Gysin homomorfismus - Gysin homomorphism
V oblasti matematika známý jako algebraická topologie, Gysinová sekvence je dlouhá přesná sekvence který se týká kurzy kohomologie z základní prostor, vlákno a celkový prostor a koule svazek. Gysinová sekvence je užitečným nástrojem pro výpočet cohomologické kroužky vzhledem k Eulerova třída svazku koulí a naopak. To bylo představeno Gysin (1942 ), a je zobecněn Serre spektrální sekvence.
Definice
Zvažte svazek koulí orientovaných na vlákna s celkovým prostorem E, základní prostor M, vlákno Sk a projekční mapa:
Každý takový svazek definuje stupeň k + 1 kurz kohomologie E nazývá se Eulerova třída svazku.
De Rhamova kohomologie
Diskuse o sekvenci je nejjasnější v de Rhamova kohomologie. Tam jsou třídy cohomologie reprezentovány diferenciální formy, aby E může být reprezentován (k + 1) - forma.
Projekční mapa vyvolává mapu v cohomologii volal jeho zarazit
V případě svazku vláken lze také definovat a tlačit kupředu mapa
který jedná vláknová integrace diferenciálních forem na orientovanou sféru - všimněte si, že tato mapa jde „špatnou cestou“: je to kovariantní mapa mezi objekty spojenými s kontravariantním funktorem.
Gysin dokázal, že následující je dlouhá přesná sekvence
kde je klínový produkt diferenciální formy s třídou EulerE.
Integrovaná kohomologie
Gysinová sekvence je dlouhá přesná sekvence nejen pro de Rhamova kohomologie různých forem, ale také pro kohomologie s integrálními koeficienty. V integrálním případě je třeba vyměnit klínový produkt za Eulerova třída s pohárový produkt a dopředná mapa již neodpovídá integraci.
Gysin homomorfismus v algebraické geometrii
Nechat i: X → Y být (zavřeno) pravidelné vkládání codimension d, Y' → Y morfismus a i': X' = X ×Y Y' → Y' indukovaná mapa. Nechat N být návratem normálního svazku i na X'. Pak rafinovaný gysinský homomorfismus i! označuje kompozici
kde
- σ je specializace homomorfismus; který pošle a k-dimenzionální subvarieta PROTI do normální kužel na křižovatku PROTI a X' v PROTI. Výsledek spočívá v N přes .
- Druhá mapa je (obvyklý) Gysin homomorfismus vyvolaný vložením nulového řezu .
Homomorfismus i! kóduje křižovatkový produkt v teorie průniku v tom, že jeden ukazuje nebo definuje součinový součin z X a PROTI tak jako:[1]
Příklad: Vzhledem k vektorovému svazku E, nechť s: X → E být částí E. Pak, když s je pravidelná sekce, je třída nulového lokusu s, kde [X] je základní třída z X.[2]
Viz také
Poznámky
- ^ Fulton 1998, Příklad 6.2.1 ..
- ^ Fulton 1998, Návrh 14.1. (C).
Zdroje
- Bott, Raoul; Tu, Loring (1982), Diferenciální formy v algebraické topologii, Postgraduální texty z matematiky, Springer-Verlag, ISBN 978-038790613-3
- Fulton, William (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1700-8, ISBN 978-3-540-62046-4, PAN 1644323
- Gysin, Werner (1942), „Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten“, Commentarii Mathematici Helvetici, 14: 61–122, doi:10.1007 / bf02565612, ISSN 0010-2571, PAN 0006511