Sdružený prime - Associated prime

v abstraktní algebra, an sdružený prime a modul M přes prsten R je typ hlavní ideál z R který vzniká jako zničit (prime) submodulu M. Sada přidružených prvočísel je obvykle označena ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (M),}$ a někdy se tomu říkalo vrah nebo atentátník z $M$ (slovní hra mezi notací a skutečností, že přidružený prime je zničit).^[1]

v komutativní algebra, související prvočísla jsou spojena s Lasker – Noetherův primární rozklad ideálů komutativní Noetherian prsteny. Konkrétně, pokud je ideální J je rozložen jako konečný průnik primární ideály, radikály těchto primárních ideálů je hlavní ideály a tato sada hlavních ideálů se shoduje s ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (R / J).}$ ^[2] S pojmem „sdružených prvočísel“ ideálu souvisí také pojmy izolované prvočísla a vložené prvočísla.

Definice

Nenulový R modul N se nazývá a hlavní modul pokud je to ničitel ${ displaystyle mathrm {Ann} _ {R} (N) = mathrm {Ann} _ {R} (N ') ,}$ pro jakýkoli nenulový submodul N ' z N. Pro hlavní modul N, ${ displaystyle mathrm {Ann} _ {R} (N) ,}$ je hlavním ideálem v R.^[3]

An sdružený prime z R modul M je ideál formy ${ displaystyle mathrm {Ann} _ {R} (N) ,}$ kde N je hlavním submodulem M. V komutativní algebře je obvyklá definice jiná, ale ekvivalentní:^[4] -li R je komutativní, sdružená prime P z M je prvotřídním ideálem formy ${ displaystyle mathrm {Ann} _ {R} (m) ,}$ pro nenulový prvek m z M nebo ekvivalentně ${ displaystyle R / P}$ je izomorfní se submodulem M.

V komutativním kruhu R, minimální prvky v ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (M)}$ (s ohledem na set-teoretickou inkluzi) se nazývají izolované prvočísla zatímco zbytek přidružených prvočísel (tj. těch, která správně obsahují přidružená prvočísla) se volá vložené prvočísla.

Je volán modul hlavní -li xm = 0 pro nenulovou hodnotu m ∈ M naznačuje XⁿM = 0 pro kladné celé číslo n. Nenulový konečně vygenerovaný modul M přes komutativní Noetherian ring je primární, právě když má právě jeden přidružený primární. Submodul N z M je nazýván P-primární pokud ${ displaystyle M / N}$ je primární s P. Ideál Já je P-primární ideál kdyby a jen kdyby ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (R / I) = {P }}$ ; pojem je tedy zobecněním primárního ideálu.

Vlastnosti

Většina z těchto vlastností a tvrzení je uvedena v (Lam 2001 ) počínaje stranou 86.

Li M ' ⊆M, pak ${ displaystyle mathrm {Ass} _ {R} (M ') subseteq mathrm {Ass} _ {R} (M).}$ Pokud navíc M ' je základní submodul z M, jejich související prvočísla se shodují.
Je možné, dokonce i pro komutativní místní kruh, že množina přidružených prvočísel a konečně generovaný modul je prázdný. Avšak v každém prstenu splňujícím vzestupný stav řetězu na ideálech (například jakýkoli pravý nebo levý noetherský kruh) má každý nenulový modul alespoň jedno přidružené prvočíslo.
Žádný jednotný modul má buď nulu, nebo jedno přidružené prvočíslo, takže jednotné moduly jsou příkladem základních modulů.
Pro jednostranný noetherovský prsten existuje surjekce ze souboru tříd izomorfismu nerozložitelných injektivní moduly na spektrum ${ displaystyle mathrm {specifikace} (R).}$ Li R je Artinian prsten, pak se z této mapy stane bijekce.
Matlisova věta: Pro komutativní netherianský prsten R, mapa z tříd izomorfismu nerozložitelných injektážních modulů do spektra je bijekce. Kromě toho je úplná sada zástupců pro tyto třídy dána ${ displaystyle E (R / { mathfrak {p}}) ,}$ kde ${ displaystyle E (-) ,}$ označuje injekční trup a ${ displaystyle { mathfrak {p}} ,}$ se pohybuje nad hlavními ideály R.
Pro Noetherian modul M nad jakýmkoli prstencem je jen konečně mnoho přidružených prvočísel M.

Pokud jde o komutativní noetherovské prsteny, viz také Primární rozklad # Primární rozklad z přidružených prvočísel.

Příklady

Li ${ displaystyle R = mathbb {C} [x, y, z, w]}$ související hlavní ideály ${ displaystyle I = ((x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2}) cdot (z ^ {3} -w ^ {3} -3x ^ {3 }))}$ jsou ideály ${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2})}$ a ${ displaystyle (z ^ {3} -w ^ {3} -3x ^ {3}).}$
Li R je kruh celých čísel, pak netriviální bezplatné abelianské skupiny a netriviální abelianské skupiny nejvyššího řádu jsou primární.
Li R je kruh celých čísel a M konečná abelianská skupina, pak související prvočísla M jsou přesně prvočísla dělící pořadí M.
Skupina řádu 2 je kvocient celých čísel Z (považován za volný modul nad sebou), ale jeho přidružený primární ideál (2) není přidruženým hlavním Z.

Poznámky

^ Picavet, Gabriel (1985). "Propriétés et applications de la notion de contenu". Komunikace v algebře. 13 (10): 2231–2265.
^ Lam 1999, str. 117, Ex 40B.
^ Lam 1999, str. 85.
^ Lam 1999, str. 86.

Reference

Bourbaki, Algèbre komutativní
Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, PAN 1322960
Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, PAN 1653294
Matsumura, Hidejuki (1970), Komutativní algebra

[1] Picavet, Gabriel (1985). "Propriétés et applications de la notion de contenu". Komunikace v algebře. 13 (10): 2231–2265.

[FOOTNOTELam1999117Ex_40B-2] Lam 1999, str. 117, Ex 40B.

[FOOTNOTELam199985-3] Lam 1999, str. 85.

[FOOTNOTELam199986-4] Lam 1999, str. 86.

[1]

[2]

[3]

[4]