Gausssova konstanta - Gausss constant - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosince 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Gaussova konstanta, označeno G, je definován jako reciproční z aritmeticko – geometrický průměr z 1 a druhá odmocnina ze 2:

${ displaystyle G = { frac {1} { operatorname {agm} left (1, { sqrt {2}} right)}} = 0,8346268 dots.}$

The konstantní je pojmenován po Carl Friedrich Gauss, který v roce 1799^[1] objevil to

${ displaystyle G = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ {1} { frac {dx} { sqrt {1-x ^ {4}}}}}$

aby

${ displaystyle G = { frac {1} {2 pi}} mathrm {B} vlevo ({ tfrac {1} {4}}, { tfrac {1} {2}} vpravo)}$

kde Β označuje funkce beta.

Vztahy k ostatním konstantám

Gaussovu konstantu lze použít k vyjádření funkce gama na argument1/4:

${ displaystyle Gamma left ({ tfrac {1} {4}} right) = { sqrt {2G { sqrt {2 pi ^ {3}}}}}}$

Alternativně,

${ displaystyle G = { frac { left [ Gamma left ({ tfrac {1} {4}} right) right] ^ {2}} {2 { sqrt {2 pi ^ {3 }}}}}}$

a od té doby π a Γ (1/4) jsou algebraicky nezávislý Gaussova konstanta je transcendentální.

Lemniscateové konstanty

Gaussova konstanta může být použita v definici konstanty lemniscate, z nichž první je:

${ displaystyle L_ {1} = pi G}$

a druhá konstanta:

${ displaystyle L_ {2} = { frac {1} {2G}}}$

které vznikají při hledání délka oblouku a lemniscate. Ukázalo se, že obě konstanty jsou transcendentální.^[2]

Jiné vzorce

Vzorec pro G ve smyslu Jacobi theta funkce darováno

${ displaystyle G = vartheta _ {01} ^ {2} vlevo (e ^ {- pi} vpravo)}$

stejně jako rychle se sbíhající série

${ displaystyle G = { sqrt [{4}] {32}} e ^ {- { frac { pi} {3}}} vlevo ( sum _ {n = - infty} ^ { infty } (- 1) ^ {n} e ^ {- 2n pi (3n + 1)} vpravo) ^ {2}.}$

Konstanta je dána také nekonečný produkt

${ displaystyle G = prod _ {m = 1} ^ { infty} tanh ^ {2} left ({ frac { pi m} {2}} right).}$

Objevuje se při hodnocení integrálů

${ displaystyle { frac {1} {G}} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { sqrt { sin (x)}} , dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { sqrt { cos (x)}} , dx}$

${ displaystyle G = int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} { sqrt { cosh ( pi x)}}}}$

Gaussova konstanta jako a pokračující zlomek je [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (sekvence A053002 v OEIS )

Viz také

• Lemniscatic eliptická funkce

Reference

• Weisstein, Eric W. „Gaussova konstanta“. MathWorld.
• Sekvence A014549 a A053002 v OEIS