Pozorovatelnost - Observability

v teorie řízení, pozorovatelnost je měřítkem toho, jak dobře vnitřní stavy a Systém lze odvodit ze znalosti jejích externích výstupů. Pozorovatelnost a ovladatelnost lineárního systému jsou matematické duální. Koncept pozorovatelnosti představil maďarsko-americký inženýr Rudolf E. Kálmán pro lineární dynamické systémy.^[1]^[2] Dynamický systém určený k odhadu stavu systému z měření výstupů se nazývá a pozorovatel státu nebo jednoduše pozorovatel pro tento systém.

Definice

Zvažte fyzický systém modelovaný v reprezentace stavového prostoru. Systém se říká, že je pozorovatelný pokud pro případný možný vývoj stavové a řídicí vektory, lze současný stav odhadnout pouze pomocí informací z výstupů (fyzicky to obecně odpovídá informacím získaným pomocí senzory ). Jinými slovy lze určit chování celého systému z jeho výstupů. Na druhou stranu, pokud systém není pozorovatelný, existují trajektorie stavu, které nelze odlišit pouze měřením výstupů.

Lineární časově invariantní systémy

Pro časově invariantní lineární systémy v reprezentaci stavového prostoru existují praktické testy ke kontrole, zda je systém pozorovatelný. Zvažte a SISO systém s ${ displaystyle n}$ stavové proměnné (viz státní prostor pro podrobnosti o MIMO systémy) dané

{ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} mathbf {x} (t) + mathbf {B} mathbf {u} (t)}

{ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {C} mathbf {x} (t) + mathbf {D} mathbf {u} (t)}

Pozorovatelná matice

Pokud řádek hodnost z pozorovatelná matice, definováno jako

{ displaystyle { mathcal {O}} = { begin {bmatrix} C CA CA ^ {2} vdots CA ^ {n-1} end {bmatrix}}}

je rovný ${ displaystyle n}$ , pak je systém pozorovatelný. Důvodem pro tento test je, že pokud ${ displaystyle n}$ řádky jsou lineárně nezávislé, pak každý z ${ displaystyle n}$ stavové proměnné lze zobrazit prostřednictvím lineárních kombinací výstupních proměnných ${ displaystyle y}$ .

Související pojmy

Index pozorovatelnosti

The index pozorovatelnosti ${ displaystyle v}$ lineárního časově invariantního diskrétního systému je nejmenší přirozené číslo, pro které je splněno následující: ${ displaystyle { text {rank}} {({ mathcal {O}} _ {v})} = { text {rank}} {({ mathcal {O}} _ {v + 1})} }$ , kde

{ displaystyle { mathcal {O}} _ {v} = { begin {bmatrix} C CA CA ^ {2} vdots CA ^ {v-1} end {bmatrix} }.}

Nepostřehnutelný podprostor

The nepozorovatelný podprostor ${ displaystyle N}$ lineárního systému je jádro lineární mapy ${ displaystyle G}$ dána^[3]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} G colon mathbb {R} ^ {n} & rightarrow { mathcal {C}} ( mathbb {R}; mathbb {R} ^ {n}) x (0) & mapsto Ce ^ {At} x (0) end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle { mathcal {C}} ( mathbb {R}; mathbb {R} ^ {n})}$ je sada spojitých funkcí od ${ displaystyle mathbb {R}}$ na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ . ${ displaystyle N}$ lze také zapsat jako ^[3]

{ displaystyle N = bigcap _ {k = 0} ^ {n-1} ker (CA ^ {k}) = ker { mathcal {O}}}

Protože systém je pozorovatelný právě tehdy ${ displaystyle mathop { mathrm {rank}} ({ mathcal {O}}) = n}$ , systém je pozorovatelný právě tehdy ${ displaystyle N}$ je nulový podprostor.

Následující vlastnosti pro nepozorovatelný podprostor jsou platné:^[3]

${ displaystyle N podmnožina Ke (C)}$
${ displaystyle A (N) podmnožina N}$
${ displaystyle N = bigcup { {S podmnožina R ^ {n} střední S podmnožina Ke (C), A (S) podmnožina N }}}$

Zjistitelnost

Trochu slabší představa než pozorovatelnost je zjistitelnost. Systém je detekovatelný, pokud jsou všechny nepozorovatelné stavy stabilní.^[4]

Podmínky detekovatelnosti jsou důležité v kontextu senzorové sítě.^[5]^[6]

Nelineární pozorovatelé

klouzavý režim a kubické pozorovatele^[7] lze použít pro odhad stavu časově invariantních lineárních systémů, pokud je systém pozorovatelný a splňuje některé další podmínky.

Lineární systémy měnící čas

Zvažte kontinuální lineární systém časových variant

{ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A (t) mathbf {x} (t) + B (t) mathbf {u} (t) ,}

{ displaystyle mathbf {y} (t) = C (t) mathbf {x} (t). ,}

Předpokládejme, že matice ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ a ${ displaystyle C}$ jsou uvedeny i vstupy a výstupy ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle y}$ pro všechny ${ displaystyle t in [t_ {0}, t_ {1}];}$ pak je možné určit ${ displaystyle x (t_ {0})}$ do uvnitř aditivního konstantního vektoru, který leží v prázdný prostor z ${ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ definován

{ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1}) = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} phi (t, t_ {0}) ^ {T} C (t) ^ {T} C (t) phi (t, t_ {0}) dt}

kde ${ displaystyle phi}$ je matice přechodu stavu.

Je možné určit jedinečný ${ displaystyle x (t_ {0})}$ -li ${ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ je nesmyslný. Ve skutečnosti není možné rozlišit počáteční stav pro ${ displaystyle x_ {1}}$ z toho ${ displaystyle x_ {2}}$ -li ${ displaystyle x_ {1} -x_ {2}}$ je v prázdném prostoru ${ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ .

Všimněte si, že matice ${ displaystyle M}$ jak je definováno výše, má následující vlastnosti:

${ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ je symetrický
${ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ je pozitivní semidefinit pro ${ displaystyle t_ {1} geq t_ {0}}$
${ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ splňuje lineární maticová diferenciální rovnice

{ displaystyle { frac {d} {dt}} M (t, t_ {1}) = - A (t) ^ {T} M (t, t_ {1}) - M (t, t_ {1} ) A (t) -C (t) ^ {T} C (t), ; M (t_ {1}, t_ {1}) = 0}

${ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ splňuje rovnici

{ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1}) = M (t_ {0}, t) + phi (t, t_ {0}) ^ {T} M (t, t_ {1}) phi (t, t_ {0})}

^[8]

Zobecnění matice pozorovatelnosti

Systém je pozorovatelný v [ ${ displaystyle t_ {0}}$ , ${ displaystyle t_ {1}}$ ] právě tehdy, pokud existuje interval [ ${ displaystyle t_ {0}}$ , ${ displaystyle t_ {1}}$ ] v ${ displaystyle mathbb {R}}$ tak, že matice ${ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ je nesmyslná.

Li ${ displaystyle A (t), C (t)}$ jsou analytické, pak je systém pozorovatelný v intervalu [ ${ displaystyle t_ {0}}$ , ${ displaystyle t_ {1}}$ ] pokud existuje ${ displaystyle { bar {t}} v [t_ {0}, t_ {1}]}$ a kladné celé číslo k takové, že^[9]

{ displaystyle rank { begin {bmatrix} & N_ {0} ({ bar {t}}) & & N_ {1} ({ bar {t}}) & &: & & N_ {k } ({ bar {t}}) & end {bmatrix}} = n,}

kde ${ displaystyle N_ {0} (t): = C (t)}$ a ${ displaystyle N_ {i} (t)}$ je definován rekurzivně jako

{ displaystyle N_ {i + 1} (t): = N_ {i} (t) A (t) + { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} N_ {i} ( t), i = 0, ldots, k-1}

Příklad

Zvažte systém, který se analyticky mění ${ displaystyle (- infty, infty)}$ a matice

${ displaystyle A (t) = { begin {bmatrix} t & 1 & 0 0 & t ^ {3} & 0 0 & 0 & t ^ {2} end {bmatrix}}}$ , ${ displaystyle C (t) = { begin {bmatrix} 1 a 0 & 1 end {bmatrix}}.}$

Pak ${ displaystyle { begin {bmatrix} N_ {0} (0) N_ {1} (0) N_ {2} (0) end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 a 0 a 1 0 a 1 a 0 1 a 0 a 0 konec {bmatrix}}}$ , a protože tato matice má hodnost = 3, je systém pozorovatelný na každém netriviálním intervalu ${ displaystyle mathbb {R}}$ .

Nelineární systémy

Vzhledem k systému ${ displaystyle { dot {x}} = f (x) + součet _ {j = 1} ^ {m} g_ {j} (x) u_ {j}}$ , ${ displaystyle y_ {i} = h_ {i} (x), i in p}$ . Kde ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ státní vektor, ${ displaystyle u in mathbb {R} ^ {m}}$ vstupní vektor a ${ displaystyle y in mathbb {R} ^ {p}}$ výstupní vektor. ${ displaystyle f, g, h}$ mají být hladká vektorová pole.

Definujte pozorovací prostor ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {s}}$ být prostor obsahující všechny opakované Lživé deriváty, pak je systém pozorovatelný v ${ displaystyle x_ {0}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle { textrm {dim}} (d { mathcal {O}} _ {s} (x_ {0})) = n}$ .

Poznámka: ${ displaystyle d { mathcal {O}} _ {s} (x_ {0}) = mathrm {span} (dh_ {1} (x_ {0}), ldots, dh_ {p} (x_ {0) }), dL_ {v_ {i}} L_ {v_ {i-1}}, ldots, L_ {v_ {1}} h_ {j} (x_ {0})), j v p, k = 1,2, ldots.}$ ^[10]

Časná kritéria pro pozorovatelnost v nelineárních dynamických systémech objevili Griffith a Kumar,^[11] Kou, Elliot a Tarn,^[12] a Singh.^[13]

Statické systémy a obecné topologické prostory

Pozorovatelnost lze také charakterizovat pro systémy ustáleného stavu (systémy typicky definované z hlediska algebraických rovnic a nerovností) nebo obecněji pro množiny v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ .^[14]^[15] Stejně jako kritéria předvídatelnosti se používají k předpovědi chování Kalmanovy filtry nebo jiní pozorovatelé v případě dynamického systému, kritéria pozorovatelnosti pro soubory v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ se používají k předpovědi chování odsouhlasení dat a další statické odhady. V nelineárním případě lze pozorovatelnost charakterizovat pro jednotlivé proměnné a také pro chování lokálního odhadce, nikoli pouze pro globální chování.

Viz také

Reference

^ Kalman R. E., „O obecné teorii řídicích systémů“, Proc. 1. int. Cong. IFAC, Moskva 1960 1481, Butterworth, Londýn 1961.
^ Kalman R. E., "Matematický popis lineárních dynamických systémů", SIAM J. Contr. 1963 1125
^ ^A ^b ^C Sontag, E.D., "Mathematical Control Theory", Texty v aplikované matematice, 1998
^ http://www.ece.rutgers.edu/~gajic/psfiles/chap5traCO.pdf
^ Li, W .; Wei, G .; Ho, D. W. C .; Ding, D. (listopad 2018). "Vážně jednotná detekovatelnost pro senzorové sítě". Transakce IEEE na neuronových sítích a vzdělávacích systémech. 29 (11): 5790–5796. doi:10.1109 / TNNLS.2018.2817244. PMID 29993845. S2CID 51615852.
^ Li, W .; Wang, Z .; Ho, D. W. C .; Wei, G. (2019). „O ohraničenosti chybových vztahů pro problémy s filtrováním konsensu podle Kalmana“. Transakce IEEE na automatickém ovládání. 65 (6): 2654–2661. doi:10.1109 / TAC.2019.2942826. S2CID 204196474.
^ Pasand, Mohammad Mahdi Share (2020). "Kubičtí pozorovatelé typu Luenberger pro odhad stavu lineárních systémů". International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. n / a (n / a): 1148–1161. arXiv:1909.11978. doi:10,1002 / acs.3125. ISSN 1099-1115. S2CID 202888832.
^ Brockett, Roger W. (1970). Konečně rozměrné lineární systémy. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.
^ Eduardo D. Sontag, Matematická teorie řízení: Deterministické konečné dimenzionální systémy.
^ Poznámky k teorii nelineárních systémů prof. dr. D. Jeltsema, prof. Dr. J.M.A.Scherpen a prof dr. A.J. van der Schaft.
^ Griffith E. W. a Kumar K. S. P., „O pozorovatelnosti nelineárních systémů I, J. Math. Anal. Appl. 197135 135
^ Kou S. R., Elliott D. L. a Tarn T. J., Inf. Contr. 1973 22 89
^ Singh S.N., „Pozorovatelnost v nelineárních systémech s nezměřitelnými vstupy, Int. J. Syst. Sci., 6 723, 1975
^ Stanley G.M. a Mah, R.S.H., „Pozorovatelnost a redundance při odhadu procesních dat, Chem. Engng. Sci. 36, 259 (1981)
^ Stanley G.M. a Mah R.S.H., "Klasifikace pozorovatelnosti a redundance v procesních sítích", Chem. Angličtina Sci. 36, 1941 (1981)

externí odkazy

[1] Kalman R. E., „O obecné teorii řídicích systémů“, Proc. 1. int. Cong. IFAC, Moskva 1960 1481, Butterworth, Londýn 1961.

[2] Kalman R. E., "Matematický popis lineárních dynamických systémů", SIAM J. Contr. 1963 1125

[:1-3] A ^b ^C Sontag, E.D., "Mathematical Control Theory", Texty v aplikované matematice, 1998

[4] ttp://www.ece.rutgers.edu/~gajic/psfiles/chap5traCO.pdf

[5] Li, W .; Wei, G .; Ho, D. W. C .; Ding, D. (listopad 2018). "Vážně jednotná detekovatelnost pro senzorové sítě". Transakce IEEE na neuronových sítích a vzdělávacích systémech. 29 (11): 5790–5796. doi:10.1109 / TNNLS.2018.2817244. PMID 29993845. S2CID 51615852.

[6] Li, W .; Wang, Z .; Ho, D. W. C .; Wei, G. (2019). „O ohraničenosti chybových vztahů pro problémy s filtrováním konsensu podle Kalmana“. Transakce IEEE na automatickém ovládání. 65 (6): 2654–2661. doi:10.1109 / TAC.2019.2942826. S2CID 204196474.

[7] Pasand, Mohammad Mahdi Share (2020). "Kubičtí pozorovatelé typu Luenberger pro odhad stavu lineárních systémů". International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. n / a (n / a): 1148–1161. arXiv:1909.11978. doi:10,1002 / acs.3125. ISSN 1099-1115. S2CID 202888832.

[8] Brockett, Roger W. (1970). Konečně rozměrné lineární systémy. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.

[:0-9] Eduardo D. Sontag, Matematická teorie řízení: Deterministické konečné dimenzionální systémy.

[10] Poznámky k teorii nelineárních systémů prof. dr. D. Jeltsema, prof. Dr. J.M.A.Scherpen a prof dr. A.J. van der Schaft.

[11] Griffith E. W. a Kumar K. S. P., „O pozorovatelnosti nelineárních systémů I, J. Math. Anal. Appl. 197135 135

[12] Kou S. R., Elliott D. L. a Tarn T. J., Inf. Contr. 1973 22 89

[13] Singh S.N., „Pozorovatelnost v nelineárních systémech s nezměřitelnými vstupy, Int. J. Syst. Sci., 6 723, 1975

[14] Stanley G.M. a Mah, R.S.H., „Pozorovatelnost a redundance při odhadu procesních dat, Chem. Engng. Sci. 36, 259 (1981)

[15] Stanley G.M. a Mah R.S.H., "Klasifikace pozorovatelnosti a redundance v procesních sítích", Chem. Angličtina Sci. 36, 1941 (1981)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]