Albánská odrůda - Albanese variety - Wikipedia

v matematika, Albánská odrůda ${ displaystyle A (V)}$, pojmenovaný pro Giacomo Albánec, je zobecněním Jacobian odrůda křivky.

Přesné prohlášení

Albánská odrůda je odrůda abelian ${ displaystyle A}$ generované odrůdou ${ displaystyle V}$ přičemž daný bod ${ displaystyle V}$ na totožnost ${ displaystyle A}$. Jinými slovy, z odrůdy je morfismus ${ displaystyle V}$ k jeho albánské odrůdě ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$, takže jakýkoli morfismus z ${ displaystyle V}$ na abelianskou odrůdu (která vezme daný bod do identity) faktory jedinečně prostřednictvím ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$. U složitých potrubí je André Blanchard (1956 ) definoval albánskou odrůdu podobným způsobem jako morfismus z ${ displaystyle V}$ do torusu ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$ tak, že jakýkoli morfismus na torus ovlivňuje jedinečně tuto mapu. (V tomto případě se jedná o analytickou odrůdu; nemusí být algebraická.)

Vlastnosti

Pro kompaktní Rozdělovače Kähler rozměr albánské odrůdy je Hodge číslo ${ displaystyle h ^ {1,0}}$, rozměr prostoru diferenciály prvního druhu na ${ displaystyle V}$, který se pro povrchy nazývá nerovnost povrchu. Ve smyslu diferenciální formy, jakýkoli holomorfní 1 formulář na ${ displaystyle V}$ je zarazit trans-invariantní 1 formy na albánské odrůdě, pocházející z holomorfní kotangensový prostor z ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$ na jeho prvku identity. Stejně jako v případě křivky, výběrem a základní bod na ${ displaystyle V}$ (od kterého se „integrovat“), an Albánský morfismus

${ displaystyle V to operatorname {Alb} (V)}$

je definován, podél kterého se 1-formy stáhnou zpět. Tento morfismus je jedinečný až do překladu albánské odrůdy. U odrůd přes pole s pozitivní charakteristikou může být rozměr albánské odrůdy menší než Hodgeova čísla ${ displaystyle h ^ {1,0}}$ a ${ displaystyle h ^ {0,1}}$ (které nemusí být stejné). Chcete-li vidět dřívější poznámku, že albánská odrůda je dvojí Odrůda Picard, jehož tečný prostor v identitě je dán ${ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X}).}$ Že ${ displaystyle dim operatorname {Alb} (X) leq h ^ {1,0}}$ je výsledkem Jun-ichi Igusa v bibliografii.

Roitmanova věta

Pokud pozemní pole k je algebraicky uzavřeno, albánská mapa ${ displaystyle V to operatorname {Alb} (V)}$ může být prokázáno, že ovlivňuje skupinový homomorfismus (nazývaný také Albánská mapa)

${ displaystyle CH_ {0} (V) na operatorname {Alb} (V) (k)}$

z Chow skupina 0-rozměrných cyklů zapnuto PROTI do skupiny racionální body z ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$, což je abelianská skupina od ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$ je abelianská odrůda.

Roitmanova věta, představený A.A. Rojtman (1980 ), tvrdí, že pro l připravit na char (k), albánská mapa vyvolává izomorfismus na l-tradiční podskupiny.^[1][2] Nahrazení skupiny Chow Suslin – Voevodského algebraickou singulární homologií po zavedení Motivační kohomologie Roitmanova věta bylo získáno a přeformulováno v motivickém rámci. Podobný výsledek platí například pro ne-singulární kvazi-projektivní odrůdy.^[3] Další verze Roitmanova věta jsou k dispozici pro normální schémata.^[4] Ve skutečnosti nejobecnější formulace Roitmanova věta (tj. homologická, kohomologická a Borel – Moore ) zahrnují motivující albánský komplex ${ displaystyle operatorname {LAlb} (V)}$ a prokázali je Luca Barbieri-Viale a Bruno Kahn (viz odkazy III.13).

Připojení k odrůdě Picard

Albánská odrůda je dvojí do Odrůda Picard (dále jen připojená součást nula z Picardovo schéma klasifikace invertibilní snopy na PROTI):

${ displaystyle operatorname {Alb} V = ( operatorname {Pic} _ {0} V) ^ { vee}.}$

U algebraických křivek je Věta Abel – Jacobi znamená, že odrůdy Albánec a Picard jsou izomorfní.

Viz také

• Střední Jacobian
• Albánský režim
• Motivační Albánci

Poznámky a odkazy

• Barbieri-Viale, Luca; Kahn, Bruno (2016), Na odvozené kategorii 1 motivů, Astérisque, 381, SMF, arXiv:1009.1900, ISBN  978-2-85629-818-3, ISSN  0303-1179, PAN  3545132
• Blanchard, André (1956), „Sur les variétés analytiques complexes“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3, 73 (2): 157–202, doi:10.24033 / asens.1045, ISSN  0012-9593, PAN  0087184
• Griffiths, Phillip; Harris, Joe (1994). Principy algebraické geometrie. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. 331, 552. ISBN  978-0-471-05059-9.
• Igusa, Jun-ichi (1955). „Základní nerovnost v teorii Picardových odrůd“. Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických. 41 (5): 317–20. Bibcode:1955PNAS ... 41..317I. doi:10.1073 / pnas.41.5.317. PMC  528086. PMID  16589672.
• Parshin, Aleksei N. (2001) [1994], „Albanese_variety“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS