Erdős – Borweinova konstanta - Erdős–Borwein constant

The Erdős – Borweinova konstanta je součet reciproční z Mersennova čísla. Je pojmenován po Paul Erdős a Peter Borwein.

Podle definice je to:

{ displaystyle E = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} -1}} přibližně 1,606695152415291763 dots}

^[1]

Ekvivalentní formy

Lze dokázat, že následující formy tvoří všechny součty stejné konstanty:

{ displaystyle E = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n ^ {2}}}} { frac {2 ^ {n} +1} {2 ^ {n} -1}}}

{ displaystyle E = sum _ {m = 1} ^ { infty} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {mn}}}}

{ displaystyle E = 1 + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} (2 ^ {n} -1)}}}

{ displaystyle E = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sigma _ {0} (n)} {2 ^ {n}}}}

kde σ₀(n) = d(n) je funkce dělitele, a multiplikativní funkce to se rovná počtu kladných dělitele čísla n. Chcete-li prokázat rovnocennost těchto částek, nezapomeňte, že všechny mají formu Lambertova řada a lze je tedy obnovit jako takové.^[2]

Nerozumnost

Erdős v roce 1948 ukázal, že konstantní E je iracionální číslo.^[3] Později Borwein poskytl alternativní důkaz.^[4]

I přes svou iracionalitu binární reprezentace Erdős – Borweinovy konstanty lze vypočítat efektivně.^[5]^[6]

Aplikace

Konstanta Erdős – Borwein přichází v průměrná analýza případů z heapsort algoritmus, kde řídí konstantní faktor v době běhu pro převod nevytříděného pole položek na hromadu.^[7]

Reference

^ (sekvence A065442 v OEIS )
^ První z těchto forem je dán vztahem Knuth (1998), např. 27, s. 157; Knuth přisuzuje transformaci této formě dílu z roku 1828 Clausen.
^ Erdős, P. (1948), "O aritmetických vlastnostech Lambertovy řady" (PDF), J. Indian Math. Soc. (N.S.), 12: 63–66, PAN 0029405.
^ Borwein, Peter B. (1992), „O iracionalitě určitých sérií“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 112 (1): 141–146, doi:10.1017 / S030500410007081X, PAN 1162938.
^ Knuth (1998) poznamenává, že výpočty konstanty lze provádět pomocí Clausenovy řady, která konverguje velmi rychle, a připisuje tuto myšlenku John Wrench.
^ Crandall, Richarde (2012), „Googolový bit Erdős – Borweinovy konstanty“, Celá čísla, 12: A23, doi:10.1515 / celá čísla-2012-0007.
^ Knuth, D. E. (1998), Umění počítačového programování, Sv. 3: Třídění a vyhledávání (2. vyd.), Reading, MA: Addison-Wesley, str. 153–155.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Erdos-Borweinova konstanta“. MathWorld.

[1] (sekvence A065442 v OEIS )

[2] První z těchto forem je dán vztahem Knuth (1998), např. 27, s. 157; Knuth přisuzuje transformaci této formě dílu z roku 1828 Clausen.

[3] Erdős, P. (1948), "O aritmetických vlastnostech Lambertovy řady" (PDF), J. Indian Math. Soc. (N.S.), 12: 63–66, PAN 0029405.

[4] Borwein, Peter B. (1992), „O iracionalitě určitých sérií“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 112 (1): 141–146, doi:10.1017 / S030500410007081X, PAN 1162938.

[5] Knuth (1998) poznamenává, že výpočty konstanty lze provádět pomocí Clausenovy řady, která konverguje velmi rychle, a připisuje tuto myšlenku John Wrench.

[6] Crandall, Richarde (2012), „Googolový bit Erdős – Borweinovy konstanty“, Celá čísla, 12: A23, doi:10.1515 / celá čísla-2012-0007.

[7] Knuth, D. E. (1998), Umění počítačového programování, Sv. 3: Třídění a vyhledávání (2. vyd.), Reading, MA: Addison-Wesley, str. 153–155.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Iracionální čísla
Chaitin ( $Ω$ ) Liouville primární ( $ρ$ ) Logaritmus 2 Gaussova ( $G$ ) Dvanáctý kořen 2 Apéryho ( $ζ (3)$ ) Plastický ( $ρ$ ) Druhá odmocnina ze 2 Poměr supergoldenů ( $ψ$ ) Erdős – Borwein ( $E$ ) Zlatý řez ( $φ$ ) Druhá odmocnina ze 3 Druhá odmocnina z 5 Poměr stříbra ( $δ S$ ) Euler ( $E$ ) Pi ( $π$ )
Schizofrenik Transcendentální Trigonometrický