Distributivita (teorie objednávek) - Distributivity (order theory)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Teorie objednávek „distribučnosti“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematický oblast teorie objednávek, existují různé pojmy společného pojmu distribučnost, aplikovaný na formování suprema a infima. Většina z nich se týká částečně objednané sady to jsou minimálně mříže, ale koncept lze ve skutečnosti rozumně zobecnit na pololattice také.

Distribuční mřížky

Pravděpodobně nejběžnějším typem distributivity je ten, který je definován pro mříže, kde tvorba binárních suprem a infima poskytuje celkové operace spojení (${ displaystyle vee}$) a setkat se (${ displaystyle klín}$). Distributivita těchto dvou operací je pak vyjádřena vyžadováním identity

${ Displaystyle x klín (y vee z) = (x klín y) vee (x klín z)}$

podržte pro všechny prvky X, y, a z. Tento zákon o distribuci definuje třídu distribuční mřížky. Všimněte si, že tento požadavek lze přeformulovat vyslovením, že binární soubor splňuje zachovat binární spojení. O výše uvedeném prohlášení je známo, že je ekvivalentní jeho objednat duální

${ Displaystyle x vee (y klín z) = (x vee y) klín (x vee z)}$

taková, že jedna z těchto vlastností stačí k definování distributivity pro mřížky. Typickými příklady distribuční mřížky jsou zcela objednané sady, Booleovy algebry, a Ahoj algebry. Každá konečná distribuční mřížka je izomorfní do mřížky množin seřazených podle zařazení (Birkhoffova věta o reprezentaci ).

Distribuce pro poloviční mřížky

Hasseův diagram pro definici distributivity pro meet-semilattice.

A semilattice je částečně objednaná sada pouze s jednou ze dvou mřížkových operací, buď a setkat- nebo a spojit-semilattice. Vzhledem k tomu, že existuje pouze jedna binární operace, nelze distribuci samozřejmě definovat standardním způsobem. Kvůli interakci jedné operace s daným příkazem však zůstává možná následující definice distributivity. A setkat-semilattice je distribuční, pokud pro všechny A, b, a X:

Li A ∧ b ≤ X pak existují A' a b ' takhle A ≤ A' , b ≤ b ' a X = A' ∧ b ' .

Jsou definovány distribuční spojovací semilatice duálně: a spojit-semilattice je distribuční, pokud pro všechny A, b, a X:

Li X ≤ A ∨ b pak existují A' a b ' takhle A' ≤ A, b ' ≤ b a X = A' ∨ b ' .

V obou případech nemusí být a 'a b' jedinečná. Tyto definice jsou odůvodněny skutečností, že dané mřížky L, všechna následující prohlášení jsou ekvivalentní:

• L je distribuční jako setkávací semilattice
• L je distribuční jako spojovací semilattice
• L je distribuční mříž.

Tedy jakákoli distribuční setkávací semilattice, ve které existují binární spojení, je distribuční mřížkou. Spojení-semilattice je distribuční právě tehdy, když je jeho mřížka ideály (v zařazení) je distribuční.^[1]

Tato definice distributivity umožňuje zobecnit některá tvrzení o distribučních mřížkách na distribuční semilatice.

Zákony o distribuci pro úplné svazy

Pro kompletní mřížka, libovolné podmnožiny mají jak infima, tak suprema, a proto jsou k dispozici operace nekonečného setkávání a spojování. Lze tedy popsat několik rozšířených pojmů distributivity. Například pro nekonečné distributivní právo, konečná setkání se mohou distribuovat po libovolných spojeních, tj.

${ displaystyle x klín bigvee S = bigvee {x klín s střední s v S }}$

může platit pro všechny prvky X a všechny podskupiny S mřížky. Kompletní mřížky s touto vlastností se nazývají rámy, národní prostředí nebo kompletní Heyting algebry. Vznikají v souvislosti s nesmyslná topologie a Kamenná dualita. Tento distribuční zákon není ekvivalentní k jeho dvojímu prohlášení

${ displaystyle x vee bigwedge S = bigwedge {x vee s mid s v S }}$

který definuje třídu duálních rámů nebo úplných algebry co-Heyting.

Nyní lze jít ještě dále a definovat objednávky, kde se libovolná spojení distribuují přes libovolná setkání. Takové struktury se nazývají zcela distribuční mřížky. Toto vyjádření však vyžaduje formulace, které jsou trochu techničtější. Zvažte dvojnásobně indexovanou rodinu {X_j,k | j v J, k v K.(j)} prvků úplné mřížky, a let F být souborem vybraných funkcí F výběr pro každý index j z J nějaký index F(j) v K.(j). Úplná mřížka je zcela distribuční pokud pro všechna taková data platí následující prohlášení:

${ displaystyle bigwedge _ {j v J} bigvee _ {k v K (j)} x_ {j, k} = bigvee _ {f in F} bigwedge _ {j v J} x_ {j, f (j)}}$

Kompletní distribuce je opět sebe-dvojí vlastnost, tj. Dualizace výše uvedeného příkazu přináší stejnou třídu úplných mřížek. Úplně distribuční kompletní svazy (nazývané také zcela distribuční mřížky zkráceně) jsou skutečně vysoce speciální struktury. Viz článek o zcela distribuční mřížky.

Literatura

Distributivita je základní koncept, který je zpracován v jakékoli učebnici o teorii mřížky a řádu. Viz literatura uvedená u článků o teorie objednávek a teorie mřížky. Specifičtější literatura zahrnuje:

• G. N. Raney, Kompletně distribuční kompletní svazySborník řízení Americká matematická společnost, 3: 677 - 680, 1952.