Henselianův prsten - Henselian ring

V matematice, a Henselianův prsten (nebo Henselův prsten) je místní prsten ve kterém Henselův lemma drží. Byli představeni Azumaya (1951), který je pojmenoval Kurt Hensel. Azumaya původně umožňoval, aby byly Henselianovy prsteny nekomutativní, ale většina autorů je nyní omezuje na komutativní.

Některé standardní reference pro Henselovy prsteny jsou (Nagata 1962, Kapitola VII), (Raynaud 1970 ), a (Grothendieck 1967, Kapitola 18).

Definice

V tomto článku se předpokládá, že prstence budou komutativní, ačkoli existuje také teorie nekomutativních Henselianových prstenů.

Místní prsten R s maximální ideál m je nazýván Henselian pokud platí Henselovo lema. To znamená, že pokud P je monický polynom v R[X], pak jakákoli faktorizace jeho obrazu P v (R/m)[X] do produktu coprime monických polynomů lze pozvednout na faktorizaci v R[X].

Místní prsten je Henselian právě tehdy, je-li každé prodloužení konečného prstence výsledkem místních prstenů.

Henselianský místní kruh se nazývá přísně Henselian Pokud je to zbytkové pole je oddělitelně uzavřeno.

Pole s ocenění se říká, že je Henselian, pokud je jeho oceňovací kruh Henselian.

Prsten se nazývá Henselian, pokud je přímým produktem konečného počtu henselianských místních prstenů.

Henselianovy prstence v algebraické geometrii

Henselian prsteny jsou místní prsteny "bodů" s ohledem na Nisnevichova topologie, takže spektra těchto prstenců nepřipouštějí netriviální spojené krytiny s ohledem na Nisnevichovu topologii. Podobně přísné Henselianovy prstence jsou lokální prstence geometrických bodů v topologie étale.

Henselizace

Pro jakýkoli místní prsten A existuje univerzální Henselianův prsten B generováno uživatelem A, nazvaný Henselizace z A, představil Nagata (1953), takže jakýkoli místní homomorfismus z A na Henselianův prsten lze jedinečně rozšířit na B. Henselizace A je jedinečný až po jedinečný izomorfismus. Henselizace A je algebraická náhrada za dokončení A. Henselizace A má stejné vyplňovací a zbytkové pole jako A a je plochým modulem A. Li A je Noetherian, redukovaný, normální, pravidelný nebo vynikající pak také jeho henselizace. Například henselizace prstence polynomů k[X,y, ...] lokalizovaný v bodě (0,0, ...) je kruh algebraické formální mocenské řady (formální mocenská řada splňující algebraickou rovnici). To lze považovat za „algebraickou“ část dokončení.

Podobně existuje přísně Henselianův prsten generovaný A, nazvaný přísná henselizace z A. Přísná henselizace není zcela univerzální: je jedinečná, ale pouze až nejedinečný izomorfismus. Přesněji záleží na volbě oddělitelného algebraického uzavření zbytkového pole Aa automorfismy tohoto oddělitelného algebraického uzávěru odpovídají automorfismům odpovídající přísné henselizace. Například přísná henselizace pole p-adické čísla jsou dány maximálním nečíslovaným rozšířením, generovaným všemi kořeny jednoty řádu prime to p. Není „univerzální“, protože má netriviální automatismy.

Příklady

  • Každé pole je henselianským místním kruhem.
  • Dokončete hausdorffské místní kruhy, jako je prsten z celá čísla p-adic a kruhy formálních mocenských řad nad polem jsou Henselian.
  • Kruhy konvergentních výkonových řad nad reálnými nebo komplexními čísly jsou Henselianovy.
  • Kruhy algebraických výkonových řad nad polem jsou Henselian.
  • Místní prsten, který je integrál přes Henselianův prsten je Henselian.
  • Henselizace místního kruhu je Henselianův místní kruh.
  • Každý kvocient Henselianova prstenu je Henselian.
  • Prsten A je Henselian právě tehdy, když je přidružený snížený prsten AČervené je Henselian (toto je podíl z A podle ideální z nilpotentních prvků ).
  • Li A má jen jeden hlavní ideál, od té doby je to Henselian AČervené je pole.

Reference