Deligneova kohomologie - Deligne cohomology
v matematika, Deligneova kohomologie je hyperkohomologie z Deligne komplex a komplexní potrubí. To bylo představeno Pierre Deligne v nepublikované práci kolem roku 1972 jako teorie kohomologie pro algebraické odrůdy který zahrnuje jak obyčejnou kohomologii, tak střední Jacobians.
Úvodní zprávy o delignecké kohomologii viz Brylinski (2008, oddíl 1.5), Esnault & Viehweg (1988), a Gomi (2009, sekce 2).
Definice
Analytický komplex Deligne Z(p)D, an na složitém analytickém potrubí X je
kde Z(p) = (2π i)pZ. V závislosti na kontextu je buď komplex hladkých (tj. C∞) diferenciální formy nebo holomorfních forem. Deligneova kohomologie H q
D, an (X,Z(p)) je q-th hypercohomology of the Deligne complex. Alternativní definice tohoto komplexu je uvedena jako limit homotopy[1] diagramu
Vlastnosti
Deligne kohomologické skupiny H q
D (X,Z(p)) lze popsat geometricky, zejména v nízkých stupních. Pro p = 0, souhlasí s q-tá singulární kohomologická skupina (s Z-coefficients), podle definice. Pro q = 2 a p = 1, je izomorfní se skupinou izomorfních tříd hladké (nebo holomorfní, v závislosti na kontextu) ředitel školy C×- svazky přes X. Pro p = q = 2, je to skupina tříd izomorfismu C×- svazky s spojení. Pro q = 3 a p = 2 nebo 3, popis z hlediska gerbes jsou dostupné (Brylinski (2008) ). Toto bylo zobecněno na popis ve vyšších stupních, pokud jde o iteraci klasifikace mezer a spojení na nich (Gajer (1997) ).
Vztah s hodinami Hodge
Připomeňme, že existuje podskupina hodin integrální kohomologie v zavolala skupina Hodgeových tříd. Existuje přesná sekvence týkající se Deligne-cohomologie, jejich střední Jacobians a tato skupina Hodgeových tříd jako krátká přesná sekvence
Aplikace
K formulaci se používá deligneova kohomologie Beilinsonovy domněnky na speciální hodnoty L-funkcí.
Rozšíření
Pro libovolné je definováno rozšíření Deligne-cohomologie symetrické spektrum [1] kde pro liché, které lze srovnat s běžnou deligneckou kohomologií na komplexních analytických variantách.
Viz také
Reference
- ^ A b Hopkins, Michael J .; Rychle, Gereone (březen 2015). „Hodge filtrovaný komplexní bordismus“. Časopis topologie. 8 (1): 147–183. doi:10.1112 / jtopol / jtu021.
- Deligne-Beilinsonova kohomologie
- Geometrie Deligneovy kohomologie
- Poznámky k diferenciální kohomologii a gerbes
- Kroucená hladká Deligneova kohomologie
- Brylinski, Jean-Luc (2008) [1993], Smyčkové prostory, charakteristické třídy a geometrická kvantizace, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4731-5, ISBN 978-0-8176-4730-8, PAN 2362847
- Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988), „Deligne-Beĭlinsonova kohomologie“ (PDF), Beĭlinsonovy domněnky o zvláštních hodnotách L-funkcí, Perspect. Matematika., 4, Boston, MA: Akademický tisk, str. 43–91, ISBN 978-0-12-581120-0, PAN 0944991
- Gajer, Pawel (1997), „Geometry of Deligne cohomology“, Inventiones Mathematicae, 127 (1): 155–207, arXiv:alg-geom / 9601025, Bibcode:1996InMat.127..155G, doi:10.1007 / s002220050118, ISSN 0020-9910
- Gomi, Kiyonori (2009), „Projektivní unitární reprezentace hladkých deligneckých kohomologických skupin“, Journal of Geometry and Physics, 59 (9): 1339–1356, arXiv:matematika / 0510187, Bibcode:2009JGP .... 59,1339G, doi:10.1016 / j.geomphys.2009.06.012, ISSN 0393-0440, PAN 2541824