Grothendieck – Riemann – Rochova věta - Grothendieck–Riemann–Roch theorem

Grothendieck – Riemann – Rochova věta
	Grothendieckův komentář k teorému Grothendieck – Riemann – Roch
Pole	Algebraická geometrie
První důkaz od	Alexander Grothendieck
První důkaz v	1957
Zobecnění	Atiyah – Singerova věta o indexu
Důsledky	Věta Hirzebruch – Riemann – Roch; Riemannova – Rochova věta pro povrchy; Riemann – Rochova věta

v matematika, konkrétně v algebraická geometrie, Grothendieck – Riemann – Rochova věta je dalekosáhlý výsledek dne koherentní kohomologie. Jedná se o zobecnění Věta Hirzebruch – Riemann – Roch, o složité potrubí, což je samo o sobě zobecněním klasiky Riemann – Rochova věta pro svazky řádků na kompaktní Riemannovy povrchy.

Věty typu Riemann – Roch se týkají Eulerovy charakteristiky z kohomologie a vektorový svazek s jejich topologické stupně nebo obecněji jejich charakteristické třídy v (ko) homologii nebo jejich algebraických analogech. Klasická věta Riemann – Roch to dělá pro křivky a svazky čar, zatímco věta Hirzebruch – Riemann – Roch to zobecňuje na vektorové svazky přes různá potrubí. Grothendieck – Riemann – Rochova věta nastaví obě věty do relativní situace a morfismus mezi dvěma potrubími (nebo obecnějšími schémata ) a změní teorém z tvrzení o jednom svazku na jeden vztahující se k řetězové komplexy z snopy.

Věta byla velmi vlivná, v neposlední řadě pro vývoj Atiyah – Singerova věta o indexu. Naopak, komplexní analytické analogy Grothendieck – Riemann – Rochovy věty lze dokázat pomocí indexové věty pro rodiny. Alexander Grothendieck podal první důkaz v rukopisu z roku 1957, později publikovaném.^[1] Armand Borel a Jean-Pierre Serre sepsal a vydal Grothendieckův důkaz v roce 1958.^[2] Později Grothendieck a jeho spolupracovníci důkaz zjednodušili a zobecnili.^[3]

Formulace

Nechat X být hladký kvazi-projektivní schéma přes pole. Za těchto předpokladů Grothendieckova skupina ${ displaystyle K_ {0} (X)}$ z ohraničené komplexy z koherentní snopy je kanonicky izomorfní se skupinou Grothendieckových ohraničených komplexů vektorových svazků konečné řady. Pomocí tohoto izomorfismu zvažte Chern charakter (racionální kombinace Třídy Chern ) jako funkční proměna:

{ displaystyle mathrm {ch} dvojtečka K_ {0} (X) až A (X, mathbb {Q}),}

kde ${ displaystyle A_ {d} (X, mathbb {Q})}$ je Chow skupina cyklů zapnuto X dimenze d modulo racionální ekvivalence, tenzorovaný s racionální čísla. V případě X je definována přes komplexní čísla, druhá skupina mapuje topologii kohomologická skupina:

{ displaystyle H ^ {2 dim (X) -2d} (X, mathbb {Q}).}

Nyní zvažte správný morfismus ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ mezi hladkými kvaziprojektivními schématy a ohraničeným komplexem svazků ${ displaystyle {{ mathcal {F}} ^ { bullet}}}$ na ${ displaystyle X.}$

The Grothendieck – Riemann – Rochova věta souvisí s dopřednou mapou

{ displaystyle f _ {!} = součet (-1) ^ {i} R ^ {i} f _ {*} dvojtečka K_ {0} (X) až K_ {0} (Y)}

(střídavý součet vyšší přímé obrázky ) a dopředu

{ displaystyle f _ {*} dvojtečka A (X) až A (Y),}

podle vzorce

{ displaystyle mathrm {ch} (f _ {!} { mathcal {F}} ^ { bullet}) mathrm {td} (Y) = f _ {*} ( mathrm {ch} ({ mathcal { F}} ^ { bullet}) mathrm {td} (X)).}

Tady ${ displaystyle mathrm {td} (X)}$ je Rod Todd z ( tečný svazek z) X. Věta tedy poskytuje přesné měřítko pro nedostatek komutativnosti posunu vpřed ve výše uvedených smyslech a Chernově charakteru a ukazuje, že potřebné korekční faktory závisí na X a Y pouze. Ve skutečnosti je rod Todd funkční a multiplikativní přesné sekvence, můžeme přepsat vzorec Grothendieck – Riemann – Roch jako

{ displaystyle mathrm {ch} (f _ {!} { mathcal {F}} ^ { bullet}) = f _ {*} ( mathrm {ch} ({ mathcal {F}} ^ { bullet} ) mathrm {td} (T_ {f})),}

kde ${ displaystyle T_ {f}}$ je relativní tangenta svazku F, definovaný jako prvek ${ displaystyle TX-f ^ {*} (TY)}$ v ${ displaystyle K_ {0} (X)}$ . Například když F je hladký morfismus, ${ displaystyle T_ {f}}$ je jednoduše vektorový svazek, známý jako tangenciální svazek podél vláken F.

Použitím A¹-homotopy teorie, byla věta Grothendieck – Riemann – Roch rozšířena o Navarro a Navarro (2017) do situace, kdy F je správná mapa mezi dvěma plynulými schématy.

Zobecnění a specializace

Zevšeobecnění věty lze provést v případě non-smooth případ zvážením vhodného zevšeobecnění kombinace ${ displaystyle mathrm {ch} (-) mathrm {td} (X)}$ a k nesprávnému případu zvážením cohomology s kompaktní podporou.

The aritmetická Riemann – Rochova věta rozšiřuje Grothendieck – Riemann – Rochovu větu na aritmetická schémata.

The Věta Hirzebruch – Riemann – Roch je (v zásadě) zvláštní případ, kdy Y je bod a pole je pole komplexních čísel.

Verze Riemann-Rochovy věty pro teorie orientované kohomologie byla prokázána Ivanem Paninem a Alexandrem Smirnovem.^[4] Jedná se o multiplikativní operace mezi algebraicky orientovanými kohomologickými teoriemi (jako Algebraický cobordism ). Grothendieck-Riemann-Roch je toho zvláštním případem a postava Chern se v tomto prostředí přirozeně objevuje.^[5]

Příklady

Vektorové svazky na křivce

Vektorový balíček ${ displaystyle E to C}$ hodnosti ${ displaystyle n}$ a stupeň ${ displaystyle d}$ (definovaný jako stupeň jeho determinantu nebo ekvivalentně stupeň jeho první třídy Chern) na hladké projektivní křivce přes pole ${ displaystyle k}$ má vzorec podobný Riemann-Roch pro svazky linek. Pokud vezmeme ${ displaystyle X = C}$ a ${ displaystyle Y = {* }}$ bod pak lze Grothendieck-Riemann-Rochův vzorec číst jako

{ displaystyle { begin {aligned} mathrm {ch} (f _ {!} { mathcal {F}} ^ { bullet}) & = h ^ {0} (C, E) -h ^ {1} (C, E) f _ {*} ( mathrm {ch} (E) mathrm {td} (X)) & = f _ {*} ((n + c_ {1} (E)) (1+ (1/2) c_ {1} (T_ {C}))) & = f _ {*} (n + c_ {1} (E) + (n / 2) c_ {1} (T_ {C} )) & = f _ {*} (c_ {1} (E) + (n / 2) c_ {1} (T_ {C})) & = d + n (1-g) end { zarovnaný}}}

proto

{ displaystyle chi (C, E) = d + n (1-g).}

^[6]

Tento vzorec platí také pro koherentní snopy hodnosti ${ displaystyle n}$ a stupeň ${ displaystyle d}$ .

Hladké správné mapy

Jednou z výhod vzorce Grothendieck – Riemann – Roch je, že jej lze interpretovat jako relativní verzi vzorce Hirzebruch – Riemann – Roch. Například hladký morfismus ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ má vlákna, která jsou všechna ekvidimenzionální (a při změně základny na izomorfní jako topologické prostory ${ displaystyle mathbb {C}}$ ). Tato skutečnost je užitečná v teorii modulů při zvažování prostoru modulů ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ parametrizování hladkých správných mezer. Například, David Mumford použil tento vzorec k odvození vztahů Chowova prstenu na moduli prostor algebraických křivek.^[7]

Moduly křivek

Pro zásobník modulů rodu ${ displaystyle g}$ křivky (a žádné označené body) ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ existuje univerzální křivka ${ displaystyle pi colon { overline { mathcal {C}}} _ {g} do { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ kde ${ displaystyle { overline { mathcal {C}}} _ {g} = { overline { mathcal {M}}} _ {g, 1}}$ (je modul modulů křivek rodu ${ displaystyle g}$ a jeden označený bod. Poté definuje tautologické třídy

{ displaystyle { begin {aligned} K _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}} & = c_ {1} ( omega _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}}) kappa _ {l} & = pi _ {*} (K _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}} ^ {l + 1}) mathbb { E} & = pi _ {*} ( omega _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}}) lambda _ {l} & = c_ {l} ( mathbb {E}) end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle 1 leq l leq g}$ a ${ displaystyle omega _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}}}$ je relativní dualizační svazek. Všimněte si vlákna z ${ displaystyle omega _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}}}$ přes bod ${ displaystyle [C] in { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ toto je dualizační svazek ${ displaystyle omega _ {C}}$ . Byl schopen najít vztahy mezi ${ displaystyle lambda _ {i}}$ a ${ displaystyle kappa _ {i}}$ popisující ${ displaystyle lambda _ {i}}$ v součtu ${ displaystyle kappa _ {i}}$ ^[7] (důsledek 6.2) na výložníku ${ displaystyle A ^ {*} ({ mathcal {M}} _ {g})}$ hladkého lokusu pomocí Grothendieck-Riemann-Roch. Protože ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ je hladký Deligne – Mumford stack, uvažoval o krytí schématem ${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}} _ {g} na { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ který představuje ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g} = [{ tilde { mathcal {M}}} _ {g} / G]}$ pro nějakou konečnou skupinu ${ displaystyle G}$ . Používá Grothendieck-Riemann-Roch ${ displaystyle omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} _ {g} / { tilde { mathcal {M}}} _ {g}}}$ dostat

{ displaystyle mathrm {ch} ( pi _ {!} ( omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M}}}})) = pi _ {*} ( mathrm {ch} ( omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M}}}}) mathrm {Td} ^ { vee} ( Omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M}}}} ^ {1}))}

Protože

{ displaystyle mathbf {R} ^ {1} pi _ {!} ({ omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} _ {g} / { tilde { mathcal {M}} } _ {g}}}) cong { mathcal {O}} _ { tilde {M}},}

to dává vzorec

{ displaystyle mathrm {ch} ( mathbb {E}) = 1 + pi _ {*} ({ text {ch}} ( omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / / tilde { mathcal {M}}}})) { text {Td}} ^ { vee} ( Omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M} }}} ^ {1})).}

Výpočet ${ displaystyle mathrm {ch} ( mathbb {E})}$ pak lze ještě dále snížit. Rovnoměrné rozměry ${ displaystyle 2k}$ ,

{ displaystyle { text {ch}} ( mathbb {E}) _ {2k} = 0.}

Také v dimenzi 1

{ displaystyle lambda _ {1} = c_ {1} ( mathbb {E}) = { frac {1} {12}} ( kappa _ {1} + delta),}

kde ${ displaystyle delta}$ je třída na hranici. V případě ${ displaystyle g = 2}$ a na hladkém místě ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ existují vztahy

{ displaystyle { begin {sladěno} lambda _ {1} & = { frac {1} {12}} kappa _ {1} lambda _ {2} & = { frac { lambda _ {1} ^ {2}} {2}} = { frac { kappa _ {1} ^ {2}} {288}} end {zarovnáno}}}

což lze odvodit analýzou Chernova charakteru ${ displaystyle mathbb {E}}$ .

Uzavřené vkládání

Uzavřené vložení ${ displaystyle f dvojtečka Y až X}$ mít popis také pomocí vzorce Grothendieck-Riemann-Roch, ukazující další netriviální případ, kdy vzorec platí.^[8] Pro hladkou odrůdu ${ displaystyle X}$ dimenze ${ displaystyle n}$ a subvariety ${ displaystyle Y}$ codimension ${ displaystyle k}$ , existuje vzorec

{ displaystyle c_ {k} ({ mathcal {O}} _ {Y}) = (- 1) ^ {k-1} (k-1)! [Y]}

Pomocí krátké přesné sekvence

{ displaystyle 0 to { mathcal {I}} _ {Y} to { mathcal {O}} _ {X} to { mathcal {O}} _ {Y} to 0}

,

existuje vzorec

{ displaystyle c_ {k} ({ mathcal {I}} _ {Y}) = (- 1) ^ {k} (k-1)! [Y]}

od té doby ideální snop ${ displaystyle 1 = c ({ mathcal {O}} _ {X}) = c ({ mathcal {O}} _ {Y}) c ({ mathcal {I}} _ {Y})}$ .

Aplikace

Kvazi-projektivita prostorů modulů

Grothendieck-Riemann-Roch lze použít k prokázání, že prostor hrubých modulů ${ displaystyle M}$ , tak jako moduli prostor špičatých algebraických křivek ${ displaystyle M_ {g, n}}$ , připouští vložení do projektivního prostoru, tedy je kvazi-projektivní rozmanitost. Toho lze dosáhnout při pohledu na kanonicky spojené snopy ${ displaystyle M}$ a studium stupně přidružených svazků linek. Například, ${ displaystyle M_ {g, n}}$ ^[9] má rodinu křivek

{ displaystyle pi dvojtečka C_ {g, n} až M_ {g, n}}

s oddíly

{ displaystyle s_ {i} dvojtečka M_ {g, n} do C_ {g, n}}

odpovídající označeným bodům. Protože každé vlákno má kanonický svazek ${ displaystyle omega _ {C}}$ , jsou přidružené svazky řádků

${ displaystyle Lambda _ {g, n} ( pi) = det ( mathbf {R} pi _ {*} ( omega _ {C_ {g, n} / M_ {g, n}}) )}$ a ${ displaystyle chi _ {g, n} ^ {(i)} = s_ {i} ^ {*} ( omega _ {C_ {g, n} / M_ {g, n}})}$ .

Ukázalo se, že

{ displaystyle Lambda _ {g, n} ( pi) otimes left ( bigotimes _ {i = 1} ^ {n} chi _ {g, n} ^ {(i)} right)}

je dostatek svazku řádků^[9]^{str. 209}, tedy prostor hrubých modulů ${ displaystyle M_ {g, n}}$ je kvazi-projektivní.

Dějiny

Alexander Grothendieck Verze Riemannovy-Rochovy věty byla původně sdělena v dopise Jean-Pierre Serre kolem 1956–1957. To bylo zveřejněno při počátečním Bonn Arbeitstagung, v roce 1957. Serre a Armand Borel následně uspořádal seminář na adrese Univerzita Princeton rozumět tomu. Konečným zveřejněným příspěvkem byla ve skutečnosti expozice Borel – Serre.

Význam Grothendieckova přístupu spočívá v několika bodech. Grothendieck nejprve změnil samotný výrok: věta byla v té době chápána jako věta o odrůda, zatímco Grothendieck to viděl jako větu o morfismu mezi odrůdami. Nalezením správného zobecnění se důkaz zjednodušil, zatímco závěr se stal obecnějším. Stručně řečeno, Grothendieck použil silný kategorický přístup k tvrdému kousku analýza. Grothendieck navíc představil K-skupiny, jak bylo diskutováno výše, což připravilo cestu pro algebraická K-teorie.

Viz také

Kawasakiho vzorec Riemann – Roch

Poznámky

^ A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann – Roch (1957). Publikováno v SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
^ A. Borel a J.-P. Serre. Býk. Soc. Matematika. France 86 (1958), 97-136.
^ SGA 6, Springer-Verlag (1971).
^ Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2002). „Posun vpřed v orientovaných kohomologických teoriích algebraických odrůd“.
^ Morel, Fabien; Levine, Marc, Algebraický cobordism (PDF)Springer, viz 4.2.10 a 4.2.11
^ Morrison; Harris. Moduly křivek. str. 154.
^ ^A ^b Mumford, David. "Směrem k enumerativní geometrii modulového prostoru křivek". Aritmetika a geometrie: 271–328.
^ Fulton. Teorie křižovatky. str. 297.
^ ^A ^b Knudsen, Finn F. (01.12.1983). "Projektivita prostoru modulů stabilních křivek, III: Řádkové svazky zapnuty ${ displaystyle M_ {g, n}}$ a důkaz projektivity ${ displaystyle { bar {M}} _ {g, n}}$ v charakteristice 0 ". Mathematica Scandinavica. 52: 200–212. doi:10,7146 / math.scand.a-12002. ISSN 1903-1807.

Reference

Berthelot, Pierre (1971). Alexandre Grothendieck; Luc Illusie (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Přednášky z matematiky 225) (francouzsky). Berlín; New York: Springer-Verlag. xii + 700. doi:10.1007 / BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.
Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1958), „Le théorème de Riemann – Roch“, Bulletin de la Société Mathématique de France (francouzsky), 86: 97–136, ISSN 0037-9484, PAN 0116022
Fulton, William (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-62046-X, PAN 1644323, Zbl 0885.14002
Navarro, Alberto; Navarro, José (2017), Na Riemann-Rochově vzorci bez projektivní hypotézy, arXiv:1705.10769, Bibcode:2017arXiv170510769N
Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000). „Posun vpřed v orientovaných kohomologických teoriích algebraických odrůd“.

externí odkazy

Věta Grothendieck-Riemann-Roch
The vlákno „Aplikace Grothendieck-Riemann-Roch?“ na MathOverflow.
The vlákno „jak lze rozumět GRR? (Grothendieck Riemann Roch)“ dál MathOverflow.
The vlákno „Třída Chern ideálního svazku“ Stack Exchange.

[1] A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann – Roch (1957). Publikováno v SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.

[2] A. Borel a J.-P. Serre. Býk. Soc. Matematika. France 86 (1958), 97-136.

[3] SGA 6, Springer-Verlag (1971).

[4] Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2002). „Posun vpřed v orientovaných kohomologických teoriích algebraických odrůd“.

[5] Morel, Fabien; Levine, Marc, Algebraický cobordism (PDF)Springer, viz 4.2.10 a 4.2.11

[6] Morrison; Harris. Moduly křivek. str. 154.

[:0-7] A ^b Mumford, David. "Směrem k enumerativní geometrii modulového prostoru křivek". Aritmetika a geometrie: 271–328.

[8] Fulton. Teorie křižovatky. str. 297.

[:1-9] A ^b Knudsen, Finn F. (01.12.1983). "Projektivita prostoru modulů stabilních křivek, III: Řádkové svazky zapnuty ${ displaystyle M_ {g, n}}$ a důkaz projektivity ${ displaystyle { bar {M}} _ {g, n}}$ v charakteristice 0 ". Mathematica Scandinavica. 52: 200–212. doi:10,7146 / math.scand.a-12002. ISSN 1903-1807.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]