Wienerův filtr - Wiener filter
v zpracování signálu, Wienerův filtr je filtr slouží k vytvoření odhadu požadovaného nebo cílového náhodného procesu lineárním časově invariantním (LTI ) filtrování pozorovaného hlučného procesu, za předpokladu, že je známo stacionární signální a šumová spektra a aditivní šum. Wienerův filtr minimalizuje střední čtvercovou chybu mezi odhadovaným náhodným procesem a požadovaným procesem.
Popis
Cílem Wienerova filtru je vypočítat a statistický odhad neznámého signálu pomocí souvisejícího signálu jako vstupu a filtrování tohoto známého signálu, aby se odhad vytvořil jako výstup. Například známý signál může sestávat z neznámého signálu zájmu, který byl poškozen aditivem hluk. Wienerův filtr lze použít k odfiltrování šumu z poškozeného signálu a poskytnutí odhadu základního požadovaného signálu. Wienerův filtr je založen na a statistický přístup a statističtější popis teorie je uveden v odhad střední minimální kvadratické chyby (MMSE) článek.
Typické deterministické filtry jsou navrženy pro požadované frekvenční odezva. Konstrukce Wienerova filtru však vyžaduje jiný přístup. U jednoho se předpokládá, že má znalosti o spektrálních vlastnostech původního signálu a šumu, a jeden hledá lineární časově invariantní filtr, jehož výstup by se co nejvíce přiblížil původnímu signálu. Filtry Wiener se vyznačují tímto:[1]
- Předpoklad: signál a (aditivní) šum jsou stacionární lineární stochastické procesy se známými spektrálními charakteristikami nebo známými autokorelace a vzájemná korelace
- Předpoklad: filtr musí být fyzicky realizovatelný /kauzální (od tohoto požadavku lze upustit, což má za následek nekauzální řešení)
- Kritérium výkonu: minimální střední chyba (MMSE)
Tento filtr se často používá v procesu dekonvoluce; pro tuto aplikaci viz Wienerova dekonvoluce.
Wienerova filtrační řešení
Nechat být neznámý signál, který musí být odhadnut z měřicího signálu . Problém Wienerova filtru má řešení pro tři možné případy: jeden, kde je přijatelný nekauzální filtr (vyžadující nekonečné množství minulých i budoucích dat), případ, kdy kauzální je požadován filtr (s využitím nekonečného množství minulých dat) a konečná impulzní odezva (FIR) případ, kdy se používají pouze vstupní data (tj. Výsledek nebo výstup se nepřenáší zpět do filtru jako v případě IIR). První případ je jednoduchý na řešení, ale není vhodný pro aplikace v reálném čase. Wienerovým hlavním úspěchem bylo řešení případu, kdy je platný požadavek kauzality; Norman Levinson dal řešení FIR v příloze Wienerovy knihy.
Nekauzální řešení
kde jsou spektrální hustoty. Pokud je optimální, pak minimální střední chyba rovnice se redukuje na
a řešení je inverzní oboustranný Laplaceova transformace z .
Kauzální řešení
kde
- se skládá z kauzální části (tj. ta část této frakce, která má kladné časové řešení pod inverzní Laplaceovou transformací)
- je kauzální složkou (tj. inverzní Laplaceova transformace je nenulová pouze pro )
- je anti-kauzální složkou (tj. inverzní Laplaceova transformace je nenulová pouze pro )
Tento obecný vzorec je komplikovaný a zaslouží si podrobnější vysvětlení. Zapsat řešení v konkrétním případě byste měli postupovat podle těchto kroků:[2]
- Začněte spektrem v racionální formě a rozdělit jej na kauzální a ant kauzální složky: kde obsahuje všechny nuly a póly v levé polovině roviny (LHP) a obsahuje nuly a póly v pravé polovině roviny (RHP). Tomu se říká Wiener – Hopfova faktorizace.
- Rozdělit podle a zapište výsledek jako a částečná expanze zlomku.
- V této expanzi vyberte pouze ty výrazy, které mají póly v LHP. Nazvěte tyto podmínky .
- Rozdělit podle . Výsledkem je požadovaná funkce přenosu filtru .
Wienerův filtr s konečnou impulsní odezvou pro diskrétní řady

Kauzální konečná impulzní odezva (FIR) Wienerův filtr, namísto použití některé dané datové matice X a výstupního vektoru Y, najde optimální závaží pomocí statistik vstupních a výstupních signálů. Naplní vstupní matici X odhadem autokorelace vstupního signálu (T) a naplní výstupní vektor Y odhadem křížové korelace mezi výstupním a vstupním signálem (V).
Chcete-li odvodit koeficienty Wienerova filtru, zvažte signál w[n] krmení do Wienerova filtru objednávky (počet minulých klepnutí) N as koeficienty . Je označen výstup filtru X[n] který je dán výrazem
Zbytková chyba je označena E[n] a je definována jako E[n] = X[n] − s[n] (viz odpovídající blokové schéma). Wienerův filtr je navržen tak, aby minimalizoval střední chybu čtverce (MMSE kritéria), která lze stručně uvést následovně:
kde označuje operátor očekávání. Obecně platí, že koeficienty mohou být složité a mohou být odvozeny pro případ, kdy w[n] a s[n] jsou také komplexní. U komplexního signálu je maticí, která má být vyřešena, a Hermitian Toeplitzova matice, spíše než symetrický Toeplitzova matice. Pro zjednodušení následující uvažuje pouze případ, kdy jsou všechny tyto veličiny skutečné. Střední kvadratická chyba (MSE) může být přepsána jako:
Najít vektor který minimalizuje výše uvedený výraz, vypočítejte jeho derivaci s ohledem na každou z nich
Za předpokladu, že w[n] a s[n] jsou stacionární a společně stacionární sekvence a známý jako autokorelace w[n] a vzájemná korelace mezi w[n] a s[n] lze definovat takto:
Derivát MSE lze proto přepsat jako:
Všimněte si, že doopravdy , autokorelace je symetrická:
které lze přepsat (pomocí výše uvedené symetrické vlastnosti) v maticové podobě
Tyto rovnice jsou známé jako Wiener-Hopfovy rovnice. Matice T v rovnici je symetrický Toeplitzova matice. Za vhodných podmínek na , je známo, že tyto matice jsou pozitivně definitivní, a proto nejsou singulární, což poskytuje jedinečné řešení pro stanovení vektoru Wienerova filtru, . Kromě toho existuje účinný algoritmus k řešení takových Wiener-Hopfových rovnic známých jako Levinson-Durbin algoritmus, takže explicitní inverze T není nutné.
V některých článcích je funkce křížové korelace definována opačně:
Ať už se použije jakýkoli zápis, uvědomte si, že je skutečný :
Vztah k filtru nejmenších čtverců
Realizace kauzálního Wienerova filtru vypadá velmi podobně jako řešení nejmenší čtverce odhad, s výjimkou domény zpracování signálu. Řešení nejmenších čtverců pro vstupní matici a výstupní vektor je
Filtr FIR Wiener souvisí s filtr nejmenších čtverců, ale minimalizace chybového kritéria druhého se nespoléhá na vzájemné korelace nebo automatické korelace. Jeho řešení konverguje k řešení Wienerova filtru.
Složité signály
U komplexních signálů se derivace komplexního Wienerova filtru provádí minimalizací =. To zahrnuje výpočet parciálních derivací s ohledem na skutečnou i imaginární část a požadovat, aby oba byly nulové.
Výsledné Wiener-Hopfovy rovnice jsou:
které lze přepsat do matice:
Zde si všimněte, že:
Vektor Wienerova koeficientu se poté vypočítá jako:
Aplikace
Wienerův filtr má řadu aplikací ve zpracování signálu, zpracování obrazu, řídicích systémech a digitální komunikaci. Tyto aplikace obecně spadají do jedné ze čtyř hlavních kategorií:
Například Wienerův filtr lze použít při zpracování obrazu k odstranění šumu z obrázku. Například pomocí funkce Mathematica:WienerFilter [obrázek, 2]
na prvním obrázku vpravo vytvoří filtrovaný obrázek pod ním.


Běžně se používá k potlačení zvukových signálů, zejména řeči, jako preprocesoru dříve rozpoznávání řeči.
Dějiny
Filtr navrhl Norbert Wiener během čtyřicátých lét a publikoval v roce 1949.[4] Diskrétní ekvivalent Wienerovy práce odvodil nezávisle Andrey Kolmogorov a publikováno v roce 1941. Proto se této teorii často říká Wiener – Kolmogorov teorie filtrování (srov. Kriging ). Wienerův filtr byl prvním statisticky navrženým filtrem, který byl navržen, a následně dal vzniknout mnoha dalším, včetně Kalmanův filtr.
Viz také
- Norbert Wiener
- Eberhard Hopf
- Wienerova dekonvoluce
- filtr nejmenších čtverců
- podobnosti mezi Wiener a LMS
- lineární predikce
- Odhad MMSE
- Kalmanův filtr
- zobecněný Wienerův filtr
- odpovídající filtr
- Teorie informačního pole
Reference
- ^ Brown, Robert Grover; Hwang, Patrick Y.C. (1996). Úvod do náhodných signálů a aplikované Kalmanovo filtrování (3. vyd.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-12839-7.
- ^ Welch, Lloyd R. „Wiener – Hopfova teorie“ (PDF).[mrtvý odkaz ]
- ^ [1]. „D. Boulfelfel, RM Rangayyan, LJ Hahn a R. Kloiber, 1994,„ Trojrozměrná obnova obrazů počítačové fotografie s jednou fotonovou emisí “, IEEE Transactions on Nuclear Science, 41 (5): 1746-1754, říjen 1994. ".
- ^ Wiener, Norbert (1949). Extrapolace, interpolace a vyhlazení stacionárních časových řad. New York: Wiley. ISBN 978-0-262-73005-1.
- Thomas Kailath, Ali H. Sayed, a Babak Hassibi, Lineární odhad, Prentice-Hall, NJ, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4.
- Wiener N: Interpolace, extrapolace a vyhlazení stacionárních časových řad, Zpráva o službách 19, Výzkumný projekt DIC-6037 MIT, únor 1942
- Kolmogorov A.N: „Stacionární sekvence v Hilbertově prostoru“, (v ruštině) Bull. Moskva Univ. 1941 vol.2 č. 6 1-40. Anglický překlad v Kailath T. (ed.) Lineární odhad nejmenších čtverců Dowden, Hutchinson & Ross 1977
externí odkazy
- Mathematica WienerFilter funkce