahramani (1999),[19] a Hamilton (1994), kapitola 13.[20]
Aby bylo možné pomocí Kalmanova filtru odhadnout vnitřní stav procesu, který je dán pouze posloupností hlučných pozorování, je třeba proces modelovat v souladu s následujícím rámcem. To znamená specifikovat následující matice:
- Fk, model přechodu stavu;
- Hkmodel pozorování;
- Qk, kovariance hluku procesu;
- Rk, kovariance hluku pozorování;
- a někdy Bk, model řízení-vstupu, pro každý časový krok, k, jak je popsáno níže.

Model Kalmanova filtru předpokládá skutečný stav v čase k se vyvinul ze státu v (k - 1) podle
kde
- Fk je model přechodu stavu, který se aplikuje na předchozí stav Xk−1;
- Bk je model řízení-vstupu, který se aplikuje na řídicí vektor uk;
- wk je procesní šum, o kterém se předpokládá, že je vyvozen z nulové střední hodnoty vícerozměrné normální rozdělení, , s kovariance, Qk: .
V čase k pozorování (nebo měření) zk skutečného stavu Xk je vyroben podle
kde
- Hk je model pozorování, který mapuje skutečný stavový prostor do pozorovaného prostoru a
- protik je pozorovací šum, o kterém se předpokládá, že je nulový průměr Gaussian bílý šum s kovariancí Rk: .
Počáteční stav a vektory šumu v každém kroku {X0, w1, ..., wk, proti1, ... ,protik} se předpokládá, že jsou vzájemně nezávislý.
Mnoho skutečných dynamických systémů tomuto modelu přesně nesedí. Ve skutečnosti nemodelovaná dynamika může vážně snížit výkon filtru, i když měl pracovat s neznámými stochastickými signály jako vstupy. Důvodem je to, že účinek nemodelované dynamiky závisí na vstupu, a proto může uvést algoritmus odhadu do nestability (rozbíhá se). Na druhou stranu nezávislé signály bílého šumu nezpůsobí odchýlení algoritmu. Problém rozlišování mezi šumem měření a nemodelovanou dynamikou je obtížný a je řešen v teorii řízení v rámci robustní ovládání.[21][22]
Detaily
Kalmanov filtr je a rekurzivní odhadce. To znamená, že k výpočtu odhadu pro aktuální stav je potřeba pouze odhadovaný stav z předchozího časového kroku a aktuální měření. Na rozdíl od technik dávkového odhadu není vyžadována žádná historie pozorování a / nebo odhadů. V následujícím následuje notace představuje odhad v čase n daná pozorování až do času včetně m ≤ n.
Stav filtru je reprezentován dvěma proměnnými:
- , a posteriori odhad stavu v čase k daná pozorování až do času včetně k;
- , a posteriori odhad kovarianční matice (míra odhadované přesnost státního odhadu).
Kalmanovy filtry lze psát jako jednu rovnici, nejčastěji se však pojímají jako dvě odlišné fáze: „Predikovat“ a „Aktualizovat“. Fáze predikce používá odhad stavu z předchozího časového kroku k vytvoření odhadu stavu v aktuálním časovém kroku. Tento odhad předpokládaného stavu je také známý jako a priori odhad stavu, protože i když se jedná o odhad stavu v aktuálním časovém kroku, nezahrnuje informace o pozorování z aktuálního časového kroku. Ve fázi aktualizace aktuální a priori predikce je kombinována s aktuálními pozorovacími informacemi pro zpřesnění odhadu stavu. Tento vylepšený odhad se nazývá a posteriori odhad stavu.
Tyto dvě fáze se obvykle střídají, přičemž predikce postupuje do stavu až do dalšího plánovaného pozorování a aktualizace zahrnuje pozorování. To však není nutné; pokud z nějakého důvodu není pozorování k dispozici, může být aktualizace přeskočena a provedeno několik kroků predikce. Podobně, pokud je k dispozici více nezávislých pozorování současně, lze provést několik kroků aktualizace (obvykle s různými pozorovacími maticemi Hk).[23][24]
Předpovědět
Předpovězeno (a priori) odhad stavu | |
Předpovězeno (a priori) odhad kovariance |
Aktualizace
Inovace nebo zbytkové předmontování měření | |
Inovace (nebo předběžné přizpůsobení zbytkové) kovariance | |
Optimální Kalmanův zisk | |
Aktualizováno (a posteriori) odhad stavu | |
Aktualizováno (a posteriori) odhad kovariance | |
Post-fit měření reziduální |
Vzorec pro aktualizovaný (a posteriori) odhad kovariance výše platí pro optimální K.k zisk, který minimalizuje zbytkovou chybu, v jaké formě se v aplikacích nejčastěji používá. Důkaz vzorců je uveden v derivace sekce, kde je vzorec platný pro všechny K.k je také zobrazen.
Intuitivnější způsob vyjádření odhadu aktualizovaného stavu () je:
Tento výraz nám připomíná lineární interpolaci, pro mezi [0,1]. V našem případě:
- je Kalmanův zisk (), matice, která přebírá hodnoty z (vysoká chyba snímače) na (nízká chyba).
- je hodnota odhadovaná z modelu.
- je hodnota z měření.
Invarianty
Pokud je model přesný a hodnoty pro a přesně odrážejí rozdělení počátečních stavových hodnot, zůstanou zachovány následující invarianty:
kde je očekávaná hodnota z . To znamená, že všechny odhady mají střední chybu nula.
Taky:
tak kovarianční matice přesně odrážejí kovarianci odhadů.
Odhad koeficientů hluku Qk a R.k
Praktická implementace Kalmanova filtru je často obtížná kvůli obtížnosti získání dobrého odhadu kovariančních matic šumu Qk a Rk. V této oblasti byl proveden rozsáhlý výzkum k odhadu těchto kovariancí z dat. Jeden praktický přístup k tomu je autokonverze nejmenších čtverců (ALS) technika, která využívá časově zpožděné autovariance rutinních provozních údajů k odhadu kovariancí.[25][26] The GNU oktáva a Matlab kód použitý k výpočtu šumových kovariančních matic pomocí techniky ALS je k dispozici online pod GNU General Public License.[27] Field Kalman Filter (FKF), Bayesianův algoritmus, který umožňuje simultánní odhad stavu, parametrů a kovariance šumu, byl navržen v.[28] Algoritmus FKF má rekurzivní formulaci, dobrou pozorovanou konvergenci a relativně nízkou složitost. To dává možnost, že algoritmus FKF může být alternativou k metodám Autocovariance Least-Squares.
Optimalita a výkon
Z teorie vyplývá, že Kalmanov filtr je optimálním lineárním filtrem v případech, kdy a) model dokonale odpovídá skutečnému systému, b) vstupní šum je bílý (nekorelovaný) ac) kovariance šumu jsou přesně známy. Během posledních desetiletí bylo navrženo několik metod pro odhad kovariance šumu, včetně ALS, zmíněných v části výše. Po odhadu kovariancí je užitečné vyhodnotit výkon filtru; tj. zda je možné zlepšit kvalitu odhadu stavu. Pokud Kalmanův filtr funguje optimálně, inovační sekvence (chyba predikce výstupu) je bílý šum, proto vlastnost bělosti inovací měří výkon filtru. K tomuto účelu lze použít několik různých metod.[29] Pokud jsou termíny šumu distribuovány negaussovsky, jsou v literatuře známy metody pro hodnocení výkonu odhadu filtru, které využívají nerovnosti pravděpodobnosti nebo teorii velkých vzorků.[30][31]
Ukázková aplikace, technická

Zvažte nákladní vůz na přímých kolejnicích bez tření. Zpočátku je vozidlo v klidu v poloze 0, ale je nárazováno tímto způsobem a tím náhodnými nekontrolovanými silami. Každou Δ měříme polohu nákladního vozidlat sekund, ale tato měření jsou nepřesná; chceme zachovat model polohy kamionu a rychlost. Ukážeme zde, jak odvodíme model, ze kterého vytvoříme náš Kalmanův filtr.
Od té doby jsou konstantní, jejich časové indexy klesají.
Poloha a rychlost vozíku jsou popsány lineárním stavovým prostorem
kde je rychlost, tj. derivace polohy vzhledem k času.
Předpokládáme, že mezi (k - 1) a k nekontrolované síly timestep způsobují neustálé zrychlování Ak to je normálně distribuováno, se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou σA. Z Newtonovy zákony pohybu dospěli jsme k závěru, že
(tady není žádný termín, protože nejsou známy žádné řídicí vstupy. Namísto, Ak je účinek neznámého vstupu a použije tento účinek na stavový vektor) kde
aby
kde
Matice není úplná hodnost (je hodnost jedna, pokud ). Proto distribuce není absolutně kontinuální a má žádná funkce hustoty pravděpodobnosti. Další způsob, jak to vyjádřit, jak se vyhnout explicitnímu zdegenerovanému rozdělení, je uveden v
V každém časovém kroku se provádí hlučné měření skutečné polohy vozíku. Předpokládejme hluk měření protik je také normálně distribuováno, se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou σz.
kde
a
Počáteční počáteční stav kamionu známe s dokonalou přesností, proto inicializujeme
a abychom filtru řekli, že známe přesnou polohu a rychlost, dáme jí nulovou kovarianční matici:
Pokud počáteční poloha a rychlost nejsou přesně známy, měla by se kovarianční matice inicializovat s vhodnými odchylkami na její úhlopříčce:
Filtr pak upřednostní informace z prvních měření před informacemi již v modelu.
Asymptotická forma
Pro jednoduchost předpokládejme, že řídicí vstup . Pak může být napsán Kalmanův filtr:
Podobná rovnice platí, pokud zahrneme nenulový řídicí vstup. Získejte matice se vyvíjejí nezávisle na měření . Z výše uvedeného jsou čtyři rovnice potřebné pro aktualizaci Kalmanova zisku následující:
Vzhledem k tomu, že matice zisku závisí pouze na modelu, a nikoli na měřeních, lze je vypočítat offline. Konvergence matic zisku na asymptotickou matrici drží za podmínek stanovených ve Walrandu a Dimakis.[32] Simulace stanoví počet kroků ke konvergenci. U výše popsaného příkladu pohybujícího se vozíku s . a , simulace ukazuje konvergenci v systému Windows iterace.
Použití asymptotického zisku a předpokládání a jsou nezávislé na se Kalmanův filtr stává a lineární časově invariantní filtr:
Asymptotický zisk , pokud existuje, lze vypočítat nejprve vyřešením následující diskrétní Riccatiho rovnice pro kovarianci asymptotického stavu :[32]
Asymptotický zisk se poté vypočítá jako dříve.
Odvození
![]() | Tato sekce potřebuje další citace pro ověření.Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Odvození a posteriori odhad kovarianční matice
Počínaje naším invariantem na kovarianci chyb Pk | k jak je uvedeno výše
nahradit v definici
a nahradit
a
a shromážděním chybových vektorů dostaneme
Protože chyba měření protik nesouvisí s ostatními podmínkami, stává se
podle vlastností vektorová kovariance toto se stává
které pomocí našeho invariantu na Pk | k−1 a definice Rk se stává
Tento vzorec (někdy známý jako Joseph forma rovnice aktualizace kovariance) platí pro jakoukoli hodnotu K.k. Ukazuje se, že pokud K.k je optimální Kalmanův zisk, lze jej dále zjednodušit, jak je znázorněno níže.
Kalmanova derivace zisku
Kalmanov filtr je a minimální střední chyba odhadce. Chyba v a posteriori odhad stavu je
Snažíme se minimalizovat očekávanou hodnotu čtverce o velikosti tohoto vektoru, . To odpovídá minimalizaci stopa z a posteriori odhad kovarianční matice . Rozšířením podmínek ve výše uvedené rovnici a shromažďováním získáme:
The trace is minimized when its matrix derivative with respect to the gain matrix is zero. Za použití gradient matrix rules and the symmetry of the matrices involved we find that
Řešení pro K.k yields the Kalman gain:
This gain, which is known as the optimal Kalman gain, is the one that yields MMSE estimates when used.
Simplification of the posteriori error covariance formula
The formula used to calculate the a posteriori error covariance can be simplified when the Kalman gain equals the optimal value derived above. Multiplying both sides of our Kalman gain formula on the right by SkK.kT, it follows that
Referring back to our expanded formula for the a posteriori error covariance,
we find the last two terms cancel out, giving
This formula is computationally cheaper and thus nearly always used in practice, but is only correct for the optimal gain. If arithmetic precision is unusually low causing problems with numerická stabilita, or if a non-optimal Kalman gain is deliberately used, this simplification cannot be applied; the a posteriori error covariance formula as derived above (Joseph form) must be used.
Analýza citlivosti
![]() | Tato sekce potřebuje další citace pro ověření.Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
The Kalman filtering equations provide an estimate of the state and its error covariance recursively. The estimate and its quality depend on the system parameters and the noise statistics fed as inputs to the estimator. This section analyzes the effect of uncertainties in the statistical inputs to the filter.[33] In the absence of reliable statistics or the true values of noise covariance matrices a , výraz
no longer provides the actual error covariance. Jinými slovy, . In most real-time applications, the covariance matrices that are used in designing the Kalman filter are different from the actual (true) noise covariances matrices.[Citace je zapotřebí ] This sensitivity analysis describes the behavior of the estimation error covariance when the noise covariances as well as the system matrices a that are fed as inputs to the filter are incorrect. Thus, the sensitivity analysis describes the robustness (or sensitivity) of the estimator to misspecified statistical and parametric inputs to the estimator.
This discussion is limited to the error sensitivity analysis for the case of statistical uncertainties. Here the actual noise covariances are denoted by a respectively, whereas the design values used in the estimator are a resp. The actual error covariance is denoted by a as computed by the Kalman filter is referred to as the Riccati variable. Když a , tohle znamená tamto . While computing the actual error covariance using , nahrazující and using the fact that a , results in the following recursive equations for :
a
While computing , by design the filter implicitly assumes that a . The recursive expressions for a are identical except for the presence of a in place of the design values a resp. Researches have been done to analyze Kalman filter system's robustness.[34]
Square root form
One problem with the Kalman filter is its numerická stabilita. If the process noise covariance Qk is small, round-off error often causes a small positive eigenvalue to be computed as a negative number. This renders the numerical representation of the state covariance matrix P neurčitý, while its true form is pozitivní-definitivní.
Positive definite matrices have the property that they have a trojúhelníková matice odmocnina P = S·ST. This can be computed efficiently using the Choleského faktorizace algorithm, but more importantly, if the covariance is kept in this form, it can never have a negative diagonal or become asymmetric. An equivalent form, which avoids many of the odmocnina operations required by the matrix square root yet preserves the desirable numerical properties, is the U-D decomposition form, P = U·D·UT, kde U je unit triangular matrix (with unit diagonal), and D je diagonální matice.
Between the two, the U-D factorization uses the same amount of storage, and somewhat less computation, and is the most commonly used square root form. (Early literature on the relative efficiency is somewhat misleading, as it assumed that square roots were much more time-consuming than divisions,[35]:69 while on 21-st century computers they are only slightly more expensive.)
Efficient algorithms for the Kalman prediction and update steps in the square root form were developed by G. J. Bierman and C. L. Thornton.[35][36]
The L·D·LT rozklad of the innovation covariance matrix Sk is the basis for another type of numerically efficient and robust square root filter.[37] The algorithm starts with the LU decomposition as implemented in the Linear Algebra PACKage (LAPACK ). These results are further factored into the L·D·LT structure with methods given by Golub and Van Loan (algorithm 4.1.2) for a symmetric nonsingular matrix.[38] Any singular covariance matrix is otočený so that the first diagonal partition is nesmyslný a dobře podmíněný. The pivoting algorithm must retain any portion of the innovation covariance matrix directly corresponding to observed state-variables Hk·Xk|k-1 that are associated with auxiliary observations inyk. The l·d·lt square-root filter requires ortogonalizace of the observation vector.[36][37] This may be done with the inverse square-root of the covariance matrix for the auxiliary variables using Method 2 in Higham (2002, p. 263).[39]
Relationship to recursive Bayesian estimation
The Kalman filter can be presented as one of the simplest dynamické Bayesovské sítě. The Kalman filter calculates estimates of the true values of states recursively over time using incoming measurements and a mathematical process model. Podobně, rekurzivní Bayesiánský odhad počítá odhady neznámého funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) recursively over time using incoming measurements and a mathematical process model.[40]
In recursive Bayesian estimation, the true state is assumed to be an unobserved Markov proces, and the measurements are the observed states of a hidden Markov model (HMM).

because of the Markov assumption, the true state is conditionally independent of all earlier states given the immediately previous state.
Similarly, the measurement at the k-th timestep is dependent only upon the current state and is conditionally independent of all other states given the current state.
Using these assumptions the probability distribution over all states of the hidden Markov model can be written simply as:
However, when the Kalman filter is used to estimate the state X, the probability distribution of interest is that associated with the current states conditioned on the measurements up to the current timestep. This is achieved by marginalizing out the previous states and dividing by the probability of the measurement set.
To vede k predict a Aktualizace steps of the Kalman filter written probabilistically. The probability distribution associated with the predicted state is the sum (integral) of the products of the probability distribution associated with the transition from the (k − 1)-th timestep to the k-th and the probability distribution associated with the previous state, over all possible .
The measurement set up to time t je
The probability distribution of the update is proportional to the product of the measurement likelihood and the predicted state.
The denominator
is a normalization term.
The remaining probability density functions are
The PDF at the previous timestep is inductively assumed to be the estimated state and covariance. This is justified because, as an optimal estimator, the Kalman filter makes best use of the measurements, therefore the PDF for given the measurements is the Kalman filter estimate.
Mezní pravděpodobnost
Related to the recursive Bayesian interpretation described above, the Kalman filter can be viewed as a generativní model, i.e., a process for generování a stream of random observations z = (z0, z1, z2, ...). Specifically, the process is
- Sample a hidden state from the Gaussian prior distribution .
- Sample an observation from the observation model .
- Pro , dělat
- Sample the next hidden state from the transition model
- Sample an observation from the observation model
This process has identical structure to the skrytý Markovův model, except that the discrete state and observations are replaced with continuous variables sampled from Gaussian distributions.
In some applications, it is useful to compute the pravděpodobnost that a Kalman filter with a given set of parameters (prior distribution, transition and observation models, and control inputs) would generate a particular observed signal. This probability is known as the mezní pravděpodobnost because it integrates over ("marginalizes out") the values of the hidden state variables, so it can be computed using only the observed signal. The marginal likelihood can be useful to evaluate different parameter choices, or to compare the Kalman filter against other models using Bayesovské srovnání modelů.
It is straightforward to compute the marginal likelihood as a side effect of the recursive filtering computation. Podle řetězové pravidlo, the likelihood can be factored as the product of the probability of each observation given previous observations,
- ,
and because the Kalman filter describes a Markov process, all relevant information from previous observations is contained in the current state estimate Thus the marginal likelihood is given by
i.e., a product of Gaussian densities, each corresponding to the density of one observation zk under the current filtering distribution . This can easily be computed as a simple recursive update; however, to avoid numeric underflow, in a practical implementation it is usually desirable to compute the log mezní pravděpodobnost namísto. Adopting the convention , this can be done via the recursive update rule
kde is the dimension of the measurement vector.[41]
An important application where such a (log) likelihood of the observations (given the filter parameters) is used is multi-target tracking. For example, consider an object tracking scenario where a stream of observations is the input, however, it is unknown how many objects are in the scene (or, the number of objects is known but is greater than one). V takovém scénáři může být apriori neznámo, které pozorování / měření byla generována kterým objektem. Sledovač vícenásobných hypotéz (MHT) obvykle vytvoří různé hypotézy asociační stopy, kde každou hypotézu lze chápat jako Kalmanův filtr (v lineárním Gaussově případě) se specifickou sadou parametrů spojených s hypotézovaným objektem. Je tedy důležité vypočítat pravděpodobnost pozorování pro různé uvažované hypotézy tak, aby byla nalezena nejpravděpodobnější.
Informační filtr
![]() | Tato sekce potřebuje další citace pro ověření.Duben 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V informačním filtru nebo inverzním kovariančním filtru jsou odhadovaná kovariance a odhadovaný stav nahrazeny informační matice a informace vektor, resp. Ty jsou definovány jako:
Podobně předpokládaná kovariance a stav mají ekvivalentní informační formy definované jako:
stejně jako kovariance měření a vektor měření, které jsou definovány jako:
Aktualizace informací se nyní stává triviální částkou.[42]
Hlavní výhodou informačního filtru je to N měření lze filtrovat v každém časovém kroku jednoduše sečtením jejich informačních matic a vektorů.
K predikci informačního filtru lze převést informační matici a vektor zpět na jejich ekvivalenty stavového prostoru nebo alternativně použít predikci informačního prostoru.[42]
Li F a Q jsou časově neměnné, tyto hodnoty lze uložit do mezipaměti, a F a Q musí být invertibilní.
Hladší s pevným zpožděním
![]() | Tato sekce potřebuje další citace pro ověření.Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Optimální vyhlazovač s pevným zpožděním poskytuje optimální odhad pro dané pevné zpoždění pomocí měření z na .[43] Lze jej odvodit pomocí předchozí teorie pomocí rozšířeného stavu a hlavní rovnice filtru je následující:
kde:
- odhaduje se pomocí standardního Kalmanova filtru;
- je vyrobená inovace s ohledem na odhad standardního Kalmanova filtru;
- různé s jsou nové proměnné; tj. neobjevují se ve standardním Kalmanově filtru;
- zisky se počítají pomocí následujícího schématu:
- a
- kde a jsou kovariance predikční chyby a zisky standardního Kalmanova filtru (tj. ).
Pokud je kovariance chyby odhadu definována tak
pak tu máme zlepšení odhadu darováno:
Vyhlazovače s pevným intervalem
Optimální hladší interval s pevným intervalem poskytuje optimální odhad () pomocí měření z pevného intervalu na . Toto se také nazývá „Kalmanovo vyhlazování“. Běžně se používá několik vyhlazovacích algoritmů.
Rauch – Tung – Striebel
Hladší Rauch – Tung – Striebel (RTS) je efektivní dvouprůchodový algoritmus pro vyhlazení s pevným intervalem.[44]
Průchod vpřed je stejný jako běžný algoritmus Kalmanova filtru. Tyto filtrovaný a-a priori a a-a posteriori odhady stavu , a kovariáty , jsou uloženy pro použití při zpětném přihrávce.
Při zpětném průchodu vypočítáme uhlazen státní odhady a kovariáty . Začneme v posledním časovém kroku a postupujeme zpět v čase pomocí následujících rekurzivních rovnic:
kde
je a-posteriori odhad stavu timestep a je a-a priori odhad stavu timestep . Stejná notace platí pro kovarianci.
Upravený Bryson – Frazier hladší
Alternativou k algoritmu RTS je upravený hladší interval Bryson – Frazier (MBF) vyvinutý společností Bierman.[36] To také používá zpětný průchod, který zpracovává data uložená z předávacího průchodu Kalmanovým filtrem. Rovnice pro zpětný průchod zahrnují rekurzivní výpočet dat, která se používají v každém čase pozorování k výpočtu vyhlazeného stavu a kovariance.
Rekurzivní rovnice jsou
kde je zbytková kovariance a . Vyhlazený stav a kovarianci lze potom najít substitucí v rovnicích
nebo
Důležitou výhodou MBF je, že nevyžaduje nalezení inverze kovarianční matice.
Hladší minimální odchylka
Vyhlazovač minimální odchylky může dosáhnout nejlepší možné chyby, pokud jsou modely lineární, jejich parametry a statistika šumu jsou známy přesně.[45] Toto plynulejší je časově proměnné zobecnění stavového prostoru optimální nekauzální Wienerův filtr.
Hladší výpočty se provádějí ve dvou průchodech. Dopředné výpočty zahrnují jednokrokový prediktor a jsou dány vztahem
Výše uvedený systém je známý jako inverzní Wiener-Hopfův faktor. Zpětná rekurze je adjoint výše uvedeného dopředného systému. Výsledek zpětné přihrávky lze vypočítat působením dopředných rovnic na časově obráceném a čas zvrátit výsledek. V případě odhadu výstupu je vyhlazený odhad dán vztahem
Vezmeme-li kauzální část tohoto minimálního rozptylu, plynulejší výnosy
který je identický s Kalmanovým filtrem s minimální odchylkou. Výše uvedená řešení minimalizují rozptyl chyby odhadu výstupu. Všimněte si, že Rauch – Tung – Striebelova hladší derivace předpokládá, že podkladové distribuce jsou Gaussian, zatímco řešení s minimální variací ne. Optimální vyhlazovače pro odhad stavu a odhad vstupu lze sestavit podobně.
Kontinuální verze výše uvedeného hladšího je popsána v.[46][47]
Algoritmy maximalizace očekávání lze použít k výpočtu přibližného maximální pravděpodobnost odhady neznámých parametrů stavového prostoru v rámci filtrů a vyhlazovačů minimální odchylky. Nejistoty často zůstávají v rámci problémových předpokladů. Hladší prostředek, který vyhovuje nejistotám, lze navrhnout přidáním pozitivního určitého termínu k Riccatiho rovnici.[48]
V případech, kdy jsou modely nelineární, mohou být postupné linearizace ve filtru s minimální odchylkou a hladší rekurze (rozšířené Kalmanovo filtrování ).
Frekvenčně vážené Kalmanovy filtry
Průkopnický výzkum vnímání zvuků na různých frekvencích provedli Fletcher a Munson ve 30. letech. Jejich práce vedla ke standardnímu způsobu vážení naměřených hladin zvuku v rámci vyšetřování průmyslového hluku a ztráty sluchu. Frekvenční vážení se od té doby používá v konstrukcích filtrů a řadičů ke správě výkonu v pásmech zájmu.
Typicky se funkce tvarování frekvence používá k vážení průměrného výkonu spektrální hustoty chyb ve specifikovaném frekvenčním pásmu. Nechat označují chybu odhadu výstupu vykazovanou konvenčním Kalmanovým filtrem. Také nechte označuje přenosovou funkci vážení kmitočtu. Optimální řešení, které minimalizuje rozptyl vzniká jednoduchou konstrukcí .
Návrh zůstává otevřenou otázkou. Jedním ze způsobů, jak postupovat, je určit systém, který generuje chybu odhadu a nastavení rovna inverzní hodnotě tohoto systému.[49] Tento postup může být iterován, aby se dosáhlo vylepšení chyby střední kvadrát za cenu zvýšeného pořadí filtrů. Stejnou techniku lze použít i na hladítka.
Nelineární filtry
Základní Kalmanov filtr je omezen na lineární předpoklad. Složitější systémy však mohou být nelineární. Nelineárnost může být spojena s procesním modelem nebo s pozorovacím modelem nebo s oběma.
Nejběžnějšími variantami Kalmanových filtrů pro nelineární systémy jsou rozšířený Kalmanův filtr a necentrovaný Kalmanův filtr. Vhodnost použitého filtru závisí na indexech nelinearity procesu a pozorovacího modelu.[50]
Rozšířený Kalmanův filtr
V rozšířeném Kalmanově filtru (EKF) nemusí být modely přechodu stavu a pozorování lineárními funkcemi stavu, ale mohou to být nelineární funkce. Tyto funkce jsou z rozlišitelný typ.
Funkce F lze použít k výpočtu předpokládaného stavu z předchozího odhadu a podobně funkce h lze použít k výpočtu predikovaného měření z predikovaného stavu. Nicméně, F a h nelze použít na kovarianci přímo. Místo toho matice parciálních derivací ( Jacobian ) je vypočítán.
V každém časovém kroku je Jacobian vyhodnocen s aktuálními předpokládanými stavy. Tyto matice lze použít v Kalmanových filtračních rovnicích. Tento proces v podstatě linearizuje nelineární funkci kolem aktuálního odhadu.
Neparfemovaný Kalmanov filtr
Když přechody stavu a modely pozorování - to znamená funkce předpovědi a aktualizace a —Jsou velmi nelineární, rozšířený Kalmanův filtr může poskytnout obzvláště špatný výkon.[51] Důvodem je, že kovariance se šíří prostřednictvím linearizace podkladového nelineárního modelu. Kalný filtr bez parfému (UKF)[51] používá techniku deterministického vzorkování známou jako transformace bez parfému (UT) vybrat minimální sadu vzorkovacích bodů (nazývaných sigma body) kolem průměru. Body sigma se poté šíří nelineárními funkcemi, ze kterých se poté vytvoří nový průměrný a kovarianční odhad. Výsledný filtr závisí na tom, jak se počítají transformované statistiky UT a která sada sigma bodů se používá. Je třeba poznamenat, že je vždy možné konstruovat nové UKF konzistentním způsobem.[52] U určitých systémů výsledný UKF přesněji odhaduje skutečný průměr a kovarianci.[53] To lze ověřit pomocí Odběr vzorků v Monte Carlu nebo Taylor série rozšíření zadní statistiky. Tato technika navíc odstraňuje požadavek na výslovný výpočet Jacobians, což pro složité funkce může být samo o sobě obtížný úkol (tj. Vyžadovat komplikované deriváty, pokud se provádí analyticky, nebo být výpočetně nákladné, pokud se provádí numericky), pokud není nemožné (pokud jsou tyto funkce nediferencovatelné).
Sigma body
Pro náhodný vektor , body sigma jsou libovolná sada vektorů
přičítáno
- závaží prvního řádu které splňují
- pro všechny :
- závaží druhého řádu které splňují
- pro všechny páry .
Jednoduchá volba sigma bodů a vah pro v algoritmu UKF je
kde je průměrný odhad . Vektor je jth sloupec kde . Matice by měly být počítány pomocí numericky efektivních a stabilních metod, jako je Choleský rozklad. Hmotnost střední hodnoty, , lze zvolit libovolně.
Další populární parametrizace (která zobecňuje výše uvedené) je
a řídit šíření bodů sigma. souvisí s distribucí .
Vhodné hodnoty závisí na daném problému, ale typické doporučení je , , a . Větší hodnota však (např., ) může být přínosem pro lepší zachycení šíření distribuce a možných nelinearit.[54] Pokud je skutečné rozdělení je Gaussian, je optimální.[55]
Předpovědět
Stejně jako u EKF lze predikci UKF použít nezávisle na aktualizaci UKF, v kombinaci s lineární (nebo skutečně EKF) aktualizací, nebo naopak.
Vzhledem k odhadům průměru a kovariance, a , jeden získá sigma body, jak je popsáno v části výše. Body sigma se šíří přechodovou funkcí F.
- .
Zvětšené body sigma se zváží, aby se vytvořil předpokládaný průměr a kovariance.
kde jsou váhy prvního řádu původních bodů sigma a jsou váhy druhého řádu. Matice je kovariance přechodového šumu, .
Aktualizace
Vzhledem k odhadům predikce a , nová sada sigma body s odpovídajícími váhami prvního řádu a váhy druhého řádu se vypočítá.[56] Tyto sigma body jsou transformovány .
- .
Poté se vypočítá empirický průměr a kovariance transformovaných bodů.
kde je kovarianční matice pozorovacího šumu, . Kromě toho je také nutná křížová kovarianční matice
kde jsou netransformované sigma body vytvořené z a .
Kalmanův zisk je
Aktualizované odhady střední hodnoty a kovariance jsou
Kalman – Bucyův filtr
Kalman – Bucyův filtr (pojmenovaný podle Richarda Snowdena Bucyho) je kontinuální časovou verzí Kalmanova filtru.[57][58]
Je založen na modelu stavového prostoru
kde a představují intenzity (nebo přesněji: Power Spectral Density - PSD - matice) dvou pojmů bílého šumu a , resp.
Filtr se skládá ze dvou diferenciálních rovnic, jedné pro odhad stavu a druhé pro kovarianci:
kde je Kalmanův zisk dán
Všimněte si, že v tomto výrazu pro kovariance pozorovacího šumu představuje současně kovarianci chyby predikce (nebo inovace) ; tyto kovariance jsou stejné pouze v případě nepřetržitého času.[59]
Rozdíl mezi kroky predikce a aktualizace Kalmanova filtrování v diskrétním čase neexistuje v nepřetržitém čase.
Druhá diferenciální rovnice pro kovarianci je příkladem a Riccatiho rovnice. Nelineární zobecnění filtrů Kalman – Bucy zahrnuje kontinuálně rozšířený Kalmanův filtr a kubický kalmanský filtr.[60]
Hybridní Kalmanův filtr
Většina fyzických systémů je reprezentována jako modely s nepřetržitým časem, zatímco měření v diskrétním čase jsou často prováděna pro odhad stavu pomocí digitálního procesoru. Proto je model systému a model měření dán vztahem
kde
- .
Inicializovat
Předpovědět
Predikční rovnice jsou odvozeny od rovnic Kalmanova filtru s kontinuálním časem bez aktualizace z měření, tj. . Predikovaný stav a kovariance se vypočítají příslušně řešením sady diferenciálních rovnic s počáteční hodnotou rovnou odhadu v předchozím kroku.
V případě lineární invariant času systémy, kontinuální časová dynamika může být přesně diskriminován do diskrétního časového systému pomocí maticové exponenciály.
Aktualizace
Aktualizační rovnice jsou identické s rovnicemi diskrétního Kalmanova filtru.
Varianty pro obnovení řídkých signálů
Tradiční Kalmanův filtr byl také použit pro obnovení řídký, případně dynamické, signály z hlučných pozorování. Nedávné práce[61][62][63] využívat pojmy z teorie komprimované snímání / vzorkování, jako je omezená vlastnost izometrie a související argumenty pravděpodobnostní obnovy, pro sekvenční odhad řídkého stavu ve vnitřně nízkodimenzionálních systémech.
Aplikace
- Referenční systémy postojů a kurzů
- Autopilot
- Odhad stavu nabití baterie (SoC)[64][65]
- Rozhraní mozek-počítač[66]
- Chaotické signály
- Sledování a přizpůsobení vrcholů nabité částice v detektory částic[67]
- Sledování objektů v počítačové vidění
- Dynamické polohování v přepravě
- Ekonomika, zejména makroekonomie, analýza časových řad, a ekonometrie[68]
- Inerciální naváděcí systém
- Nukleární medicína - obnova obrazu počítačové tomografické emise jednoho fotonu[69]
- Určení oběžné dráhy
- Odhad stavu energetické soustavy
- Sledování radaru
- Satelitní navigační systémy
- Seismologie[70]
- Bezsenzorové ovládání střídavého motoru frekvenční měniče
- Simultánní lokalizace a mapování
- Vylepšení proslovu
- Vizuální odometrie
- Předpověď počasí
- Navigační systém
- 3D modelování
- Monitorování strukturálního zdraví
- Lidské senzomotorické zpracování[71]
Viz také
- Alfa beta filtr
- Kovariance křižovatka
- Filtr Ensemble Kalman
- Rychlý Kalmanov filtr
- Problém filtrace (stochastické procesy)
- Zobecněné filtrování
- Invariant rozšířený Kalmanův filtr
- Adaptivní filtr jádra
- Masreliezova věta
- Odhad pohyblivého horizontu
- Filtr částic odhadce
- PID regulátor
- Metoda prediktor-korektor
- Rekurzivní filtr nejmenších čtverců
- Schmidt – Kalmanov filtr
- Princip separace
- Ovládání posuvného režimu
- Matice přechodu stavu
- Stochastické diferenciální rovnice
- Přepínání Kalmanova filtru
Reference
- ^ Paul Zarchan; Howard Musoff (2000). Základy Kalmanova filtrování: praktický přístup. American Institute of Aeronautics and Astronautics, Incorporated. ISBN 978-1-56347-455-2.
- ^ Ghysels, Eric; Marcellino, Massimiliano (2018). Aplikovaná ekonomická prognóza pomocí metod časových řad. New York, NY: Oxford University Press. str. 419. ISBN 978-0-19-062201-5. OCLC 1010658777.
- ^ Wolpert, Daniel; Ghahramani, Zoubin (2000). "Výpočetní principy pohybové neurovědy". Přírodní neurovědy. 3: 1212–7. doi:10.1038/81497. PMID 11127840. S2CID 736756.
- ^ Kalman, R. E. (1960). „Nový přístup k problémům s lineárním filtrováním a predikcí“. Journal of Basic Engineering. 82: 35–45. doi:10.1115/1.3662552. S2CID 1242324.
- ^ Humpherys, Jeffrey (2012). „Nový pohled na Kalmanův filtr“. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. 54 (4): 801–823. doi:10.1137/100799666.
- ^ Li, Wangyan; Wang, Zidong; Wei, Guoliang; Ma, Lifeng; Hu, červen; Ding, Derui (2015). „Průzkum fúze multisenzorů a filtrování konsensu pro senzorové sítě“. Diskrétní dynamika v přírodě a společnosti. 2015: 1–12. doi:10.1155/2015/683701. ISSN 1026-0226.
- ^ Li, Wangyan; Wang, Zidong; Ho, Daniel W. C .; Wei, Guoliang (2019). „O ohraničenosti chybových vztahů pro problémy s filtrováním konsensu podle Kalmana“. Transakce IEEE na automatickém ovládání. 65 (6): 2654–2661. doi:10.1109 / TAC.2019.2942826. ISSN 0018-9286. S2CID 204196474.
- ^ Lauritzen, S.L. (prosinec 1981). „Analýza časových řad v roce 1880. Diskuse o příspěvcích T.N. Thieleho“. Mezinárodní statistický přehled. 49 (3): 319–331. doi:10.2307/1402616. JSTOR 1402616.
Odvozuje rekurzivní postup pro odhad regresní složky a předpovídání Brownova pohybu. Postup je nyní známý jako Kalmanovo filtrování.
- ^ Lauritzen, S. L. (2002). Thiele: Průkopník ve statistice. New York: Oxford University Press. str. 41. ISBN 978-0-19-850972-1.
Řeší problém odhadu regresních koeficientů a predikce hodnot Brownova pohybu metodou nejmenších čtverců a poskytuje elegantní rekurzivní postup pro provádění výpočtů. Postup je dnes známý jako Kalmanovo filtrování.
- ^ Mohinder S. Grewal a Angus P. Andrews
- ^ Gaylor, David; Lightsey, E. Glenn (2003). „Návrh Kalmanova filtru GPS / INS pro kosmické lodě operující v blízkosti mezinárodní vesmírné stanice“. Konference a výstava AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit. doi:10.2514/6.2003-5445. ISBN 978-1-62410-090-1.
- ^ Stratonovich, R. L. (1959). Optimální nelineární systémy, které způsobují oddělení signálu s konstantními parametry od šumu. Radiofizika, 2: 6, s. 892–901.
- ^ Stratonovich, R. L. (1959). K teorii optimálního nelineárního filtrování náhodných funkcí. Teorie pravděpodobnosti a její aplikace, 4, s. 223–225.
- ^ Stratonovich, R. L. (1960) Aplikace teorie Markovových procesů na optimální filtrování. Radio Engineering and Electronic Physics, 5:11, s. 1–19.
- ^ Stratonovich, R. L. (1960). Podmíněné Markovovy procesy. Teorie pravděpodobnosti a její aplikace, 5, s. 156–178.
- ^ Stepanov, O. A. (15. května 2011). „Kalmanovo filtrování: minulost a současnost. Výhled z Ruska. (U příležitosti 80. narozenin Rudolfa Emila Kalmana)“. Gyroskopie a navigace. 2 (2): 105. doi:10.1134 / S2075108711020076. S2CID 53120402.
- ^ Ingvar Strid; Karl Walentin (duben 2009). „Blokovat Kalmanovo filtrování pro modely DSGE ve velkém měřítku“. Výpočetní ekonomie. 33 (3): 277–304. CiteSeerX 10.1.1.232.3790. doi:10.1007 / s10614-008-9160-4. S2CID 3042206.
- ^ Martin Møller Andreasen (2008). „Nelineární modely DSGE, Kalmanův filtr s centrálním rozdílem a střední filtr částic“ (PDF).
- ^ Roweis, S; Ghahramani, Z (1999). „Sjednocující recenze lineárních gaussovských modelů“ (PDF). Neurální výpočet. 11 (2): 305–45. doi:10.1162/089976699300016674. PMID 9950734. S2CID 2590898.
- ^ Hamilton, J. (1994), Analýza časových řad, Princeton University Press. Kapitola 13, „Kalmanův filtr“
- ^ Ishihara, J. Y .; Terra, M.H .; Campos, J.C.T. (2006). "Robustní Kalmanův filtr pro deskripční systémy". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 51 (8): 1354. doi:10.1109 / TAC.2006.878741. S2CID 12741796.
- ^ Terra, Marco H .; Cerri, Joao P .; Ishihara, Joao Y. (2014). "Optimální robustní lineární kvadratický regulátor pro systémy podléhající nejistotám". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 59 (9): 2586–2591. doi:10.1109 / TAC.2014.2309282. S2CID 8810105.
- ^ Kelly, Alonzo (1994). „Formulace 3D stavového prostoru navigačního Kalmanova filtru pro autonomní vozidla“ (PDF). Dokument DTIC: 13. Opravená verze z roku 2006 Archivováno 10. 1. 2017 na Wayback Machine
- ^ Reid, Ian; Termín, Hilary. „Odhad II“ (PDF). www.robots.ox.ac.uk. Oxfordská univerzita. Citováno 6. srpna 2014.
- ^ Rajamani, Murali (říjen 2007). Techniky založené na datech pro zlepšení odhadu stavu v modelu prediktivního řízení (PDF) (Disertační práce). University of Wisconsin – Madison. Archivovány od originál (PDF) dne 04.03.2016. Citováno 2011-04-04.
- ^ Rajamani, Murali R .; Rawlings, James B. (2009). Msgstr "Odhad struktury narušení z dat pomocí semidefinitního programování a optimálního vážení". Automatika. 45 (1): 142–148. doi:10.1016 / j.automatica.2008.05.032.
- ^ „Sada nástrojů nejmenších čtverců autokonverze“. Jbrwww.che.wisc.edu. Archivovány od originál dne 2016-11-28. Citováno 2014-06-02.
- ^ Bania, P .; Baranowski, J. (12. prosince 2016). Polní Kalmanov filtr a jeho aproximace. 55. konference IEEE o rozhodování a kontrole (CDC). Las Vegas, NV, USA: IEEE. 2875–2880.
- ^ Jsou popsány tři testy optimality s numerickými příklady Peter, Matisko (2012). "Testy optimality a adaptivní Kalmanův filtr". 16. sympozium IFAC o identifikaci systému. Sborníky řízení IFAC. 16. sympozium IFAC o identifikaci systému. 45. str. 1523–1528. doi:10.3182 / 20120711-3-BE-2027 00011. ISBN 978-3-902823-06-9.
- ^ Spall, James C. (1995). "Kantorovichova nerovnost pro analýzu chyb Kalmanova filtru s neznámým rozdělením šumu". Automatika. 31 (10): 1513–1517. doi:10.1016/0005-1098(95)00069-9.
- ^ Maryak, J.L .; Spall, J.C .; Heydon, B.D. (2004). "Použití Kalmanova filtru pro odvození ve stavově-prostorových modelech s neznámým rozdělením šumu". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 49: 87–90. doi:10.1109 / TAC.2003.821415. S2CID 21143516.
- ^ A b Walrand, Jean; Dimakis, Antonis (srpen 2006). Náhodné procesy v systémech - poznámky k přednášce (PDF). str. 69–70.
- ^ Anderson, Brian D. O .; Moore, John B. (1979). Optimální filtrování. New York: Prentice Hall. str. 129–133. ISBN 978-0-13-638122-8.
- ^ Jingyang Lu. „Útok vložením falešné informace na odhad dynamického stavu v systémech s více senzory“, Fusion 2014
- ^ A b Thornton, Catherine L. (15. října 1976). Faktorizace trojúhelníkové kovariance pro Kalmanovo filtrování (PDF) (PhD). NASA. Technické memorandum NASA 33-798.
- ^ A b C Bierman, G.J. (1977). "Metody faktorizace pro diskrétní sekvenční odhad". Faktorizační metody pro diskrétní sekvenční odhad. Bibcode:1977fmds.book ..... B.
- ^ A b Bar-Shalom, Yaakov; Li, X. Rong; Kirubarajan, Thiagalingam (červenec 2001). Odhad pomocí aplikací pro sledování a navigaci. New York: John Wiley & Sons. 308–317. ISBN 978-0-471-41655-5.
- ^ Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996). Maticové výpočty. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (třetí vydání). Baltimore, Maryland: Univerzita Johna Hopkinse. str. 139. ISBN 978-0-8018-5414-9.
- ^ Higham, Nicholas J. (2002). Přesnost a stabilita numerických algoritmů (Druhé vydání.). Philadelphia, PA: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. str. 680. ISBN 978-0-89871-521-7.
- ^ Masreliez, C. Johan; Martin, RD (1977). "Robustní Bayesiánský odhad pro lineární model a posílení Kalmanova filtru". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 22 (3): 361–371. doi:10.1109 / TAC.1977.1101538.
- ^ Lütkepohl, Helmut (1991). Úvod do analýzy více časových řad. Heidelberg: Springer-Verlag Berlin. str. 435.
- ^ A b Gabriel T. Terejanu (04.08.2012). "Výukový program pro samostatný filtr Kalman" (PDF). Citováno 2016-04-13.
- ^ Anderson, Brian D. O .; Moore, John B. (1979). Optimální filtrování. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., str. 176–190. ISBN 978-0-13-638122-8.
- ^ Rauch, HE; Tung, F .; Striebel, C. T. (srpen 1965). "Odhady maximální pravděpodobnosti lineárních dynamických systémů". AIAA Journal. 3 (8): 1445–1450. Bibcode:1965AIAAJ ... 3.1445.. doi:10.2514/3.3166.
- ^ Einicke, G.A. (Březen 2006). "Optimální a robustní formulace nekauzálního filtru". Transakce IEEE při zpracování signálu. 54 (3): 1069–1077. Bibcode:2006ITSP ... 54.1069E. doi:10.1109 / TSP.2005.863042. S2CID 15376718.
- ^ Einicke, G.A. (Duben 2007). "Asymptotická optimita plynulejšího minimálního rozptylu s pevným intervalem". Transakce IEEE při zpracování signálu. 55 (4): 1543–1547. Bibcode:2007ITSP ... 55.1543E. doi:10.1109 / TSP.2006.889402. S2CID 16218530.
- ^ Einicke, GA; Ralston, J.C .; Hargrave, CO; Reid, D.C .; Hainsworth, D.W. (Prosinec 2008). „Longwall Mining Automation. An Application of Minimum-Variance Smoothing“. Časopis IEEE Control Systems. 28 (6): 28–37. doi:10.1109 / MCS.2008.929281. S2CID 36072082.
- ^ Einicke, G.A. (Prosinec 2009). "Asymptotická optimita plynulejšího minimálního rozptylu s pevným intervalem". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 54 (12): 2904–2908. Bibcode:2007ITSP ... 55.1543E. doi:10.1109 / TSP.2006.889402. S2CID 16218530.
- ^ Einicke, G.A. (Prosinec 2014). "Iterativní frekvenčně vážené filtrování a vyhlazovací procedury". Dopisy pro zpracování signálu IEEE. 21 (12): 1467–1470. Bibcode:2014ISPL ... 21.1467E. doi:10.1109 / LSP.2014.2341641. S2CID 13569109.
- ^ Biswas, Sanat K .; Qiao, Li; Dempster, Andrew G. (2020-12-01). "A quantified approach of predicting suitability of using the Unscented Kalman Filter in a non-linear application". Automatika. 122: 109241. doi:10.1016/j.automatica.2020.109241. ISSN 0005-1098.
- ^ A b Julier, Simon J.; Uhlmann, Jeffrey K. (1997). "New extension of the Kalman filter to nonlinear systems" (PDF). In Kadar, Ivan (ed.). Signal Processing, Sensor Fusion, and Target Recognition VI. Sborník SPIE. 3. str. 182–193. Bibcode:1997SPIE.3068..182J. CiteSeerX 10.1.1.5.2891. doi:10.1117/12.280797. S2CID 7937456. Citováno 2008-05-03.
- ^ Menegaz, H. M. T.; Ishihara, J. Y.; Borges, G. A.; Vargas, A. N. (October 2015). „Systematizace teorie nekalených Kalmanových filtrů“. Transakce IEEE na automatickém ovládání. 60 (10): 2583–2598. doi:10.1109/tac.2015.2404511. hdl:20.500.11824/251. ISSN 0018-9286. S2CID 12606055.
- ^ Gustafsson, Fredrik; Hendeby, Gustaf (2012). "Some Relations Between Extended and Unscented Kalman Filters". Transakce IEEE při zpracování signálu. 60 (2): 545–555. Bibcode:2012ITSP...60..545G. doi:10.1109/tsp.2011.2172431. S2CID 17876531.
- ^ Bitzer, S. (2016). "The UKF exposed: How it works, when it works and when it's better to sample". doi:10.5281/zenodo.44386. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Wan, E.A.; Van Der Merwe, R. (2000). "The unscented Kalman filter for nonlinear estimation" (PDF). Proceedings of the IEEE 2000 Adaptive Systems for Signal Processing, Communications, and Control Symposium (Cat. No.00EX373). str. 153. CiteSeerX 10.1.1.361.9373. doi:10.1109/ASSPCC.2000.882463. ISBN 978-0-7803-5800-3. S2CID 13992571.
- ^ Sarkka, Simo (September 2007). "On Unscented Kalman Filtering for State Estimation of Continuous-Time Nonlinear Systems". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 52 (9): 1631–1641. doi:10.1109/TAC.2007.904453.
- ^ Bucy, R.S. and Joseph, P.D., Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance, John Wiley & Sons, 1968; 2nd Edition, AMS Chelsea Publ., 2005. ISBN 0-8218-3782-6
- ^ Jazwinski, Andrew H., Stochastic processes and filtering theory, Academic Press, New York, 1970. ISBN 0-12-381550-9
- ^ Kailath, T. (1968). "An innovations approach to least-squares estimation--Part I: Linear filtering in additive white noise". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 13 (6): 646–655. doi:10.1109/TAC.1968.1099025.
- ^ Share Pasand, Mohammad Mahdi (2020-06-02). "Luenberger‐type cubic observers for state estimation of linear systems". International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 34 (9): 1148–1161. arXiv:1909.11978. doi:10.1002/acs.3125. ISSN 0890-6327. S2CID 202888832.
- ^ Vaswani, Namrata (2008). "Kalman filtered Compressed Sensing". 2008 15th IEEE International Conference on Image Processing. pp. 893–896. arXiv:0804.0819. doi:10.1109/ICIP.2008.4711899. ISBN 978-1-4244-1765-0. S2CID 9282476.
- ^ Carmi, Avishy; Gurfil, Pini; Kanevsky, Dimitri (2010). "Methods for sparse signal recovery using Kalman filtering with embedded pseudo-measurement norms and quasi-norms". Transakce IEEE při zpracování signálu. 58 (4): 2405–2409. Bibcode:2010ITSP...58.2405C. doi:10.1109/TSP.2009.2038959. S2CID 10569233.
- ^ Zachariah, Dave; Chatterjee, Saikat; Jansson, Magnus (2012). "Dynamic Iterative Pursuit". Transakce IEEE při zpracování signálu. 60 (9): 4967–4972. arXiv:1206.2496. Bibcode:2012ITSP...60.4967Z. doi:10.1109/TSP.2012.2203813. S2CID 18467024.
- ^ Vasebi, Amir; Partovibakhsh, Maral; Bathaee, S. Mohammad Taghi (2007). "A novel combined battery model for state-of-charge estimation in lead-acid batteries based on extended Kalman filter for hybrid electric vehicle applications". Journal of Power Sources. 174 (1): 30–40. Bibcode:2007JPS...174...30V. doi:10.1016/j.jpowsour.2007.04.011.
- ^ Vasebi, A.; Bathaee, S.M.T.; Partovibakhsh, M. (2008). "Predicting state of charge of lead-acid batteries for hybrid electric vehicles by extended Kalman filter". Přeměna a správa energie. 49: 75–82. doi:10.1016/j.enconman.2007.05.017.
- ^ Burkhart, Michael C. (2019). A Discriminative Approach to Bayesian Filtering with Applications to Human Neural Decoding. Providence, RI, USA: Brown University. doi:10.26300/nhfp-xv22.
- ^ Fruhwirth, R. (1987). "Application of Kalman filtering to track and vertex fitting". Jaderné přístroje a metody ve výzkumu fyziky Sekce A. 262 (2–3): 444–450. Bibcode:1987NIMPA.262..444F. doi:10.1016/0168-9002(87)90887-4.
- ^ Harvey, Andrew C. (1994). "Applications of the Kalman filter in econometrics". v Bewley, Truman (vyd.). Pokroky v ekonometrii. New York: Cambridge University Press. str.285f. ISBN 978-0-521-46726-1.
- ^ Boulfelfel, D.; Rangayyan, R.M.; Hahn, L.J.; Kloiber, R.; Kuduvalli, G.R. (1994). "Two-dimensional restoration of single photon emission computed tomography images using the Kalman filter". Transakce IEEE na lékařském zobrazování. 13 (1): 102–109. doi:10.1109/42.276148. PMID 18218487.
- ^ Bock, Y.; Crowell, B.; Webb, F.; Kedar, S .; Clayton, R .; Miyahara, B. (2008). "Fusion of High-Rate GPS and Seismic Data: Applications to Early Warning Systems for Mitigation of Geological Hazards". AGU podzimní abstrakty. 43: G43B–01. Bibcode:2008AGUFM.G43B..01B.
- ^ Wolpert, D. M .; Miall, R. C. (1996). "Forward modely pro fyziologické řízení motoru". Neuronové sítě. 9 (8): 1265–1279. doi:10.1016 / S0893-6080 (96) 00035-4. PMID 12662535.
Další čtení
![]() | Tento Další čtení část může obsahovat nevhodné nebo nadměrné návrhy, které se nemusí řídit Wikipedií pokyny. Ujistěte se, že pouze a přiměřený počet z vyrovnaný, aktuální, spolehlivýa jsou uvedeny pozoruhodné návrhy pro další čtení; odstranění méně relevantních nebo nadbytečných publikací pomocí stejný úhel pohledu kde se to hodí. Zvažte použití vhodných textů jako vložené zdroje nebo vytvoření samostatný bibliografický článek. (Červen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
- Einicke, G.A. (2019). Smoothing, Filtering and Prediction: Estimating the Past, Present and Future (2nd ed.). Amazon Prime Publishing. ISBN 978-0-6485115-0-2.
- Jinya Su; Baibing Li; Wen-Hua Chen (2015). "On existence, optimality and asymptotic stability of the Kalman filter with partially observed inputs". Automatika. 53: 149–154. doi:10.1016/j.automatica.2014.12.044.
- Gelb, A. (1974). Applied Optimal Estimation. MIT Stiskněte.
- Kalman, R.E. (1960). "A new approach to linear filtering and prediction problems" (PDF). Journal of Basic Engineering. 82 (1): 35–45. doi:10.1115/1.3662552. Archivovány od originál (PDF) dne 2008-05-29. Citováno 2008-05-03.
- Kalman, R.E .; Bucy, R.S. (1961). "New Results in Linear Filtering and Prediction Theory". Journal of Basic Engineering. 83: 95–108. CiteSeerX 10.1.1.361.6851. doi:10.1115/1.3658902.
- Harvey, A.C. (1990). Prognózování, strukturální modely časových řad a Kalmanův filtr. Cambridge University Press. ISBN 9780521405737.
- Roweis, S.; Ghahramani, Z. (1999). "A Unifying Review of Linear Gaussian Models" (PDF). Neurální výpočet. 11 (2): 305–345. doi:10.1162/089976699300016674. PMID 9950734. S2CID 2590898.
- Simon, D. (2006). Optimal State Estimation: Kalman, H Infinity, and Nonlinear Approaches. Wiley-Interscience.
- Stengel, R.F. (1994). Optimal Control and Estimation. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68200-6.
- Warwick, K. (1987). "Optimal observers for ARMA models". International Journal of Control. 46 (5): 1493–1503. doi:10.1080/00207178708933989.
- Bierman, G.J. (1977). Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation. Mathematics in Science and Engineering. 128. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44981-4.
- Bozic, S.M. (1994). Digital and Kalman filtering. Butterworth–Heinemann.
- Haykin, S. (2002). Teorie adaptivního filtru. Prentice Hall.
- Liu, W .; Principe, J.C. and Haykin, S. (2010). Adaptivní filtrování jádra: komplexní úvod. John Wiley.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- Manolakis, D.G. (1999). Statistical and Adaptive signal processing. Artech House.
- Welch, Greg; Bishop, Gary (1997). "SCAAT: incremental tracking with incomplete information" (PDF). SIGGRAPH '97 Proceedings of the 24th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co. pp. 333–344. doi:10.1145/258734.258876. ISBN 978-0-89791-896-1. S2CID 1512754.
- Jazwinski, Andrew H. (1970). Stochastic Processes and Filtering. Matematika ve vědě a inženýrství. New York: Akademický tisk. str. 376. ISBN 978-0-12-381550-7.
- Maybeck, Peter S. (1979). "Kapitola 1" (PDF). Stochastic Models, Estimation, and Control. Matematika ve vědě a inženýrství. 141-1. New York: Akademický tisk. ISBN 978-0-12-480701-3.
- Moriya, N. (2011). Primer to Kalman Filtering: A Physicist Perspective. New York: Nova Science Publishers, Inc. ISBN 978-1-61668-311-5.
- Dunik, J.; Simandl M.; Straka O. (2009). "Methods for Estimating State and Measurement Noise Covariance Matrices: Aspects and Comparison". 15th IFAC Symposium on System Identification, 2009. 15th IFAC Symposium on System Identification, 2009. France. pp. 372–377. doi:10.3182/20090706-3-FR-2004.00061. ISBN 978-3-902661-47-0.
- Chui, Charles K.; Chen, Guanrong (2009). Kalman Filtering with Real-Time Applications. Springer Series v informačních vědách. 17 (4. vydání). New York: Springer. str. 229. ISBN 978-3-540-87848-3.
- Spivey, Ben; Hedengren, J. D. and Edgar, T. F. (2010). "Omezený nelineární odhad pro znečištění průmyslových procesů". Výzkum průmyslové a inženýrské chemie. 49 (17): 7824–7831. doi:10.1021 / ie9018116.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- Thomas Kailath; Ali H. Sayed; Babak Hassibi (2000). Linear Estimation. NJ: Prentice–Hall. ISBN 978-0-13-022464-4.
- Ali H. Sayed (2008). Adaptivní filtry. NJ: Wiley. ISBN 978-0-470-25388-5.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
externí odkazy
![]() | Tento článek je Použití externí odkazy nemusí dodržovat zásady nebo pokyny Wikipedie.Červen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
- A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, by R. E. Kalman, 1960
- Kalman and Bayesian Filters in Python. Open source Kalman filtering textbook.
- How a Kalman filter works, in pictures. Illuminates the Kalman filter with pictures and colors
- Kalman–Bucy Filter, a derivation of the Kalman–Bucy Filter
- MIT Video Lecture on the Kalman filter na Youtube
- Kalman filter in Javascript. Open source Kalman filter library for node.js and the web browser.
- An Introduction to the Kalman Filter, SIGGRAPH 2001 Course, Greg Welch and Gary Bishop
- Kalmanův filtr webpage, with many links
- "Kalman filters used in Weather models" (PDF). Novinky SIAM. 36 (8). Říjen 2003. Archivovány od originál (PDF) dne 17.05.2011. Citováno 2007-01-27.
- Haseltine, Eric L.; Rawlings, James B. (2005). "Critical Evaluation of Extended Kalman Filtering and Moving-Horizon Estimation". Výzkum průmyslové a inženýrské chemie. 44 (8): 2451. doi:10.1021 / ie034308l.
- Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library: Corresponds to the code in the research monograph "Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation" originally published by Academic Press in 1977. Republished by Dover.
- Matlab Toolbox implementing parts of Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library: UD / UDU' and LD / LDL' factorization with associated time and measurement updates making up the Kalman filter.
- Matlab Toolbox of Kalman Filtering applied to Simultaneous Localization and Mapping: Vehicle moving in 1D, 2D and 3D
- The Kalman Filter in Reproducing Kernel Hilbert Spaces A comprehensive introduction.
- Matlab code to estimate Cox–Ingersoll–Ross interest rate model with Kalman Filter: Corresponds to the paper "estimating and testing exponential-affine term structure models by kalman filter" published by Review of Quantitative Finance and Accounting in 1999.
- Online demo of the Kalman Filter. Demonstration of Kalman Filter (and other data assimilation methods) using twin experiments.
- Botella, Guillermo; Martín h., José Antonio; Santos, Matilde; Meyer-Baese, Uwe (2011). "FPGA-Based Multimodal Embedded Sensor System Integrating Low- and Mid-Level Vision". Senzory. 11 (12): 1251–1259. doi:10.3390/s110808164. PMC 3231703. PMID 22164069.
- Examples and how-to on using Kalman Filters with MATLAB A Tutorial on Filtering and Estimation
- Explaining Filtering (Estimation) in One Hour, Ten Minutes, One Minute, and One Sentence by Yu-Chi Ho