Kvazinormální operátor - Quasinormal operator

v teorie operátorů, kvazinormální operátoři je třída omezené operátory definováno oslabením požadavků a normální operátor.

Každý kvazinormální operátor je a podnormální operátor. Každý kvazinormální operátor na konečně-dimenzionální Hilbertův prostor je normální.

Definice a některé vlastnosti

Definice

Nechat A být omezeným operátorem v Hilbertově prostoru H, pak A se říká, že je kvazinormální -li A dojíždí s A * A, tj.

${ displaystyle A (A ^ {*} A) = (A ^ {*} A) A. ,}$

Vlastnosti

Normální operátor je nutně kvazinormální.

Nechat A = NAHORU být polární rozklad z A. Li A je tedy kvazinormální UP = PU. Chcete-li to vidět, všimněte si toho pozitivního faktoru P v polárním rozkladu má formu (A * A)^​1⁄₂, jedinečná kladná druhá odmocnina A * A. Kvazinormálnost znamená A dojíždí s A * A. V důsledku spojitý funkční počet pro vlastní adjoint operátoři, A dojíždí s P = (A * A)^​1⁄₂ také, tj.

${ displaystyle UPP = ŠTĚNĚ. ,}$

Tak UP = PU na rozsah P. Na druhou stranu, pokud h ∈ H leží v jádře P, jasně UP h = 0. Ale PU h = 0 také. protože U je parciální izometrie jehož počátečním prostorem je uzavření rozsahu P. A konečně, self-adjointness of P to naznačuje H je přímý součet jeho rozsahu a jádra. Uvedený argument tedy dokazuje NAHORU = PU na všech H.

Na druhou stranu lze snadno ověřit, že pokud NAHORU = PU, pak A musí být kvazinormální. Tedy provozovatel A je kvazinormální právě tehdy NAHORU = PU.

Když H je konečný dimenzionální, každý kvazinormální operátor A je normální. Je to proto, že v případě konečných rozměrů je parciální izometrie U v polárním rozkladu A = NAHORU lze považovat za unitární. To pak dává

${ displaystyle A ^ {*} A = (UP) ^ {*} UP = PU (PU) ^ {*} = AA ^ {*}. ,}$

Obecně nemusí být částečná izometrie rozšířitelná na unitární operátor, a proto nemusí být kvazinormální operátor normální. Zvažte například jednostranný posun T. T je kvazinormální, protože T * T je operátor identity. Ale T zjevně není normální.

Kvazinormální invariantní podprostory

Není známo, že obecně jde o omezeného operátora A v Hilbertově prostoru H má netriviální invariantní podprostor. Kdy však A je normální, kladná odpověď je dána spektrální věta. Každý normální operátor A se získá integrací funkce identity s ohledem na spektrální míru E = {E_B} na spektru A, σ(A):

${ displaystyle A = int _ { sigma (A)} lambda dE ( lambda). ,}$

Pro jakoukoli sadu Borel B ⊂ σ(A), projekce E_B dojíždí s A a tedy rozsah E_B je neměnný podprostor o A.

Výše uvedené lze rozšířit přímo na kvazinormální operátory. Říct A dojíždí s A * A je to říci A dojíždí s (A * A)^​1⁄₂. Ale to z toho vyplývá A dojíždí s jakoukoli projekcí E_B ve spektrální míře (A * A)^​1⁄₂, což dokazuje invariantní podprostorový nárok. Ve skutečnosti lze uzavřít něco silnějšího. Rozsah E_B je ve skutečnosti zmenšovat podprostor z A, tj. jeho ortogonální doplněk je také neměnný pod A.

Reference

• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982.