Podřetězec s pevným bodem - Fixed-point subring

v algebra, podřetězec s pevným bodem ${ displaystyle R ^ {f}}$ z automorfismus F a prsten R je podřízený z pevné body z F:

{ displaystyle R ^ {f} = {r v R mid f (r) = r }.}

Obecněji, pokud G je skupina herectví na R, pak podřetězec R:

{ displaystyle R ^ {G} = {r v R mid g cdot r = r, , g v G }}

se nazývá pevný podřetězec nebo, více tradičně, prsten invarianty. v Galoisova teorie, když R je pole a G je skupina polních automatorfismů, pevný kruh je a podpole volal pevné pole skupiny automorfismu; vidět Základní věta o Galoisově teorii.

Spolu s a modul kovarianty, prsten invarianty je ústředním předmětem studia v invariantní teorie. Geometricky, prsteny invarianty jsou souřadnicové prstence (afinní nebo projektivní) Kvocienty GIT a hrají zásadní roli ve stavbách v geometrická invariantní teorie.

Příklad: Nechte ${ displaystyle R = k [x_ {1}, tečky, x_ {n}]}$ být polynomiální kruh v n proměnné. The symetrická skupina S_n jedná R permutací proměnných. Pak prsten invarianty R^G je kruh symetrických polynomů. Pokud reduktivní algebraická skupina G jedná R, pak základní věta o invariantní teorii popisuje generátory R^G.

Hilbertův čtrnáctý problém zeptá se, zda je kruh invariants definitivně generován nebo ne (odpověď je kladná, pokud G je redukční algebraická skupina podle Nagatovy věty.) Konečná generace je snadno viditelná pro konečnou skupinu G působící na a konečně generovaná algebra R: od té doby R je integrál přes R^G,^[1] the Artin – Tate lemma naznačuje R^G je konečně generovaná algebra. Odpověď je pro některé negativní unipotent skupiny.

Nechat G být konečnou skupinou. Nechat S být symetrická algebra konečně-dimenzionální G-modul. Pak G je reflexní skupina právě tehdy ${ displaystyle S}$ je bezplatný modul (konečný hodnost ) přes S^G (Chevalleyova věta).^{[Citace je zapotřebí ]}

v diferenciální geometrie, pokud G je Lež skupina a ${ displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ své Lež algebra, pak každý jistina G-bundle na a potrubí M určuje a odstupňované homomorfismus algebry (volal Chern – Weilův homomorfismus )

{ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}] ^ {G} do operatorname {H} ^ {2 *} (M; mathbb {C})}

kde ${ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}]}$ je kruh polynomiálních funkcí na ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a G jedná ${ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}]}$ podle adjunkční reprezentace.

Viz také

odrůda znaků

Poznámky

^ Dáno r v R, polynom ${ displaystyle prod _ {g in G} (t-g cdot r)}$ je monický polynom nad R^G a má r jako jeden z jeho kořenů.

Reference

Mukai, Shigeru; Oxbury, W. M. (8. září 2003) [1998], Úvod do invarianty a moduly, Cambridge studia pokročilé matematiky, 81, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-80906-1, PAN 2004218
Springer, Tonny A. (1977), Invariantní teoriePřednášky z matematiky, 585Springer

[1] Dáno r v R, polynom ${ displaystyle prod _ {g in G} (t-g cdot r)}$ je monický polynom nad R^G a má r jako jeden z jeho kořenů.

[1]