Fugledova věta - Fugledes theorem - Wikipedia

v matematika, Fugledova věta je výsledkem v teorie operátorů, pojmenoval podle Bent Fuglede.

Výsledek

Věta (Fuglede) Nechat T a N být omezeni operátory na komplexním Hilbertově prostoru s N bytost normální. Li TN = NT, pak TN * = N * T, kde N * označuje adjoint z N.

Normálnost N je nutné, jak je vidět z užívání T=N. Když T je self-adjoint, nárok je triviální bez ohledu na to, zda N je normální:

${ displaystyle TN ^ {*} = (NT) ^ {*} = (TN) ^ {*} = N ^ {*} T. ,}$

Předběžný důkaz: Pokud je podkladový Hilbertův prostor konečně-dimenzionální, pak spektrální věta říká to N je ve formě

${ displaystyle N = součet _ {i} lambda _ {i} P_ {i} ,}$

kde P_i jsou párové ortogonální projekce. Jeden to očekává TN = NT kdyby a jen kdyby TP_i = P_iT.Skutečnost lze prokázat pomocí elementárních argumentů (např. Lze ukázat, že vše P_i jsou reprezentovatelné jako polynomy z N az tohoto důvodu, pokud T dojíždí s N, musí dojíždět s P_i...). Proto T musí také dojíždět s

${ displaystyle N ^ {*} = součet _ {i} {{ bar { lambda}} _ {i}} P_ {i}.}$

Obecně platí, že když Hilbertův prostor není konečně-dimenzionální, normální operátor N dává vzniknout a míra projekce P na jeho spektru, σ(N), který přiřadí projekci P_Ω ke každé podmnožině Borela σ(N). N lze vyjádřit jako

${ displaystyle N = int _ { sigma (N)} lambda dP ( lambda). ,}$

Na rozdíl od konečného dimenzionálního případu to není v žádném případě zřejmé TN = NT naznačuje TP_Ω = P_ΩT. Není to tedy tak zřejmé T dojíždí také s jakoukoli jednoduchou funkcí formuláře

${ displaystyle rho = součet _ {i} { bar { lambda}} P _ { Omega _ {i}}.}$

Ve skutečnosti po konstrukci spektrálního rozkladu pro omezeného, ​​normálního, nikoli samoadjungujícího operátora T, jeden to vidí, aby to ověřil Tdojíždí s ${ displaystyle P _ { Omega _ {i}}}$nejpřímějším způsobem je to předpokládat T dojíždí s oběma N a N *, což vede k začarovanému kruhu!

To je důležitost Fugledovy věty: Druhá hypotéza není ve skutečnosti nutná.

Putnamovo zobecnění

Následující text obsahuje Fugledův výsledek jako speciální případ. Důkaz Rosenblum, který je zobrazen níže, je právě ten, který předložil Fuglede pro svou větu, když předpokládal N = M.

Věta (Calvin Richard Putnam) Nechat T, M, N být lineární operátory na komplexu Hilbertův prostor a předpokládejme to M a N jsou normální, M je ohraničený a MT = TN. Pak M*T = TN*.

První důkaz (Marvin Rosenblum): Indukcí to naznačuje hypotéza M^kT = TN^k pro všechny k. Tedy pro libovolné λ v ${ displaystyle mathbb {C}}$,

${ displaystyle e ^ {{ bar { lambda}} M} T = Te ^ {{ bar { lambda}} N}.}$

Zvažte funkci

${ displaystyle F ( lambda) = e ^ { lambda M ^ {*}} Te ^ {- lambda N ^ {*}}.}$

To se rovná

${ displaystyle e ^ { lambda M ^ {*}} vlevo [e ^ {- { bar { lambda}} M} Te ^ {{ bar { lambda}} N} vpravo] e ^ { - lambda N ^ {*}} = U ( lambda) TV ( lambda) ^ {- 1}}$,

kde ${ displaystyle U ( lambda) = e ^ { lambda M ^ {*} - { bar { lambda}} M}}$ protože ${ displaystyle M}$ je normální a podobně ${ displaystyle V ( lambda) = e ^ { lambda N ^ {*} - { bar { lambda}} N}}$. Nicméně máme

${ displaystyle U ( lambda) ^ {*} = e ^ {{ bar { lambda}} M- lambda M ^ {*}} = U ( lambda) ^ {- 1}}$

takže U je jednotné, a proto má normu 1 pro všechna λ; totéž platí pro PROTI(λ), tak

${ displaystyle | F ( lambda) | leq | T | forall lambda.}$

Tak F je omezená analytická funkce s vektorovou hodnotou, a je tedy konstantní a rovná se F(0) = T. Vzhledem k podmínkám prvního řádu v expanzi pro malé λ musíme mít M * T = TN *.

Originální papír Fuglede se objevil v roce 1950; byl rozšířen do výše uvedené formy Putnamem v roce 1951. Krátký výše uvedený důkaz poprvé publikoval Rosenblum v roce 1958; je velmi elegantní, ale je méně obecný než původní důkaz, který také zvažoval případ neomezených operátorů. Další jednoduchý důkaz Putnamovy věty je následující:

Druhý důkaz: Zvažte matice

${ displaystyle T '= { begin {bmatrix} 0 & 0 T & 0 end {bmatrix}} quad { mbox {and}} quad N' = { begin {bmatrix} N & 0 0 & M end {bmatrix }}.}$

Operátor N ' je normální a podle předpokladu T 'N' = N 'T' . Podle Fugledovy věty jeden má

${ displaystyle T '(N') ^ {*} = (N ') ^ {*} T'. ,}$

Porovnáním položek pak získáte požadovaný výsledek.

Z Putnamova zevšeobecnění lze odvodit následující:

Důsledek Pokud dva normální operátoři M a N jsou podobné, pak jsou jednotně ekvivalentní.

Důkaz: Předpokládejme MS = SN kde S je omezený invertibilní operátor. Z Putnamova výsledku vyplývá SLEČNA = SN *, tj.

${ displaystyle S ^ {- 1} M ^ {*} S = N ^ {*}. ,}$

Vezměte adjoint výše uvedené rovnice a máme

${ displaystyle S ^ {*} M (S ^ {- 1}) ^ {*} = N. ,}$

Tak

${ displaystyle S ^ {*} M (S ^ {- 1}) ^ {*} = S ^ {- 1} MS quad Rightarrow quad SS ^ {*} M (SS ^ {*}) ^ { -1} = M.}$

Nechat S * = VR, s PROTI unitární (od S je invertibilní) a R kladná druhá odmocnina z SS *. Tak jako R je limit polynomů na SS *, z toho vyplývá, že R dojíždí s M. Je také invertibilní. Pak

${ displaystyle N = S ^ {*} M (S ^ {*}) ^ {- 1} = VRMR ^ {- 1} V ^ {*} = VMV ^ {*}.}$

Důsledek Li M a N jsou normální operátoři a MN = NM, pak MN je také normální.

Důkaz: Argument vyvolává pouze Fugledovu větu. Jeden může přímo počítat

${ displaystyle (MN) (MN) ^ {*} = MN (NM) ^ {*} = MNM ^ {*} N ^ {*}. ,}$

Fuglede, výše se stává

${ displaystyle = MM ^ {*} NN ^ {*} = M ^ {*} MN ^ {*} N. ,}$

Ale M a N jsou normální, takže

${ displaystyle = M ^ {*} N ^ {*} MN = (MN) ^ {*} MN. ,}$

C*-algebry

Věta může být přeformulována jako tvrzení o prvcích C * -algebry.

Věta (Fuglede-Putnam-Rosenblum) Nechat x, y být dva normální prvky a C*-algebra A az takhle xz = zy. Potom z toho vyplývá x * z = z y *.

Reference

• Fuglede, Bent. Věta o komutativitě pro normální operátory - PNAS
• Berberian, Sterling K. (1974), Přednášky z funkční analýzy a teorie operátora, Postgraduální texty z matematiky, 15, New York-Heidelberg-Berlín: Springer-Verlag, s. 274, ISBN  0-387-90080-2, PAN  0417727.
• Rudin, Walter (1973). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 25 (První vydání). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN  9780070542259.