Rekurzivní Bayesiánský odhad - Recursive Bayesian estimation

v Teorie pravděpodobnosti, Statistika, a Strojové učení: Rekurzivní Bayesiánský odhad, také známý jako a Bayesův filtr, je obecný pravděpodobnostní přístup pro odhadování neznámý funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF ) rekurzivně v průběhu času pomocí příchozích měření a matematického modelu procesu. Tento proces se do značné míry opírá o matematické koncepty a modely, které jsou teoretizovány v rámci studie předchozích a zadních pravděpodobností známých jako Bayesovské statistiky.

V robotice

Bayesův filtr je algoritmus používaný v počítačová věda pro výpočet pravděpodobností vícenásobných přesvědčení umožnit a robot odvodit jeho polohu a orientaci. Filtry Bayes v zásadě umožňují robotům průběžně aktualizovat jejich nejpravděpodobnější polohu v souřadnicovém systému na základě naposledy získaných dat ze senzorů. Toto je rekurzivní algoritmus. Skládá se ze dvou částí: predikce a inovace. Pokud proměnné jsou normálně distribuováno a přechody jsou lineární, Bayesův filtr se rovná Kalmanův filtr.

V jednoduchém příkladu může mít robot pohybující se po mřížce několik různých senzorů, které mu poskytují informace o svém okolí. Robot může začít s jistotou, že je v poloze (0,0). Jak se však robot pohybuje dále a dál ze své původní polohy, má robot o své poloze neustále menší jistotu; pomocí Bayesova filtru lze pravděpodobnosti přiřadit víru robota o jeho aktuální poloze a tuto pravděpodobnost lze průběžně aktualizovat z dalších informací ze snímače.

Modelka

Skutečný stav ${ displaystyle x}$ se považuje za nepozorovanou Markov proces a měření ${ displaystyle z}$ jsou pozorování a Skrytý Markovův model (HMM). Následující obrázek představuje Bayesiánskou síť HMM.

Vzhledem k Markovově předpokladu je pravděpodobnost současného skutečného stavu daného bezprostředně předchozím podmíněně nezávislá na ostatních dřívějších stavech.

${ displaystyle p ({ textbf {x}} _ {k} | { textbf {x}} _ {k-1}, { textbf {x}} _ {k-2}, dots, { textbf {x}} _ {0}) = p ({ textbf {x}} _ {k} | { textbf {x}} _ {k-1})}$

Podobně měření na k-th timestep je závislý pouze na aktuálním stavu, takže je podmíněně nezávislý na všech ostatních stavech vzhledem k aktuálnímu stavu.

${ displaystyle p ({ textbf {z}} _ {k} | { textbf {x}} _ {k}, { textbf {x}} _ {k-1}, dots, { textbf { x}} _ {0}) = p ({ textbf {z}} _ {k} | { textbf {x}} _ {k})}$

Pomocí těchto předpokladů lze rozdělení pravděpodobnosti ve všech stavech HMM zapsat jednoduše jako:

${ displaystyle p ({ textbf {x}} _ {0}, dots, { textbf {x}} _ {k}, { textbf {z}} _ {1}, dots, { textbf {z}} _ {k}) = p ({ textbf {x}} _ {0}) prod _ {i = 1} ^ {k} p ({ textbf {z}} _ {i} | { textbf {x}} _ {i}) p ({ textbf {x}} _ {i} | { textbf {x}} _ {i-1}).}$

Při použití Kalmanova filtru k odhadu stavu X, rozdělení pravděpodobnosti zájmu je spojeno s aktuálními stavy podmíněnými měřením až do aktuálního časového kroku. (Toho je dosaženo marginalizací předchozích stavů a ​​vydělením pravděpodobností sady měření.)

To vede k předpovědět a Aktualizace kroky Kalmanova filtru napsané pravděpodobnostně. Rozdělení pravděpodobnosti spojené s předpovězeným stavem je součet (integrál) součinů rozdělení pravděpodobnosti spojených s přechodem z (k - 1) -tý časový krok k k-th a rozdělení pravděpodobnosti spojené s předchozím stavem, přes všechny možné ${ displaystyle x_ {k-1}}$.

${ displaystyle p ({ textbf {x}} _ {k} | { textbf {z}} _ {1: k-1}) = int p ({ textbf {x}} _ {k} | { textbf {x}} _ {k-1}) p ({ textbf {x}} _ {k-1} | { textbf {z}} _ {1: k-1}) d { textbf {x}} _ {k-1}}$

Distribuce pravděpodobnosti aktualizace je úměrná součinu pravděpodobnosti měření a predikovaného stavu.

${ displaystyle p ({ textbf {x}} _ {k} | { textbf {z}} _ {1: k}) = { frac {p ({ textbf {z}} _ {k} | { textbf {x}} _ {k}) p ({ textbf {x}} _ {k} | { textbf {z}} _ {1: k-1})}} p ({ textbf { z}} _ {k} | { textbf {z}} _ {1: k-1})}} propto p ({ textbf {z}} _ {k} | { textbf {x}} _ {k}) p ({ textbf {x}} _ {k} | { textbf {z}} _ {1: k-1})}$

Jmenovatel

${ displaystyle p ({ textbf {z}} _ {k} | { textbf {z}} _ {1: k-1}) = int p ({ textbf {z}} _ {k} | { textbf {x}} _ {k}) p ({ textbf {x}} _ {k} | { textbf {z}} _ {1: k-1}) d { textbf {x}} _ {k}}$

je konstantní vzhledem k ${ displaystyle x}$, takže jej můžeme vždy nahradit koeficientem ${ displaystyle alpha}$, které lze v praxi obvykle ignorovat. Čitatel lze vypočítat a poté jednoduše normalizovat, protože jeho integrálem musí být jednota.

Aplikace

• Kalmanův filtr, rekurzivní Bayesiánský filtr pro vícerozměrné normální rozdělení
• Filtr částic, postupná technika založená na Monte Carlu (SMC), která modeluje PDF pomocí sady diskrétních bodů
• Odhady založené na mřížce, které rozdělují PDF na deterministickou diskrétní mřížku

Sekvenční Bayesiánské filtrování

Sekvenční Bayesiánské filtrování je rozšířením Bayesiánského odhadu pro případ, kdy se pozorovaná hodnota mění v čase. Jedná se o metodu odhadu skutečné hodnoty pozorované proměnné, která se vyvíjí v čase.

Metoda se jmenuje:

filtrování

při odhadu proud hodnota daná minulými a současnými pozorováními,

vyhlazení

při odhadu minulost - hodnoty dané minulými a současnými pozorováními a -

předpověď

při odhadu pravděpodobnosti budoucnost hodnota daná minulými a současnými pozorováními.

Pojem sekvenční Bayesiánské filtrování je široce používán v řízení a robotika.

externí odkazy

• Arulampalam, M. Sanjeev; Maskell, Simon; Gordon, Neil (2002). "Výukový program pro filtry částic pro on-line nelineární / negaussovské Bayesovské sledování". Transakce IEEE při zpracování signálu. 50 (2): 174–188. CiteSeerX  10.1.1.117.1144. doi:10.1109/78.978374.
• Burkhart, Michael C. (2019). „Kapitola 1. Přehled Bayesiánského filtrování“. Diskriminační přístup k Bayesiánskému filtrování s aplikacemi pro lidské neurální dekódování. Providence, RI, USA: Brown University. doi:10,26300 / nhfp-xv22.
• Chen, Zhe Sage (2003). „Bayesovské filtrování: Od Kalmanových filtrů k filtrům částic atd.“. Statistika: Žurnál teoretické a aplikované statistiky. 182 (1): 1–69.
• Diard, Julien; Bessière, Pierre; Mazer, Emmanuel (2003). „Průzkum pravděpodobnostních modelů s využitím metodiky Bayesianského programování jako sjednocujícího rámce“ (PDF). cogprints.org.
• Volkov, Alexander (2015). "Hranice přesnosti negaussovského Bayesovského sledování v prostředí NLOS". Zpracování signálu. 108: 498–508. doi:10.1016 / j.sigpro.2014.10.025.
• Särkkä, Simo (2013). Bayesovské filtrování a vyhlazování (PDF). Cambridge University Press.