Subnormální operátor - Subnormal operator

v matematika, zvláště teorie operátorů, podnormální operátoři jsou omezené operátory na Hilbertův prostor definováno oslabením požadavků na normální operátoři. ^[1] Některé příklady subnormálních operátorů jsou izometrie a Operátoři Toeplitz s analytickými symboly.

Definice

Nechat H být Hilbertovým prostorem. Omezený operátor A na H se říká, že je podnormální -li A má normální rozšíření. Jinými slovy, A je podnormální, pokud existuje Hilbertův prostor K. takhle H lze vložit do K. a existuje normální operátor N formuláře

${displaystyle N = {egin {bmatrix} A&B 0 & Cend {bmatrix}}}$

pro některé omezené operátory

${displaystyle B: H ^ {perp} ightarrow H, quad {mbox {and}} quad C: H ^ {perp} ightarrow H ^ {perp}.}$

Normálnost, kvazinormálnost a podnormalita

Normální operátoři

Každý normální operátor je podle definice subnormální, ale konverzace obecně není pravdivá. Jednoduchou třídu příkladů lze získat oslabením vlastností nečleněné operátory. Unitární operátor je izometrie s hustý rozsah. Zvažte nyní izometrii A jehož rozsah nemusí být nutně hustý. Konkrétním příkladem je jednostranný posun, což není normální. Ale A je podnormální a lze to explicitně zobrazit. Definujte operátora U na

${displaystyle Hoplus H}$

podle

${displaystyle U = {egin {bmatrix} A & I-AA ^ {*} 0 & -A ^ {*} end {bmatrix}}.}$

To ukazuje přímý výpočet U je unitární, proto normální rozšíření A. Operátor U se nazývá unitární dilatace izometrie A.

Kvazinormální operátoři

Provozovatel A se říká, že je kvazinormální -li A dojíždí s A * A.^[2] Normální operátor je tedy kvazinormální; obráceně není pravda. Příklad počítadla je uveden, jak je uvedeno výše, jednostranným posunem. Proto je rodina normálních operátorů řádnou podmnožinou kvazinormálních i subnormálních operátorů. Přirozenou otázkou je, jak jsou spojeny kvazinormální a subnormální operátory.

Ukážeme, že kvazinormální operátor je nutně subnormální, ale ne naopak. Normální operátoři jsou tedy vlastní podrodinou kvazinormálních operátorů, které jsou zase obsaženy v subnormálních operátorech. Chcete-li argumentovat tvrzením, že kvazinormální operátor je podnormální, připomeňte si následující vlastnost kvazinormálních operátorů:

Skutečnost: Omezený operátor A je kvazinormální, právě když je ve svém polární rozklad A = NAHORU, částečná izometrie U a pozitivní operátor P dojíždět.^[3]

Vzhledem k tomu, kvazinormální A, myšlenka je postavit dilatace pro U a P dostatečně pěkným způsobem, takže vše dojíždí. Předpokládejme, že v tuto chvíli U je izometrie. Nechat PROTI být jednotná dilatace U,

${displaystyle V = {egin {bmatrix} U & I-UU ^ {*} 0 & -U ^ {*} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} U & D_ {U ^ {*}} 0 & -U ^ {* } konec {bmatrix}}.}$

Definovat

${displaystyle Q = {egin {bmatrix} P & 0 0 & Pend {bmatrix}}.}$

Operátor N = VQ je jednoznačně rozšířením A. Ukážeme, že se jedná o normální rozšíření pomocí přímého výpočtu. Jednotnost PROTI prostředek

${displaystyle N ^ {*} N = QV ^ {*} VQ = Q ^ {2} = {egin {bmatrix} P ^ {2} & 0 0 & P ^ {2} end {bmatrix}}.}$

Na druhou stranu,

${displaystyle NN ^ {*} = {egin {bmatrix} UP ^ {2} U ^ {*} + D_ {U ^ {*}} P ^ {2} D_ {U ^ {*}} & - D_ {U ^ {*}} P ^ {2} U -U ^ {*} P ^ {2} D_ {U ^ {*}} a U ^ {*} P ^ {2} Uend {bmatrix}}.}$

Protože UP = PU a P je sebe adjoint, máme U * P = PU * a D_{U *}P = D_{U *}P. Poté se zobrazí porovnání položek N je normální. To dokazuje, že kvazinormálnost znamená subnormalitu.

U příkladu čítače, který ukazuje, že konverzace není pravdivá, zvažte opět jednostranný posun A. Operátor B = A + s pro některé skalární s zůstává podnormální. Ale pokud B je kvazinormální, přímý výpočet to ukazuje A * A = AA *, což je rozpor.

Minimální normální prodloužení

Nejedinečnost běžných rozšíření

Daný podnormální operátor A, jeho normální rozšíření B není jedinečný. Například pojďme A být jednostranný posun, dál l²(N). Normálním rozšířením je bilaterální posun B na l²(Z) definován

${displaystyle B (cdots, a _ {- 1}, {{hat {a}} _ {0}}, a_ {1}, cdots) = (cdots, {{hat {a}} _ {- 1}}, a_ {0}, a_ {1}, cdots),}$

kde Ë † označuje nultou pozici. B lze vyjádřit pomocí matice operátora

${displaystyle B = {egin {bmatrix} A & I-AA ^ {*} 0 & A ^ {*} end {bmatrix}}.}$

Další normální rozšíření je dáno jednotnou dilatací B ' z A definováno výše:

${displaystyle B '= {egin {bmatrix} A & I-AA ^ {*} 0 & -A ^ {*} end {bmatrix}}}$

jehož činnost popisuje

${displaystyle B '(cdots, a _ {- 2}, a _ {- 1}, {{hat {a}} _ {0}}, a_ {1}, a_ {2}, cdots) = (cdots, -a_ {-2}, {{hat {a}} _ {- 1}}, a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, cdots).}$

Minimalita

Jeden se tedy zajímá o normální rozšíření, které je v určitém smyslu nejmenší. Přesněji řečeno, normální operátor B působící na Hilbertově prostoru K. se říká, že je minimální prodloužení podnormální A -li K ' ⊂ K. je zmenšující podprostor o B a H ⊂ K ' , pak K ' = K.. (Subprostor je zmenšující podprostor o B pokud je invariantní pod oběma B a B *.)^[4]

Jeden může ukázat, že pokud dva operátoři B₁ a B₂ jsou minimální rozšíření na K.₁ a K.₂, v tomto pořadí, pak existuje jednotný operátor

${displaystyle U: K_ {1} ightarrow K_ {2}.}$

Platí také následující prolínání:

${displaystyle UB_ {1} = B_ {2} U.,}$

To lze ukázat konstruktivně. Zvažte sadu S skládající se z vektorů následující formy:

${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} (B_ {1} ^ {*}) ^ {i} h_ {i} = h_ {0} + B_ {1} ^ {*} h_ {1} + (B_ {1} ^ {*}) ^ {2} h_ {2} + cdots + (B_ {1} ^ {*}) ^ {n} h_ {n} quad {mbox {where}} quad h_ {i } v H.}$

Nechat K ' ⊂ K.₁ být podprostor, který je uzavřením lineárního rozpětí S. Podle definice, K ' je neměnný pod B₁* a obsahuje H. Normálnost B₁ a předpoklad, že H je neměnný pod B₁ naznačit K ' je neměnný pod B₁. Proto, K ' = K.₁. Hilbertův prostor K.₂ lze identifikovat přesně stejným způsobem. Nyní definujeme operátor U jak následuje:

${displaystyle Usum _ {i = 0} ^ {n} (B_ {1} ^ {*}) ^ {i} h_ {i} = součet _ {i = 0} ^ {n} (B_ {2} ^ { *}) ^ {i} h_ {i}}$

Protože

${displaystyle langle sum _ {i = 0} ^ {n} (B_ {1} ^ {*}) ^ {i} h_ {i}, sum _ {j = 0} ^ {n} (B_ {1} ^ {*}) ^ {j} h_ {j} úhel = součet _ {ij} jazyk h_ {i}, (B_ {1}) ^ {i} (B_ {1} ^ {*}) ^ {j} h_ {j} angle = sum _ {ij} langle (B_ {2}) ^ {j} h_ {i}, (B_ {2}) ^ {i} h_ {j} angle = langle sum _ {i = 0} ^ {n} (B_ {2} ^ {*}) ^ {i} h_ {i}, součet _ {j = 0} ^ {n} (B_ {2} ^ {*}) ^ {j} h_ { j} úhel,}$

, operátor U je unitární. Přímý výpočet také ukazuje (předpoklad, že oba B₁ a B₂ jsou rozšíření A jsou zde potřeba)

${displaystyle {mbox {if}} quad g = suma _ {i = 0} ^ {n} (B_ {1} ^ {*}) ^ {i} h_ {i},}$

${displaystyle {mbox {then}} čtyřkolka UB_ {1} g = B_ {2} Ug = součet _ {i = 0} ^ {n} (B_ {2} ^ {*}) ^ {i} Ah_ {i} .}$

Když B₁ a B₂ nepředpokládá se, že jsou minimální, stejný výpočet ukazuje, že výše uvedený nárok je doslovně s U být parciální izometrie.

Reference