Prime konstantní - Prime constant

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Prime Constant"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The primární konstanta je reálné číslo ${ displaystyle rho}$ jehož ${ displaystyle n}$th binary digit is 1 if ${ displaystyle n}$ je primární a 0 pokud n je kompozitní nebo 1.

Jinými slovy, ${ displaystyle rho}$ je prostě číslo, jehož binární expanze odpovídá funkce indikátoru sady prvočísla. To znamená,

${ displaystyle rho = součet _ {p} { frac {1} {2 ^ {p}}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi _ { mathbb {P}} (n)} {2 ^ {n}}}}$

kde ${ displaystyle p}$ označuje prvočíslo a ${ displaystyle chi _ { mathbb {P}}}$ je charakteristická funkce prvočísel.

Začátek desetinného rozšiřování ρ je: ${ displaystyle rho = 0,414682509851111660248109622 ldots}$ (sekvence A051006 v OEIS )

Začátek binární expanze je: ${ displaystyle rho = 0,011010100010100010100010000 ldots _ {2}}$ (sekvence A010051 v OEIS )

Nerozumnost

Číslo ${ displaystyle rho}$ se snadno ukáže být iracionální. Abychom pochopili proč, předpokládejme, že to bylo racionální.

Označte ${ displaystyle k}$th číslice binární expanze ${ displaystyle rho}$ podle ${ displaystyle r_ {k}}$. Pak od té doby ${ displaystyle rho}$ se předpokládá racionální, musí existovat ${ displaystyle N}$, ${ displaystyle k}$ kladná celá čísla taková${ displaystyle r_ {n} = r_ {n + ik}}$ pro všechny ${ displaystyle n> N}$ a všechno ${ displaystyle i in mathbb {N}}$.

Protože existuje nekonečný počet prvočísel, můžeme zvolit prvočíslo ${ displaystyle p> N}$. Podle definice to vidíme ${ displaystyle r_ {p} = 1}$. Jak již bylo uvedeno, máme ${ displaystyle r_ {p} = r_ {p + ik}}$ pro všechny ${ displaystyle i in mathbb {N}}$. Nyní zvažte případ ${ displaystyle i = p}$. My máme ${ displaystyle r_ {p + i cdot k} = r_ {p + p cdot k} = r_ {p (k + 1)} = 0}$, od té doby ${ displaystyle p (k + 1)}$ je složený, protože ${ displaystyle k + 1 geq 2}$. Od té doby ${ displaystyle r_ {p} neq r_ {p (k + 1)}}$ vidíme to ${ displaystyle rho}$ je iracionální.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Prime Constant“. MathWorld.