Equidistribuovaná sekvence - Equidistributed sequence
v matematika, a sekvence (s1, s2, s3, ...) ze dne reálná čísla se říká, že je ekvidistribuovánonebo rovnoměrně rozloženo, pokud je podíl členů spadajících do podintervalu úměrný délce daného podintervalu. Tyto sekvence jsou studovány v Diophantine aproximace teorie a mít aplikace Integrace Monte Carlo.
Definice
Sekvence (s1, s2, s3, ...) ze dne reálná čísla se říká, že je ekvidistribuováno na nedegenerovaném interval [A, b] pokud pro jakýkoli podinterval [C, d ] z [A, b] my máme
(Zde notace | {s1,...,sn} ∩ [C, d ] | označuje počet prvků z prvních n prvky sekvence, které jsou mezi C a d.)
Například pokud je sekvence rovnoměrně rozdělena v [0, 2], protože interval [0,5, 0,9] zabírá 1/5 délky intervalu [0, 2], jako n stane se velkým, podíl prvního n členové posloupnosti, která spadá mezi 0,5 a 0,9, se musí přiblížit 1/5. Volně řečeno, dalo by se říci, že každý člen sekvence stejně pravděpodobně spadne kamkoli v jejím dosahu. To však neznamená, že (sn) je posloupnost náhodné proměnné; je to spíše určitá posloupnost reálných čísel.
Rozpor
Definujeme rozpor DN pro sekvenci (s1, s2, s3, ...) s ohledem na interval [A, b] tak jako
Sekvence je tedy v případě rozporu ekvidistribuována DN má sklon k nule jako N inklinuje k nekonečnu.
Equidistribuce je poměrně slabým kritériem pro vyjádření skutečnosti, že posloupnost vyplňuje segment a nezanechává žádné mezery. Například kresby náhodné proměnné stejnoměrné přes segment budou v segmentu rovnoměrně rozděleny, ale ve srovnání se sekvencí, která nejprve vyjmenuje násobky ε v segmentu, u některých malých ε vhodně zvoleným způsobem, budou nejprve velké mezery ε , a pak to pokračuje pro menší a menší hodnoty ε. Silnější kritéria a konstrukce sekvencí, které jsou rovnoměrněji rozloženy, viz sekvence s nízkou odchylkou.
Riemannovo integrální kritérium pro rovnoměrné rozdělení
Připomeňme, že pokud F je funkce mít a Riemannův integrál v intervalu [A, b], pak je jeho integrál limitem Riemann součty odebráno vzorkováním funkce F v soubor bodů vybraných z jemného rozdělení intervalu. Pokud je tedy nějaká sekvence rovnoměrně rozdělena v [A, b], očekává se, že tuto posloupnost lze použít k výpočtu integrálu Riemannovy integrovatelné funkce. To vede k následujícímu kritériu[1] pro ekvidistribuovanou sekvenci:
Předpokládejme (s1, s2, s3, ...) je sekvence obsažená v intervalu [A, b]. Pak jsou ekvivalentní následující podmínky:
- Sekvence je rovnoměrně rozdělena na [A, b].
- Pro každý integrovatelný Riemann (komplexní ) funkce F : [A, b] → ℂ, platí následující limit:
Důkaz Nejprve si všimněte, že definice ekvidistribuované sekvence je kdykoli ekvivalentní s integrálním kritériem F je funkce indikátoru intervalu: Pokud F = 1[C, d], pak je levá strana podílem bodů posloupnosti spadajících do intervalu [C, d] a pravá strana je přesně To znamená 2 ⇒ 1 (protože funkce indikátorů jsou integrovatelné s Riemannem) a 1 ⇒ 2 pro F být indikátorovou funkcí intervalu. Zbývá předpokládat, že integrální kritérium platí pro indikační funkce a prokázat, že platí i pro obecné Riemannovy integrovatelné funkce.
Všimněte si, že obě strany rovnice integrálního kritéria jsou lineární v F, a proto toto kritérium platí lineární kombinace indikátorů intervalu, tj. krokové funkce.
Ukázat, že to platí pro F jako obecná Riemannova integrovatelná funkce, nejprve předpokládejme F má skutečnou hodnotu. Pak pomocí Definice Darboux integrálu, máme pro každou ε> 0 dvoustupňové funkce F1 a F2 takhle F1 ≤ F ≤ F2 a Všimněte si, že:
Odečtením vidíme, že limit superior a limit inferior z se liší maximálně ε. Protože ε je libovolné, máme existenci limitu a podle Darbouxovy definice integrálu je to správná limita.
Nakonec pro Riemannovy integrovatelné funkce s komplexními hodnotami výsledek opět vyplývá z linearity a ze skutečnosti, že každou takovou funkci lze zapsat jako F = u + vi, kde u, proti jsou skutečné a Riemannovy integrovatelné.∎
Toto kritérium vede k myšlence Integrace Monte-Carlo, kde se integrály počítají vzorkováním funkce přes posloupnost náhodných proměnných ekvidistribuovaných v intervalu.
Nelze zobecnit integrační kritérium na třídu funkcí větších než jen Riemannovy integrovatelné. Například pokud Lebesgueův integrál je považován a F je brána být v L1, pak toto kritérium selže. Jako protiklad vezměte F být funkce indikátoru nějaké ekvidistribuované sekvence. Pak je v kritériu levá strana vždy 1, zatímco pravá strana je nula, protože posloupnost je počitatelný, tak F je nula téměř všude.
Ve skutečnosti de Bruijn – Post teorém uvádí obrácení výše uvedeného kritéria: Pokud F je funkce taková, že výše uvedené kritérium platí pro jakoukoli ekvidistribuovanou sekvenci v [A, b], pak F je Riemann integrovatelný v [A, b].[2]
Equidistribution modulo 1
Sekvence (A1, A2, A3, ...) reálných čísel se říká, že je ekvidistribuované modulo 1 nebo rovnoměrně rozložené modulo 1 pokud je posloupnost dílčí části z An, označeno (An) nebo An − ⌊An⌋, je rovnoměrně rozděleno v intervalu [0, 1].
Příklady
- The věta o ekvidistribuci: Posloupnost všech násobků an iracionální α,
- 0, α, 2α, 3α, 4α, ...
- je ekvidistribuované modulo 1.[3]
- Obecněji, pokud str je polynomiální s alespoň jedním jiným koeficientem než je konstantní člen iracionální než posloupnost str(n) je rovnoměrně distribuován modulo 1.
To dokázal Weyl a jedná se o aplikaci van der Corputovy věty o rozdílech.[4]
- Protokol sekvence (n) je ne rovnoměrně rozložené modulo 1.[3] Tato skutečnost souvisí s Benfordův zákon.
- Posloupnost všech násobků iracionálního α postupným prvočísla,
- 2α, 3α, 5α, 7α, 11α, ...
- je ekvidistribuované modulo 1. Toto je slavná věta o analytická teorie čísel, publikováno I. M. Vinogradov v roce 1948.[5]
- The van der Corputova sekvence je ekvidistribuováno.[6]
Weylovo kritérium
Weylovo kritérium uvádí, že posloupnost An je ekvidistribuováno modulo 1 právě tehdy, když pro všechny nenulové celá čísla ℓ,
Kritérium je pojmenováno po a bylo poprvé formulováno, Hermann Weyl.[7] Umožňuje omezit otázky ekvidistribuce na hranici exponenciální součty, základní a obecná metoda.
Náčrt důkazu Pokud je posloupnost ekvidistribuována modulo 1, můžeme na funkci použít Riemannovo integrální kritérium (popsané výše) která má na intervalu [0, 1] integrální nulu. To dává Weylovo kritérium okamžitě. Naopak, předpokládejme, že Weylovo kritérium platí. Pak platí Riemannovo integrální kritérium pro funkce F jak je uvedeno výše, a podle linearity kritéria platí pro F být libovolný trigonometrický polynom. Podle Věta Stone-Weierstrass a argument přiblížení se vztahuje na všechny kontinuální funkce F.
Nakonec nechte F být indikátorovou funkcí intervalu. Je možné svázat F shora a zdola dvěma spojitými funkcemi na intervalu, jejichž integrály se liší libovolným ε. Argumentem podobným důkazu Riemannova integrálního kritéria je možné výsledek rozšířit na libovolné indikátor intervalu funkce F, čímž dokazuje ekvidistribuci modulo 1 dané sekvence.∎
Zobecnění
- Kvantitativní forma Weylova kritéria je dána Erdős – Turán nerovnost.
- Weylovo kritérium se přirozeně rozšiřuje na vyšší rozměry, za předpokladu přirozeného zobecnění definice ekvidistribuce modulo 1:
Sekvence protin vektorů v Rk je ekvidistribuované modulo 1 právě tehdy, když pro jakýkoli nenulový vektor ℓ ∈Zk,
Příklad použití
Weylovo kritérium lze snadno použít k prokázání věta o ekvidistribuci s tím, že posloupnost násobků 0, α, 2α, 3α, ... nějakého skutečného čísla α je ekvidistribuováno modulo 1 právě tehdy α je iracionální.[3]
Předpokládat α je iracionální a označme naši posloupnost pomocí Aj = jα (kde j začíná od 0, aby se vzorec později zjednodušil). Nechat ℓ ≠ 0 je celé číslo. Od té doby α je iracionální, .α nikdy nemůže být celé číslo, takže nikdy nemůže být 1. Použití vzorce pro součet konečných geometrické řady,
konečná vazba, na které nezávisí n. Proto po dělení n a nechat n mají sklon k nekonečnu, levá strana má sklon k nule a Weylovo kritérium je splněno.
Naopak si všimněte, že pokud α je Racionální pak tato posloupnost není ekvidistribuovaná modulo 1, protože pro zlomkovou část je pouze konečný počet možností Aj = jα.
van der Corputova věta o rozdílu
Věta o Johannes van der Corput[8] uvádí, že pokud pro každého h sekvence sn+h − sn je rovnoměrně distribuováno modulo 1, tak je sn.[9][10][11]
A sada van der Corput je sada H celých čísel tak, že pokud pro každé h v H sekvence sn+h − sn je rovnoměrně rozloženo modulo 1, pak také sn.[10][11]
Metrické věty
Metrické věty popisují chování parametrizované sekvence pro téměř všechny hodnoty některého parametru α: to znamená pro hodnoty α nelhající v nějaké výjimečné sadě Lebesgueovo opatření nula.
- Pro libovolnou sekvenci odlišných celých čísel bn, sekvence (bnα) je ekvidistribuován mod 1 pro téměř všechny hodnoty α.[12]
- Sekvence (α n) je ekvidistribuován mod 1 pro téměř všechny hodnoty α > 1.[13]
Není známo, zda sekvence (En ) nebo (π n ) jsou ekvidistribuované mod 1. Je však známo, že posloupnost (αn) je ne ekvidistribuovaný mod 1, pokud α je PV číslo.
Dobře rozdělená sekvence
Sekvence (s1, s2, s3, ...) reálných čísel se říká, že je dobře distribuované na [A, b] pokud pro jakýkoli podinterval [C, d ] z [A, b] my máme
jednotně v k. Je zřejmé, že každá dobře rozdělená sekvence je rovnoměrně rozdělena, ale obrácení neplatí. Definice dobře distribuovaného modulu 1 je analogická.
Posloupnosti ekvidistribuované s ohledem na svévolné měřítko
Pro svévolné prostor pro měření pravděpodobnosti posloupnost bodů se říká, že je rovnoměrně rozděleno s ohledem na pokud průměr bodová opatření slabě konverguje na :[14]
V každém Borel míra pravděpodobnosti na oddělitelný, měřitelný prostor, existuje ekvidistribuovaná sekvence s ohledem na míru; to bezprostředně vyplývá ze skutečnosti, že takový prostor je Standard.
Obecný jev ekvidistribuce přichází hodně pro dynamické systémy spojené s Lež skupiny, například v Margulisově řešení Oppenheimova domněnka.
Viz také
Poznámky
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006), s. 2–3
- ^ http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf Věta 8
- ^ A b C Kuipers & Niederreiter (2006), str. 8
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006), str. 27
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006), str. 129
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006), str. 127
- ^ Weyl, H. (Září 1916). „Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins“ [O distribuci čísel modulo one] (PDF). Matematika. Ann. (v němčině). 77 (3): 313–352. doi:10.1007 / BF01475864.
- ^ van der Corput, J. (1931), "Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins", Acta Mathematica, Springer Nizozemsko, 56: 373–456, doi:10.1007 / BF02545780, ISSN 0001-5962, JFM 57.0230.05, Zbl 0001.20102
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006), str. 26
- ^ A b Montgomery (1994), s. 18
- ^ A b Montgomery, Hugh L. (2001). „Harmonická analýza v analytické teorii čísel“ (PDF). V Byrnes, James S. (ed.). Harmonická analýza dvacátého století - oslava. Sborník Institutu pro pokročilé studium NATO, Il Ciocco, Itálie, 2. – 15. Července 2000. NATO Sci. Ser. II, matematika. Phys. Chem. 33. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. str. 271–293. doi:10.1007/978-94-010-0662-0_13. ISBN 978-0-7923-7169-4. Zbl 1001.11001.
- ^ Vidět Bernstein, Felix (1911), „Über eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem“, Mathematische Annalen, 71 (3): 417–439, doi:10.1007 / BF01456856.
- ^ Koksma, J. F. (1935), „Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins“, Compositio Mathematica, 2: 250–258, JFM 61.0205.01, Zbl 0012.01401
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006), s. 171
Reference
- Kuipers, L .; Niederreiter, H. (2006) [1974]. Rovnoměrné rozdělení sekvencí. Dover Publications. ISBN 0-486-45019-8.
- Kuipers, L .; Niederreiter, H. (1974). Rovnoměrné rozdělení sekvencí. John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-51045-9. Zbl 0281.10001.
- Montgomery, Hugh L. (1994). Deset přednášek o rozhraní mezi teorií analytických čísel a harmonickou analýzou. Regionální konferenční seriál z matematiky. 84. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001.
Další čtení
- Granville, Andrew; Rudnick, Zeév, eds. (2007). Equidistribuce v teorii čísel, úvod. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, 11. – 22. Července 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 237. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1121.11004.
- Tao, Terence (2012). Fourierova analýza vyššího řádu. Postgraduální studium matematiky. 142. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl 1277.11010.