Transformace aluthge - Aluthge transform

V matematice a přesněji v funkční analýza, Transformace aluthge je operace definovaná na množině omezené operátory a Hilbertův prostor. To bylo představeno Ariyadasa Aluthge studovat p-hyponormální lineární operátory.^[1]

Definice

Nechat ${ displaystyle H}$ být Hilbertův prostor a nechte ${ displaystyle B (H)}$ být algebra lineárních operátorů z ${ displaystyle H}$ na ${ displaystyle H}$. Podle polární rozklad věta, existuje jedinečná parciální izometrie ${ displaystyle U}$ takhle ${ displaystyle T = U | T |}$ a ${ displaystyle ker (U) supset ker (T)}$, kde ${ displaystyle | T |}$ je druhá odmocnina operátora ${ displaystyle T ^ {*} T}$. Li ${ displaystyle T v B (H)}$ a ${ displaystyle T = U | T |}$ je jeho polární rozklad, transformace Aluthge ${ displaystyle T}$ je provozovatel ${ displaystyle Delta (T)}$ definováno jako:

${ displaystyle Delta (T) = | T | ^ { frac {1} {2}} U | T | ^ { frac {1} {2}}.}$

Obecněji pro jakékoli reálné číslo ${ displaystyle lambda v [0,1]}$, ${ displaystyle lambda}$-Transformace zákona je definována jako

${ displaystyle Delta _ { lambda} (T): = | T | ^ { lambda} U | T | ^ {1- lambda} v B (H).}$

Příklad

Pro vektory ${ displaystyle x, y v H}$, nechť ${ displaystyle x mnohokrát}$ označuje operátora definovaného jako

${ displaystyle forall z in H quad x ot y y (z) = langle z, y rangle x.}$

Elementární výpočet^[2] ukazuje, že pokud ${ displaystyle y neq 0}$, pak ${ displaystyle Delta _ { lambda} (x otimes y) = Delta (x otimes y) = { frac { langle x, y rangle} { lVert y rVert ^ {2}}} y otimes y.}$

Poznámky

Reference

• Antezana, Jorge; Pujals, Enrique R .; Stojanoff, Demetrio (2008). „Transformace Iterated Aluthge: krátký průzkum“. Revista de la Unión Matemática Argentina. 49: 29–41.

externí odkazy

• Ariyadasa Aluthge na Matematický genealogický projekt