Lineární dynamický systém - Linear dynamical system

Lineární dynamické systémy jsou dynamické systémy jehož vyhodnocovací funkce jsou lineární. Zatímco dynamické systémy obecně nemají uzavřená řešení, lineární dynamické systémy lze přesně vyřešit a mají bohatou sadu matematických vlastností. Lineární systémy lze také použít k pochopení kvalitativního chování obecných dynamických systémů výpočtem rovnovážné body soustavy a její aproximace jako lineární soustavy kolem každého takového bodu.

Úvod

V lineárním dynamickém systému je variace stavového vektoru (an ${displaystyle N}$-dimenzionální vektor označeno ${displaystyle mathbf {x}}$) rovná se konstantní matice (označená ${displaystyle mathbf {A}}$) vynásobeno ${displaystyle mathbf {x}}$. Tato variace může mít dvě podoby: buď jako tok, ve kterém ${displaystyle mathbf {x}}$ se neustále mění s časem

${displaystyle {frac {d} {dt}} mathbf {x} (t) = mathbf {A} cdot mathbf {x} (t)}$

nebo jako mapování, ve kterém ${displaystyle mathbf {x}}$ se liší oddělený kroky

${displaystyle mathbf {x} _ {m + 1} = mathbf {A} cdot mathbf {x} _ {m}}$

Tyto rovnice jsou lineární v následujícím smyslu: if ${displaystyle mathbf {x} (t)}$ a ${displaystyle mathbf {y} (t)}$ jsou dvě platná řešení, pak také lineární kombinace ze dvou řešení, např. ${displaystyle mathbf {z} (t) {stackrel {mathrm {def}} {=}} alfa mathbf {x} (t) + eta mathbf {y} (t)}$ kde ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$jsou nějaké dva skaláry. Matice ${displaystyle mathbf {A}}$ nemusí být symetrický.

Lineární dynamické systémy lze řešit přesně, na rozdíl od většiny nelineárních. Nelineární systém lze občas vyřešit přesně změnou proměnných na lineární systém. Navíc řešení (téměř) jakéhokoli nelineárního systému lze dobře aproximovat ekvivalentním lineárním systémem poblíž jeho pevné body. Pochopení lineárních systémů a jejich řešení je tedy zásadním prvním krokem k pochopení složitějších nelineárních systémů.

Řešení lineárních dynamických systémů

Pokud je počáteční vektor ${displaystyle mathbf {x} _ {0} {stackrel {mathrm {def}} {=}} mathbf {x} (t ​​= 0)}$je zarovnán s a pravý vlastní vektor ${displaystyle mathbf {r} _ {k}}$ z matice ${displaystyle mathbf {A}}$, dynamika je jednoduchá

${displaystyle {frac {d} {dt}} mathbf {x} (t) = mathbf {A} cdot mathbf {r} _ {k} = lambda _ {k} mathbf {r} _ {k}}$

kde ${displaystyle lambda _ {k}}$ je odpovídající vlastní číslo; řešení této rovnice je

${displaystyle mathbf {x} (t) = mathbf {r} _ {k} e ^ {lambda _ {k} t}}$

jak může být potvrzeno nahrazením.

Li ${displaystyle mathbf {A}}$ je úhlopříčně, pak libovolný vektor v ${displaystyle N}$-dimenzionální prostor může být reprezentován lineární kombinací pravého a levé vlastní vektory (označeno ${displaystyle mathbf {l} _ {k}}$) matice ${displaystyle mathbf {A}}$.

${displaystyle mathbf {x} _ {0} = součet _ {k = 1} ^ {N} vlevo (mathbf {l} _ {k} cdot mathbf {x} _ {0} ight) mathbf {r} _ {k }}$

Proto je obecné řešení pro ${displaystyle mathbf {x} (t)}$ je lineární kombinací jednotlivých řešení pro pravé vektory

${displaystyle mathbf {x} (t) = součet _ {k = 1} ^ {n} vlevo (mathbf {l} _ {k} cdot mathbf {x} _ {0} ight) mathbf {r} _ {k} e ^ {lambda _ {k} t}}$

Podobné úvahy platí pro diskrétní mapování.

Klasifikace ve dvou rozměrech

Lineární aproximace nelineárního systému: klasifikace 2D pevného bodu podle stopy a determinantu jakobiánské matice (linearizace systému v blízkosti rovnovážného bodu).

Kořeny charakteristický polynom det (A - λJá) jsou vlastní čísla A. Znamení a vztah těchto kořenů, ${displaystyle lambda _ {n}}$navzájem lze použít ke stanovení stability dynamického systému

${displaystyle {frac {d} {dt}} mathbf {x} (t) = mathbf {A} mathbf {x} (t).}$

Pro dvourozměrný systém je charakteristický polynom tvaru ${displaystyle lambda ^ {2} - au lambda + Delta = 0}$ kde ${displaystyle au}$ je stopa a ${displaystyle Delta}$ je určující z A. Dva kořeny jsou tedy ve formě:

${displaystyle lambda _ {1} = {frac {au + {sqrt {au ^ {2} -4Delta}}} {2}}}$

${displaystyle lambda _ {2} = {frac {au - {sqrt {au ^ {2} -4Delta}}} {2}}}$,

a ${displaystyle Delta = lambda _ {1} lambda _ {2}}$ a ${displaystyle au = lambda _ {1} + lambda _ {2}}$. Tedy pokud ${displaystyle Delta <0}$ potom jsou vlastní čísla opačného znaménka a pevným bodem je sedlo. Li ${displaystyle Delta> 0}$ potom vlastní čísla mají stejné znaménko. Proto pokud ${displaystyle au> 0}$ oba jsou pozitivní a bod je nestabilní, a pokud ${displaystyle au <0}$ pak jsou oba záporné a bod je stabilní. The diskriminující řekne vám, zda je bod uzlový nebo spirálový (tj. zda jsou vlastní čísla skutečná nebo složitá).

Viz také

• Lineární systém
• Dynamický systém
• Seznam témat dynamického systému
• Maticová diferenciální rovnice