Celkový počet zlomků - Total ring of fractions

v abstraktní algebra, celkový kvocient kvocientu,^[1] nebo celkový kruh zlomků,^[2] je konstrukce, která zobecňuje pojem pole zlomků z integrální doména na komutativní prsteny R to může mít nulové dělitele. Vložení konstrukce R ve větším kruhu, což dává každému nenulovému děliteli R inverzní ve větším kruhu. Pokud je homomorfismus z R nový prsten má být injektivní, inverzní nemohou být žádné další prvky.

Definice

Nechat ${displaystyle R}$ být komutativní prsten a nechat ${displaystyle S}$ být množina prvků, které nejsou nulovými děliteli ${displaystyle R}$; pak ${displaystyle S}$ je multiplikativně uzavřená množina. Proto můžeme lokalizovat prsten ${displaystyle R}$ na scéně ${displaystyle S}$ získat celkový kvocient kvocientu ${displaystyle S ^ {- 1} R = Q (R)}$.

Li ${displaystyle R}$ je doména, pak ${displaystyle S = R- {0}}$ a celkový kvocient kvocientu je stejný jako pole zlomků. To ospravedlňuje notaci ${displaystyle Q (R)}$, který se někdy používá i pro pole zlomků, protože v případě domény neexistuje dvojznačnost.

Od té doby ${displaystyle S}$ v konstrukci neobsahuje žádné nulové dělitele, přirozenou mapu ${displaystyle R o Q (R)}$ je injekční, takže celkový kvocientový kroužek je prodloužením ${displaystyle R}$.

Příklady

Celkový kvocient kvocientu ${displaystyle Q (A imes B)}$ produktového kruhu je produktem celkových kvocientových kruhů ${displaystyle Q (A) imes Q (B)}$. Zejména pokud A a B jsou integrální domény, je to součin polí kvocientu.

Celkový kvocient kružnice kruhu holomorfní funkce na otevřené soupravě D komplexních čísel je kruh meromorfní funkce na D, i kdyby D není připojen.

V Artinian prsten, všechny prvky jsou jednotky nebo nulové dělitele. Sada nenulových dělitelů je tedy skupina jednotek kruhu, ${displaystyle R ^ {imes}}$a tak ${displaystyle Q (R) = (R ^ {imes}) ^ {- 1} R}$. Ale protože všechny tyto prvky již mají inverze, ${displaystyle Q (R) = R}$.

Totéž se děje v komutativu von Neumann pravidelný prsten R. Předpokládat A v R není nulovým dělitelem. Pak v von Neumannově pravidelném kruhu A = axa pro některé X v R, dává rovnici A(xa - 1) = 0. Od té doby A není nulovým dělitelem, xa = 1, zobrazeno A je jednotka. Zde opět, ${displaystyle Q (R) = R}$.

• v algebraická geometrie jeden zvažuje a snop celkových kvocientů kvocientu na a systém, a toto lze použít k poskytnutí jedné možné definice a Cartier dělitel.

Celkový kruh zlomků redukovaného kruhu

Je zde důležitý fakt:

Důkaz: Každý prvek z Q(A) je buď jednotka nebo nula. Tedy jakýkoli vhodný ideál Já z Q(A) se musí skládat z nulových členů. Vzhledem k tomu, sada nulovacích činitelů Q(A) je spojení minimálních ideálů ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ tak jako Q(A) je snížena tím, že hlavní vyhýbání se, Já musí být obsaženy v některých ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$. Proto jsou ideály ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ jsou maximální ideály Q(A), jehož průsečík je nulový. Tím, že Čínská věta o zbytku aplikován na Q(A), my máme:

${displaystyle Q (A) simeq prod _ {i} Q (A) / {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$.

Konečně, ${displaystyle Q (A) / {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ je zbytkové pole z ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i}}$. Opravdu, psaní S pro multiplikativně uzavřenou množinu nenulových jednotek přesností lokalizace,

${displaystyle Q (A) / {mathfrak {p}} _ {i} Q (A) = A [S ^ {- 1}] / {mathfrak {p}} _ {i} A [S ^ {- 1} ] = (A / {mathfrak {p}} _ {i}) [S ^ {- 1}]}$,

což je již pole a tak to musí být ${displaystyle Q (A / {mathfrak {p}} _ {i})}$. ${squarestyle square}$

Zobecnění

Li ${displaystyle R}$ je komutativní prsten a ${displaystyle S}$ je jakýkoli multiplikativní podmnožina v ${displaystyle R}$, lokalizace ${displaystyle S ^ {- 1} R}$ stále lze konstruovat, ale prstenový homomorfismus z ${displaystyle R}$ na ${displaystyle S ^ {- 1} R}$ nemusí být injektivní. Například pokud ${displaystyle 0in S}$, pak ${displaystyle S ^ {- 1} R}$ je triviální prsten.

Poznámky

Reference

• Hideyuki Matsumura, Komutativní algebra, 1980
• Hideyuki Matsumura, Komutativní prstencová teorie, 1989