Rouché – Capelliho věta - Rouché–Capelli theorem

The Rouché –Capelli teorém je věta v lineární algebra který určuje počet řešení pro soustava lineárních rovnic, vzhledem k hodnost jeho rozšířená matice a matice koeficientu. Věta je různě známá jako:

• Kronecker –Capelliho věta v Rakousko, Polsko, Rumunsko a Rusko;
• Rouché – Capelliho věta v Itálie;
• Rouché – Fontené věta v Francie;
• Rouché -Frobenius teorém v Španělsko a mnoho zemí v Latinská Amerika;
• Frobeniova věta v Česká republika a v Slovensko.

Formální prohlášení

Systém lineárních rovnic s n proměnné má řešení kdyby a jen kdyby the hodnost jeho matice koeficientu A se rovná hodnosti její rozšířené matice [A|b].^[1] Pokud existují řešení, tvoří afinní podprostor z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ dimenze n - hodnost (A). Zejména:

• -li n = pořadí (A), řešení je jedinečné,
• jinak existuje nekonečně mnoho řešení.

Příklad

Uvažujme soustavu rovnic

X + y + 2z = 3,

X + y + z = 1,

2X + 2y + 2z = 2.

Matice koeficientu je

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 end {bmatrix}},}$

a rozšířená matice je

${ displaystyle (A | B) = left [{ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 2 end {array}} right].}$

Protože oba mají stejnou hodnost, jmenovitě 2, existuje alespoň jedno řešení; a protože jejich pozice je menší než počet neznámých, přičemž druhá je 3, existuje nekonečně mnoho řešení.

Naproti tomu zvažte systém

X + y + 2z = 3,

X + y + z = 1,

2X + 2y + 2z = 5.

Matice koeficientu je

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 end {bmatrix}},}$

a rozšířená matice je

${ displaystyle (A | B) = left [{ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 5 end {array}} right].}$

V tomto příkladu má matice koeficientu pozici 2, zatímco rozšířená matice má pozici 3; takže tento systém rovnic nemá řešení. Zvýšení počtu lineárně nezávislých sloupců skutečně vytvořilo systém rovnic nekonzistentní.

Viz také

• Cramerovo pravidlo
• Gaussova eliminace

Reference

• A. Carpinteri (1997). Strukturální mechanika. Taylor a Francis. p. 74. ISBN  0-419-19160-7.

externí odkazy

• Kroneckerova-Capelliho věta v Wikibooks
• Kronecker-Capelliho věta - youtube video s důkazem
• Kronecker-Capelliho věta v Encyklopedie matematiky