Chow skupina hromádky - Chow group of a stack

V algebraické geometrii je Chow skupina hromádky je zobecněním Chow skupina odrůdy nebo schématu hromádky. Pro zásobník kvocientů ${ displaystyle X = [Y / G]}$ , skupina Chow X je stejný jako G-ekvivariantní Chowova skupina z Y.

Klíčový rozdíl oproti teorii Chowových skupin odrůdy spočívá v tom, že cyklus může nést netriviální automorfismy a v důsledku toho to musí brát v úvahu teoreticko-průnikové operace. Například stupeň 0-cyklu na zásobníku nemusí být celé číslo, ale je racionální číslo (kvůli netriviálním stabilizátorům).

Definice

Angelo Vistoli (1989 ) rozvíjí základní teorii (většinou přes Q) pro skupinu Chow z (oddělené) Deligne – Mumford stack. Tam je skupina Chow definována přesně jako v klasickém případě: jedná se o volnou abelianskou skupinu generovanou integrálními uzavřenými podskupinami modulo racionální ekvivalence.

Pokud je hromádka X lze psát jako zásobník kvocientů ${ displaystyle X = [Y / G]}$ pro nějakou kvazi-projektivní odrůdu Y s linearizovanou akcí lineární algebraické skupiny G, pak skupina Chow X je definován jako G-ekvivariantní Chowova skupina z Y. Tento přístup zavádějí a rozvíjejí Dan Edidin a William A. Graham a také Burt Totaro. Andrew Kresch (1999 ) později rozšířil teorii na komín, který připouští stratifikaci pomocí kvocientových komínů.

Pro vyšší Chow skupiny (předchůdce motivické homologie ) algebraických zásobníků, viz Průniková teorie Roye Joshuy o zásobnících: I a II. [1]

Příklady

Výpočty závisí na definicích. Zde tedy postupujeme nějakým způsobem axiomaticky. Konkrétně předpokládáme: daný algebraický zásobník X lokálně konečného typu nad základním polem k,

(homotopy-invariance), pokud E je hodnost-n vektorový balíček na X, pak ${ displaystyle A_ {p} (E) = A_ {p-n} (X)}$ .
pro každý integrální dílčí balíček Z dimenze < str, ${ displaystyle A_ {p} (X-Z) = A_ {p} (X)}$ , důsledek lokalizační sekvence.

Tyto vlastnosti jsou platné, pokud X je Deligne – Mumford a očekává se, že bude platit pro jakoukoli jinou rozumnou teorii.

Bereme X být klasifikačním stackem ${ displaystyle BG}$ , hromada jistiny G-bundles pro hladkou lineární algebraickou skupinu G. Podle definice je to kvocient zásob ${ displaystyle [* / G]}$ , kde * je zobrazen jako zásobník přidružený k * = Spec k. Přibližujeme to následovně. Dáno celé číslo str, vyberte reprezentaci ${ displaystyle G to GL (V)}$ takové, že existuje G-invariantní otevřená podmnožina U z PROTI na kterých G jedná svobodně a doplňuje ${ displaystyle Z = V-U}$ má codimension ${ displaystyle> - operatorname {dim} G-p}$ . Nechat ${ displaystyle * times _ {G} V}$ být podílem ${ displaystyle * krát G}$ akcí ${ displaystyle (x, v) cdot g = (xg, g ^ {- 1} v)}$ . Všimněte si, že akce je zdarma a tak ${ displaystyle * times _ {G} V}$ je vektorový svazek ${ displaystyle BG}$ . Podle vlastnosti 1 aplikované na tento vektorový balíček,

{ displaystyle A_ {p} (BG) = A_ {p + dim V} (* times _ {G} V).}

Pak od té doby ${ displaystyle * times _ {G} U = U / G}$ , podle nemovitosti 2,

{ displaystyle A_ {p + dim V} (* times _ {G} V) ​​= A_ {p + dim V} (U / G)}

od té doby ${ displaystyle dim [Z / G] = dim Z- dim G < dim V + p}$ .

Jako konkrétní příklad pojďme ${ displaystyle G = mathbb {G} _ {m}}$ a nech to působit ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n}}$ škálováním. Pak ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ jedná svobodně ${ displaystyle U = mathbb {A} ^ {n} - {0 }}$ . Podle výše uvedeného výpočtu pro každou dvojici celých čísel n, str takhle ${ displaystyle n + p geq 0}$ ,

{ displaystyle A_ {p} (B mathbb {G} _ {m}) = A_ {p + n} ( mathbb {P} ^ {n-1}).}

Zejména pro každé celé číslo str ≥ 0, ${ displaystyle A_ {p} (B mathbb {G} _ {m}) = 0}$ . Obecně, ${ displaystyle A_ {n-k} ( mathbb {P} ^ {n}) = mathbb {Q} h ^ {k}}$ pro třídu nadroviny h, ${ displaystyle h ^ {k}}$ k-krát se protíná a ${ displaystyle h ^ {k} = 0}$ pro negativní k a tak

{ displaystyle A_ {p} (B mathbb {G} _ {m}) = mathbb {Q} h ^ {- 1-p}}

kde je pravá strana nezávislá na modelech použitých při výpočtu (protože odlišné h'odpovídají pod projekce mezi projektivními prostory.) Pro ${ displaystyle p = -1 = dim B mathbb {G} _ {m}}$ , třída ${ displaystyle h ^ {0} = [ mathbb {P} ^ {n}]}$ , jakýkoli n, lze považovat za základní třídu ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m}}$ .

Podobně máme

{ displaystyle A ^ {*} (B mathbb {G} _ {m}) = mathbb {Q} [c]}

kde ${ displaystyle c = c_ {1} (h)}$ je první třídou Chern h (a C a h jsou identifikovány, když jsou identifikovány skupiny Chow a Chow kroužky projektivních prostorů). Od té doby ${ displaystyle h ^ {k} = c cdot h ^ {k-1}}$ , máme to ${ displaystyle A _ {*} (B mathbb {G} _ {m})}$ je zdarma ${ displaystyle mathbb {Q} [c]}$ -modul generovaný ${ displaystyle h ^ {0}}$ .

Virtuální základní třída

Pojem pochází z Kuranishi teorie v symplektická geometrie.^[1]^[2]

V § 2 Behrend (2009), vzhledem k zásobníku DM X a C_X the vnitřní normální kužel na XK. Behrend definuje virtuální základní třída z X tak jako

{ displaystyle [X] ^ { text {vir}} = s_ {0} ^ {!} [C_ {X}]}

kde s₀ je nulový průřez kužele určený teorie dokonalé obstrukce a s₀^! je rafinovaný gysinský homomorfismus definováno stejně jako ve Fultonově „teorii průniku“. Stejný dokument ukazuje, že míra této třídy, morálně integrace nad ní, se rovná vážené Eulerově charakteristice Funkce Behrend z X.

Novější přístupy (kolem roku 2017) provádějí tento typ konstrukce v kontextu odvozená algebraická geometrie.^[3]

Viz také

Poznámky

^ Fukaya, Kenji; Ono, Kaoru (1999). „Arnoldova domněnka a Gromov-Wittenův invariant“. Topologie. 38 (5): 933–1048. doi:10.1016 / s0040-9383 (98) 00042-1. PAN 1688434.
^ Pardon, Johne (2016-04-28). "Algebraický přístup k virtuálním základním cyklům na modulových prostorech pseudo-holomorfních křivek". Geometrie a topologie. 20 (2): 779–1034. arXiv:1309.2370. doi:10.2140 / gt.2016.20.779. ISSN 1364-0380.
^ § 1.2.1. z Cisinski, Denis-Charles; Khan, Adeel A. (05.05.2017). „Brave new motivic homotopy theory II: Homotopy invariant K-theory“. arXiv:1705.03340 [matematika. AT ].

Reference

Behrend, Kai (2009), „Invarianty typu Donaldson-Thomas prostřednictvím mikrolokové geometrie“, Annals of Mathematics, 2. ser., 170 (3): 1307–1338, arXiv:matematika / 0507523, doi:10.4007 / annals.2009.170.1307, PAN 2600874
Ciocan-Fontanine, Ionuț; Kapranov, Michail (2009). Msgstr "Virtuální základní třídy prostřednictvím dg – manifoldů". Geometrie a topologie. 13 (3): 1779–1804. arXiv:matematika / 0703214. doi:10.2140 / gt.2009.13.1779. PAN 2496057.
Fantechi, Barbara, Virtuální odvolání na algebraické komíny (PDF)
Kresch, Andrew (1999), „Cycle groups for Artin stacks“, Inventiones Mathematicae, 138 (3): 495–536, arXiv:matematika / 9810166, Bibcode:1999InMat.138..495K, doi:10.1007 / s002220050351
Totaro, Burte (1999), „Chowův prsten klasifikačního prostoru, algebraická K-teorie“, Proc. Symposy. Čistá matematika, 67, American Mathematical Society, str. 249–281, PAN 1743244, Zbl 0967.14005
Vistoli, Angelo (1989), „Průniková teorie o algebraických vrstvách a jejich prostorech modulů“, Inventiones Mathematicae, 97 (3): 613–670, Bibcode:1989InMat..97..613V, doi:10.1007 / BF01388892, PAN 1005008
Nabijou, Navid (2015), Virtuální základní třídy v teorii Gromov Witten (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 2017-05-16, vyvoláno 2017-07-20
Shen, Junliang (2014), Konstrukce virtuální základní třídy a aplikací (PDF)

externí odkazy

[Fukaya-Ono-1] Fukaya, Kenji; Ono, Kaoru (1999). „Arnoldova domněnka a Gromov-Wittenův invariant“. Topologie. 38 (5): 933–1048. doi:10.1016 / s0040-9383 (98) 00042-1. PAN 1688434.

[2] Pardon, Johne (2016-04-28). "Algebraický přístup k virtuálním základním cyklům na modulových prostorech pseudo-holomorfních křivek". Geometrie a topologie. 20 (2): 779–1034. arXiv:1309.2370. doi:10.2140 / gt.2016.20.779. ISSN 1364-0380.

[3] § 1.2.1. z Cisinski, Denis-Charles; Khan, Adeel A. (05.05.2017). „Brave new motivic homotopy theory II: Homotopy invariant K-theory“. arXiv:1705.03340 [matematika. AT ].

[1]

[2]

[3]