Homologie Borel – Moore - Borel–Moore homology

v topologie, Borel-Moorova homologie nebo homologie s uzavřenou podporou je teorie homologie pro místně kompaktní prostory, představený (1960 ).

Za rozumné kompaktní prostory „Borel-Mooreova homologie se shoduje s obvyklou singulární homologie. Pro nekompaktní prostory má každá teorie své vlastní výhody. Zejména uzavřený orientovaný podmanifold definuje třídu v homologii Borel – Moore, ale ne v běžné homologii, pokud není podmanifold kompaktní.

Poznámka: Borel ekvivariační kohomologie je invariant prostorů s akcí skupiny G; je definován jako ${displaystyle H_ {G} ^ {*} (X) = H ^ {*} ((EG imes X) / G).}$ To nesouvisí s předmětem tohoto článku.

Definice

Existuje několik způsobů, jak definovat Borel-Moorovu homologii. Všechny se shodují pro rozumné prostory, jako je rozdělovače a místně konečné CW komplexy.

Definice pomocí svazkové kohomologie

Pro jakýkoli místně kompaktní prostor X„Borel-Mooreova homologie s integrálními koeficienty je definována jako kohomologie duálu řetězový komplex který počítá svazek kohomologie s kompaktní podporou.^[1] Výsledkem je, že krátká přesná sekvence analogicky k věta o univerzálním koeficientu:

${displaystyle 0 o {ext {Ext}} _ {mathbb {Z}} ^ {1} (H_ {c} ^ {i + 1} (X, mathbb {Z}), mathbb {Z}) o H_ {i } ^ {BM} (X, mathbb {Z}) o {ext {Hom}} (H_ {c} ^ {i} (X, mathbb {Z}), mathbb {Z}) o 0.}$

V následujícím následují koeficienty ${displaystyle mathbb {Z}}$ nejsou psány.

Definice prostřednictvím lokálně konečných řetězců

The singulární homologie topologického prostoru X je definována jako homologie řetězový komplex singulárních řetězců, tj. konečné lineární kombinace spojitých map od simplexu po X. Borel-Moorova homologie rozumného místně kompaktního prostoru Xna druhé straně je izomorfní s homologií řetězového komplexu místně konečné singulární řetězce. Zde znamená „rozumné“ X je lokálně smluvní, σ-kompaktní a konečné dimenze.^[2]

Podrobněji, pojďme ${displaystyle C_ {i} ^ {BM} (X)}$ být abelianská skupina formálních (nekonečných) součtů

${displaystyle u = součet _ {sigma} a_ {sigma} sigma,}$

kde σ přejde na sadu všech spojitých map ze standardu i-simplex Δⁱ na X a každý A_σ je celé číslo takové, že pro každou kompaktní podmnožinu S z X, pouze konečně mnoho map σ, jejichž obraz se setkává S mít nenulový koeficient v u. Potom obvyklá definice hranice ∂ singulárního řetězce dělá z těchto abelianských skupin komplex řetězců:

${displaystyle cdots o C_ {2} ^ {BM} (X) o C_ {1} ^ {BM} (X) o C_ {0} ^ {BM} (X) o 0.}$

Homologické skupiny Borel-Moore ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X)}$ jsou homologické skupiny tohoto řetězového komplexu. To znamená,

${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = ker vlevo (částečné: C_ {i} ^ {BM} (X) o C_ {i-1} ^ {BM} (X) ight) / {ext { im}} vlevo (částečné: C_ {i + 1} ^ {BM} (X) o C_ {i} ^ {BM} (X) ight).}$

Li X je kompaktní, pak je každý lokálně konečný řetězec ve skutečnosti konečný. Vzhledem k tomu X je „rozumný“ ve smyslu výše, homologie Borel-Moore ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X)}$ se shoduje s obvyklou singulární homologií ${displaystyle H_ {i} (X)}$ pro X kompaktní.

Definice prostřednictvím kompaktifikací

Předpokládejme to X je homeomorfní s komplementem uzavřeného subkomplexu S v konečném komplexu CW Y. Pak Borel-Mooreova homologie ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X)}$ je isomorfní s relativní homologie H_i(Y, S). Za stejného předpokladu na X, jednobodové zhutnění z X je homeomorfní s konečným komplexem CW. Výsledkem je, že Borel-Moorovu homologii lze považovat za relativní homologii jednobodového zhutnění vzhledem k přidanému bodu.

Definice pomocí Poincarého duality

Nechat X být jakýkoli místně kompaktní prostor s uzavřeným vložením do orientovaného potrubí M dimenze m. Pak

${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = H ^ {m-i} (M, Msetminus X),}$

kde na pravé straně relativní kohomologie je myšleno.^[3]

Definice prostřednictvím dualizačního komplexu

Pro jakýkoli místně kompaktní prostor X konečné dimenze, nechť D_X být komplexizace z X. Pak

${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = mathbb {H} ^ {- i} (X, D_ {X}),}$

kde na pravé straně, hyperkohomologie je myšleno.^[4]

Vlastnosti

• Homologie Borel-Moora je kovarianční funktor s ohledem na správné mapy. To je správná mapa F: X → Y indukuje a tlačit kupředu homomorfismus ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) o H_ {i} ^ {BM} (Y)}$ pro všechna celá čísla i. Na rozdíl od běžné homologie neexistuje na Borel-Moorově homologii žádný tlak na libovolnou spojitou mapu F. Jako protiklad lze považovat nesprávné zahrnutí ${displaystyle mathbb {R} ^ {2} setminus {0} o mathbb {R} ^ {2}.}$

• Homologie Borel-Moora je kontravariantní funktor s ohledem na zahrnutí otevřených podmnožin. To je pro U otevři to X, existuje přírodní zarazit nebo omezení homomorfismus ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) o H_ {i} ^ {BM} (U).}$

• Pro jakýkoli místně kompaktní prostor X a jakákoli uzavřená podmnožina F, s ${displaystyle U = Xsetminus F}$ doplněk, existuje dlouhá přesnost lokalizace sekvence:^[5]

${displaystyle cdots o H_ {i} ^ {BM} (F) o H_ {i} ^ {BM} (X) o H_ {i} ^ {BM} (U) o H_ {i-1} ^ {BM} (F) o cdots}$

• Homologie Borel-Moora je homotopy neměnný v tom smyslu, že pro jakýkoli prostor X, existuje izomorfismus ${displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) o H_ {i + 1} ^ {BM} (X imes mathbb {R}).}$ Posun v dimenzi znamená, že Borel-Moorova homologie není homotopy neměnná v naivním smyslu. Například Borel-Moorova homologie euklidovského prostoru ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je izomorfní s ${displaystyle mathbb {Z}}$ v míře n a je jinak nula.

• Poincaré dualita rozšiřuje na nekompaktní rozdělovače pomocí homologie Borel – Moore. Jmenovitě pro orientované n- potrubí X„Poincarého dualita je izomorfismus od singulární kohomologie po homologii Borel-Moore,

${displaystyle H ^ {i} (X) {stackrel {cong} {o}} H_ {n-i} ^ {BM} (X)}$

pro všechna celá čísla i. Jinou verzí Poincarého duality pro nekompaktní potrubí je izomorfismus z cohomology s kompaktní podporou k obvyklé homologii:

${displaystyle H_ {c} ^ {i} (X) {stackrel {cong} {o}} H_ {n-i} (X).}$

• Klíčovou výhodou homologie Borel-Moore je každá orientované potrubí M dimenze n (zejména každý hladký komplex algebraická rozmanitost ), nemusí být nutně kompaktní, má a základní třída ${displaystyle [M] in H_ {n} ^ {BM} (M).}$ Pokud je potrubí M má triangulace, pak je jeho základní třída představována součtem všech top dimenzionálních jednoduchostí. Ve skutečnosti lze v homologii Borel-Moora definovat základní třídu pro libovolné (možná singulární) komplexní odrůdy. V tomto případě sada hladkých bodů ${displaystyle M ^ {ext {reg}} podmnožina M}$ má doplněk (skutečný) kodimenzionální alespoň 2 a dlouhou přesnou sekvencí nad top dimenzionálními homologiemi M a ${displaystyle M ^ {ext {reg}}}$ jsou kanonicky izomorfní. Základní třída M je pak definována jako základní třída ${displaystyle M ^ {ext {reg}}}$.^[6]

Příklady

Kompaktní prostory

S ohledem na kompaktní topologický prostor ${displaystyle X}$ jeho homologie Borel-Moore souhlasí se standardní homologií; to je

${displaystyle H _ {*} ^ {BM} (X) cong H _ {*} (X)}$

Skutečná linie

První netriviální výpočet Borel-Moorovy homologie je skutečné linie. Nejprve pozorujte, že existuje ${displaystyle 0}$-řetězec je souběžný s ${displaystyle 0}$. Protože se to redukuje na případ bodu ${displaystyle p}$Všimněte si, že můžeme vzít řetězec Borel-Moore

${displaystyle sigma = suma _ {i = 0} ^ {infty} 1cdot [p + i, p + i + 1)}$

protože hranice tohoto řetězce je ${displaystyle partial sigma = p}$ a neexistující bod v nekonečnu je bod souběžný s nulou. Nyní můžeme vzít řetězec Borel-Moore

${displaystyle sigma = sum _ {- infty$

který nemá hranice, je tedy třídou homologie. To ukazuje

${displaystyle H_ {k} ^ {BM} (mathbb {R}) = {egin {cases} mathbb {Z} & k = 1 0 & {ext {jinak}} konec {případů}}}$

Skutečný n-prostor

Předchozí výpočet lze zobecnit na případ ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Dostaneme

${displaystyle H_ {k} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n}) = {egin {cases} mathbb {Z} & k = n 0 & {ext {jinak}} konec {případů}}}$

Nekonečný válec

Pomocí Kunnethova rozkladu vidíme nekonečný válec ${displaystyle S ^ {1} imes mathbb {R}}$ má homologii

${displaystyle H_ {k} ^ {BM} (S ^ {1} imes mathbb {R}) = {egin {cases} mathbb {Z} & k = 1 mathbb {Z} & k = 2 0 & {ext {jinak} } konec {případů}}}$

Skutečný n-prostor minus bod

Použitím dlouhé přesné sekvence v Borel-Moorově homologii získáme nenulové přesné sekvence

${displaystyle 0 o H_ {n} ^ {BM} ({0}) o H_ {n} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n}) o H_ {n} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0}) o 0}$

a

${displaystyle 0 o H_ {1} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0}) o H_ {0} ^ {BM} ({0}) o H_ {0} ^ {BM} ( mathbb {R} ^ {n}) o H_ {0} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0}) o 0}$

Od první sekvence to máme

${displaystyle H_ {n} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n}) cong H_ {n} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0})}$

a od druhého to dostaneme

${displaystyle H_ {1} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0}) cong H_ {0} ^ {BM} ({0})}$

a

${displaystyle 0cong H_ {0} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n}) cong H_ {0} ^ {BM} (mathbb {R} ^ {n} - {0})}$

Tyto nenulové třídy homologie můžeme interpretovat pomocí následujících pozorování:

1. Existuje homotopická ekvivalence ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} - {0} simeq S ^ {n-1}.}$
2. Topologický izomorfismus ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} - {0} cong S ^ {n-1} imes mathbb {R} _ {> 0}.}$

proto můžeme k výpočtu použít výpočet pro nekonečný válec ${displaystyle H_ {n} ^ {BM}}$ jako třída homologie představovaná ${displaystyle S ^ {n-1} imes mathbb {R} _ {> 0}}$ a ${displaystyle H_ {1} ^ {BM}}$ tak jako ${displaystyle mathbb {R} _ {> 0}.}$

Letadlo s odstraněnými body

Nechat ${displaystyle X = mathbb {R} ^ {2} - {p_ {1}, ldots, p_ {k}}}$ mít ${displaystyle k}$-výrazné body odstraněny. Všimněte si předchozího výpočtu s tím, že Borel-Mooreova homologie je izomorfní invariant, dává tento výpočet pro případ ${displaystyle k = 1}$. Obecně najdeme a ${displaystyle 1}$-třída odpovídající smyčce kolem bodu a základní třída ${displaystyle [X]}$ v ${displaystyle H_ {2} ^ {BM}}$.

Double Cone

Zvažte dvojitý kužel ${displaystyle X = mathbb {V} (x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2}) podmnožina mathbb {R} ^ {3}}$. Pokud vezmeme ${displaystyle U = Xsetminus {0}}$ pak se zobrazí dlouhá přesná sekvence

${displaystyle {egin {aligned} H_ {2} ^ {BM} (X) & = mathbb {Z} ^ {oplus 2} H_ {1} ^ {BM} (X) & = mathbb {Z} H_ { k} ^ {BM} (X) & = 0 && {ext {for}} kot v {1,2} konci {zarovnáno}}}$

Křivka rodu dvě se třemi body odstraněna

Vzhledem k tomu, rod dvě křivky (Riemann povrch) ${displaystyle X}$ a tři body ${displaystyle F}$, můžeme použít dlouhou přesnou sekvenci k výpočtu Borel-Moorovy homologie ${displaystyle U = Xsetminus F.}$ To dává

${displaystyle {egin {aligned} H_ {2} ^ {BM} (F) o & H_ {2} ^ {BM} (X) o H_ {2} ^ {BM} (U) o H_ {1} ^ { BM} (F) o & H_ {1} ^ {BM} (X) o H_ {1} ^ {BM} (U) o H_ {0} ^ {BM} (F) o & H_ {0} ^ {BM } (X) o H_ {0} ^ {BM} (U) o 0end {zarovnáno}}}$

Od té doby ${displaystyle F}$ jsou jen tři body, které máme

${displaystyle H_ {1} ^ {BM} (F) = H_ {2} ^ {BM} (F) = 0.}$

To nám dává to ${displaystyle H_ {2} ^ {BM} (U) = mathbb {Z}.}$ Pomocí Poincare-duality můžeme počítat

${displaystyle H_ {0} ^ {BM} (U) = H ^ {2} (U) = 0,}$

od té doby ${displaystyle U}$ deformace se stáhne do jednorozměrného komplexu CW. Nakonec pomocí výpočtu pro homologii kompaktní křivky rodu 2 nám zbývá přesná sekvence

${displaystyle 0 o mathbb {Z} ^ {oplus 4} o H_ {1} ^ {BM} (U) o mathbb {Z} ^ {oplus 3} o mathbb {Z} o 0}$

zobrazeno

${displaystyle H_ {1} ^ {BM} (U) cong mathbb {Z} ^ {oplus 6}}$

protože máme krátkou přesnou sekvenci volných abelianských skupin

${displaystyle 0 o mathbb {Z} ^ {oplus 4} o H_ {1} ^ {BM} (U) o mathbb {Z} ^ {oplus 2} o 0}$

z předchozí sekvence.

Poznámky

Reference

Články průzkumu

• Goresky, Marku, Základní nátěr na snopy (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 2017-09-27

Knihy

• Borel, Armand; Moore, John C. (1960). „Teologie homologie pro lokálně kompaktní prostory“. Michigan Mathematical Journal. 7: 137–159. doi:10,1307 / mmj / 1028998385. ISSN  0026-2285. PAN  0131271.
• Bredon, Glen E. (1997). Teorie svazků (2. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94905-5. PAN  1481706.
• Fulton, William (1998). Teorie křižovatky (2. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-62046-4. PAN  1644323.
• Iversen, Birger (1986). Kohomologie snopů. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-16389-1. PAN  0842190.