Hirzebruchův povrch - Hirzebruch surface

V matematice, a Hirzebruchův povrch je ovládaný povrch přes projektivní linie. Byli studováni Friedrich Hirzebruch  (1951 ).

Definice

Hirzebruchův povrch ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ je ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$svazek zvaný a Projektivní balíček, přes ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ spojené s snop

${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n).}$

Zápis zde znamená: ${ displaystyle { mathcal {O}} (n)}$ je n-tý tenzorový výkon Serre twist snop ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$, invertibilní svazek nebo svazek řádků s přidruženými Cartier dělitel jediný bod. Povrch ${ displaystyle Sigma _ {0}}$ je izomorfní s P¹ × P¹, a ${ displaystyle Sigma _ {1}}$ je izomorfní s P² nafouknutý v určitém bodě, takže není minimální.

GIT kvocient

Jednou z metod pro konstrukci povrchu Hirzebruch je použití a GIT kvocient^[1]str

${ displaystyle Sigma _ {n} = ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) krát ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) / ( mathbb {C} ^ {*} times mathbb {C} ^ {*})}$

kde akce ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*} krát mathbb {C} ^ {*}}$ je dána

${ displaystyle ( lambda, mu) cdot (l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}) = ( lambda l_ {0}, lambda l_ {1}, mu t_ {0}, lambda ^ {- n} mu t_ {1})}$

Tuto akci lze interpretovat jako akci ${ displaystyle lambda}$ na prvních dvou faktorech vychází z akce ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2} - {0 }}$ definování ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$a druhá akce je kombinací konstrukce přímého součtu svazků řádků ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ a jejich projektivizace. Pro přímý součet ${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)}$ toto může být dáno kvocientem odrůdy^[1]str

${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n) = ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) krát mathbb {C} ^ { 2} / mathbb {C} ^ {*}}$

kde akce ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ je dána

${ displaystyle lambda cdot (l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}) = ( lambda l_ {0}, lambda l_ {1}, lambda ^ {a} t_ {0}, lambda ^ {0} t_ {1} = t_ {1})}$

Poté projektivizace ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n))}$ je dán jiným ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$-akce^[1]str odeslání třídy ekvivalence ${ displaystyle [l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}] in { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)}$ na

${ displaystyle mu cdot [l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}] = [l_ {0}, l_ {1}, mu t_ {0}, mu t_ {1}]}$

Kombinace těchto dvou akcí dává původní kvocient nahoru.

Přechodové mapy

Jeden způsob, jak to postavit ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$-bundle je pomocí přechodových funkcí. Vzhledem k tomu, že afinní vektorové svazky jsou nutně triviální, přes grafy ${ displaystyle U_ {0}, U_ {1}}$ z ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ definován ${ displaystyle x_ {i} neq 0}$ existuje místní model svazku

${ displaystyle U_ {i} times mathbb {P} ^ {1}}$

Poté budou přechodové mapy indukované z přechodových map z ${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)}$ dát mapu

${ displaystyle U_ {0} times mathbb {P} ^ {1} | _ {U_ {1}} do U_ {1} times mathbb {P} ^ {1} | _ {U_ {0} }}$

odesílání

${ displaystyle (X_ {0}, [y_ {0}: y_ {1}]) mapsto (X_ {1}, [y_ {0}: x_ {0} ^ {n} y_ {0}])}$

kde ${ displaystyle X_ {i}}$ je funkce afinní souřadnice na ${ displaystyle U_ {i}}$.^[2]

Vlastnosti

Balíčky projektivního hodnocení 2 nad P¹

Všimněte si, že projektivní balíček

${ displaystyle { mathcal {O}} (a) oplus { mathcal {O}} (b)}$

je ekvivalentní k Hirzebruchovu povrchu, protože projektivní svazky jsou invariantní po tenzorování řádkovým svazkem.^[3] Zejména je to spojeno s povrchem Hirzebruch ${ displaystyle Sigma _ {b-a}}$ protože tento svazek může být tenzorován svazkem řádků ${ displaystyle { mathcal {O}} (- a)}$.

Izomorfismy Hirzebruchových povrchů

Výše uvedené pozorování dává zejména izomorfismus mezi ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ a ${ displaystyle Sigma _ {- n}}$ protože existuje vektorový svazek izomorfismu

${ displaystyle { mathcal {O}} (n) otimes ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) cong { mathcal {O}} (n) oplus { mathcal {O}}}$

Analýza asociované symetrické algebry

Připomeňme, že projektivní svazky lze konstruovat pomocí Relativní projekt, který je tvořen odstupňovaným svazkem algebry

${ displaystyle bigoplus _ {i = 0} ^ { infty} operatorname {Sym} ^ {i} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n))}$

Prvních několik symetrických modulů je zvláštních, protože existuje netriviální anti-symetrický ${ displaystyle operatorname {Alt} ^ {2}}$-modul ${ displaystyle { mathcal {O}} další časy { mathcal {O}} (- n)}$. Tyto svazky jsou shrnuty v tabulce

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Sym} ^ {0} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} operatorname {Sym} ^ {1} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (-n) operatorname {Sym} ^ {2} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- 2n) end {zarovnáno}}}$

Pro ${ displaystyle i> 2}$ symetrické svazky jsou dány vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Sym} ^ {k} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = bigoplus _ {i = 0} ^ {k} { mathcal {O}} ^ { otimes (ni)} otimes { mathcal {O}} (- v) & cong { mathcal {O}} oplus { mathcal { O}} (- n) oplus cdots oplus { mathcal {O}} (- kn) end {zarovnáno}}}$

Vlastnosti

Hirzebruch povrchy pro n > 0 má speciální racionální křivka C na nich: Povrch je projektivní svazek Ó(−n) a křivka C je nulová sekce. Tato křivka má číslo vlastní křižovatky −na je jedinou neredukovatelnou křivkou se záporným číslem křižovatky. Jedinými neredukovatelnými křivkami s nulovým číslem vlastního průniku jsou vlákna povrchu Hirzebruch (považovaná za svazek vláken P¹). The Picardova skupina je generován křivkou C a jedno z vláken a tyto generátory mají průnik matice

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & -n end {bmatrix}},}$

takže bilineární forma je dvourozměrná unimodulární a je sudá nebo lichá podle toho, zda n je sudé nebo liché.

Hirzebruchův povrch Σ_n (n > 1) vyhodit do vzduchu v bodě speciální křivky C je izomorfní s Σ_n+1 vyhozen do vzduchu v bodě, který není na speciální křivce.

Viz také

• Projektivní balíček

Reference

• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktní komplexní povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN  978-3-540-00832-3, PAN  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Složité algebraické povrchyStudentské texty London Mathematical Society, 34 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-49510-3, PAN1406314
• Hirzebruch, Friedrich (1951), „Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten“, Mathematische Annalen, 124: 77–86, doi:10.1007 / BF01343552, hdl:21.11116 / 0000-0004-3A56-B, ISSN  0025-5831, PAN  0045384, S2CID  122844063

externí odkazy

• Atlas rozdělovače
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://mathoverflow.net/q/122952