Problém filtrace (stochastické procesy) - Filtering problem (stochastic processes)

V teorii stochastické procesy, problém s filtrováním je matematický model pro řadu problémů s odhadem stavu v systému Windows zpracování signálu a související pole. Obecnou myšlenkou je stanovit „nejlepší odhad“ skutečné hodnoty nějakého systému z neúplné, potenciálně hlučné sady pozorování na tomto systému. Problém optimálního nelineárního filtrování (i pro nestacionární případ) byl vyřešen pomocí Ruslan L. Stratonovich (1959,^[1] 1960^[2]), viz také Harold J. Kushner práce ^[3] a Moshe Zakai, který zavedl zjednodušenou dynamiku pro nenormalizovaný podmíněný zákon filtru^[4] známý jako Zakai rovnice. Řešení je však v obecném případě nekonečně rozměrné.^[5] Určité aproximace a speciální případy jsou dobře známy: například lineární filtry jsou optimální pro Gaussovy náhodné proměnné a jsou známé jako Wienerův filtr a Kalman-Bucy filtr. Obecněji řečeno, protože řešení je nekonečně rozměrné, vyžaduje implementaci konečných rozměrů v počítači s konečnou pamětí. Konečná dimenzionální aproximace nelineární filtr může být více založeno na heuristice, jako je Rozšířený Kalmanův filtr nebo filtry předpokládané hustoty,^[6] nebo více metodicky orientovaných, jako jsou například Projekční filtry,^[7] některé podskupiny, u nichž je prokázáno, že se shodují s filtry předpokládané hustoty.^[8]

Obecně platí, že pokud princip separace platí, pak filtrování také vzniká jako součást řešení an optimální ovládání problém. Například Kalmanův filtr je odhadová část optimálního řídicího řešení pro lineárně-kvadraticko-gaussovské řízení problém.

Matematický formalismus

Zvažte a pravděpodobnostní prostor (Ω, Σ,P) a předpokládejme, že (náhodný) stav Y_t v n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ systému zájmu v čase t je náhodná proměnná Y_t : Ω →Rⁿ dané řešením k To stochastická diferenciální rovnice formuláře

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = b (t, Y_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (t, Y_ {t}) , mathrm {d} B_ {t },}$

kde B označuje standard p-dimenzionální Brownův pohyb, b : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ je driftové pole a σ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×p je difúzní pole. Předpokládá se, že pozorování H_t v R^m (Všimněte si, že m a n mohou být obecně nerovné) t podle

${ displaystyle H_ {t} = c (t, Y_ {t}) + gamma (t, Y_ {t}) cdot { mbox {noise}}}$

Přijetí ito interpretace stochastického diferenciálu a nastavení

${ displaystyle Z_ {t} = int _ {0} ^ {t} H_ {s} , mathrm {d} s,}$

to dává následující stochastické integrální zastoupení pro pozorování Z_t:

${ displaystyle mathrm {d} Z_ {t} = c (t, Y_ {t}) , mathrm {d} t + gamma (t, Y_ {t}) , mathrm {d} W_ {t },}$

kde Ž označuje standard r-dimenzionální Brownův pohyb, nezávislý na B a počáteční stav Y₀, a C : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ a y : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×r uspokojit

${ displaystyle { big |} c (t, x) { big |} + { big |} gamma (t, x) { big |} leq C { big (} 1+ | x | { velký)}}$

pro všechny t a X a některé konstantní C.

The problém s filtrováním je následující: daná pozorování Z_s pro 0 ≤s ≤ t, jaký je nejlepší odhad Ŷ_t skutečného stavu Y_t systému založeného na těchto pozorováních?

„Na základě těchto pozorování“ se rozumí, že Ŷ_t je měřitelný s respektem k σ-algebra G_t generované pozorováním Z_s, 0 ≤ s ≤ t. Označit podle K. = K.(Z, t) být sbírkou všech Rⁿ-hodnocení náhodných proměnných Y které jsou čtvercově integrovatelné a G_t-měřitelný:

${ displaystyle K = K (Z, t) = L ^ {2} ( Omega, G_ {t}, mathbf {P}; mathbf {R} ^ {n}).}$

Pod „nejlepším odhadem“ se rozumí to Ŷ_t minimalizuje střední kvadratickou vzdálenost mezi nimi Y_t a všichni kandidáti v K.:

${ displaystyle mathbf {E} left [{ big |} Y_ {t} - { hat {Y}} _ {t} { big |} ^ {2} right] = inf _ {Y in K} mathbf {E} left [{ big |} Y_ {t} -Y { big |} ^ {2} right]. qquad { mbox {(M)}}}$

Základní výsledek: ortogonální projekce

Prostor K.(Z, t) kandidátů je a Hilbertův prostor, a obecná teorie Hilbertových prostorů znamená, že řešení Ŷ_t problému minimalizace (M) je dán vztahem

${ displaystyle { hat {Y}} _ {t} = P_ {K (Z, t)} { big (} Y_ {t} { big)},}$

kde P_K.(Z,t) označuje ortogonální projekce z L²(Ω, Σ,P; Rⁿ) na lineární podprostor K.(Z, t) = L²(Ω,G_t, P; Rⁿ). Dále jde o obecný fakt o podmíněná očekávání to když F je jakýkoli sub-σ-algebra Σ pak ortogonální projekce

${ displaystyle P_ {K}: L ^ {2} ( Omega, Sigma, mathbf {P}; mathbf {R} ^ {n}) do L ^ {2} ( Omega, F, mathbf {P}; mathbf {R} ^ {n})}$

je přesně operátor podmíněného očekávání E[·|F], tj.,

${ displaystyle P_ {K} (X) = mathbf {E} { big [} X { big |} F { big]}.}$

Proto,

${ displaystyle { hat {Y}} _ {t} = P_ {K (Z, t)} { big (} Y_ {t} { big)} = mathbf {E} { big [} Y_ {t} { big |} G_ {t} { big]}.}$

Tento elementární výsledek je základem pro obecnou rovnici teorie filtrování Fujisaki-Kallianpur-Kunita.

Viz také

• The Vyhlazovací problém úzce souvisí s Problém s filtrováním.
• Filtrování (rozcestník)
• Nesmí být zaměňována s Filtr (zpracování signálu)
• Kalmanův filtr nejznámější algoritmus filtrování ve smyslu „problému s filtrováním“ a „problému s vyhlazením“.
• Vyhlazení (nezaměňovat s problémem vyhlazení)
• Vyhlazování (disambiguation)

Reference

• Jazwinski, Andrew H. (1970). Stochastické procesy a teorie filtrování. New York: Academic Press. ISBN  0-12-381550-9.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (Viz část 6.1)