Nagata prsten - Nagata ring

v komutativní algebra, an N-1 prsten je integrální doména A jehož integrální uzávěr v jeho pole kvocientu je definitivně generováno A modul. Říká se tomu a Japonský prsten (nebo N-2 kruh) pokud pro každého konečné prodloužení L jeho kvocientového pole K., integrální uzavření A v L je definitivně generován A-modul (nebo ekvivalentně konečný A-algebra). Prsten se volá všeobecně japonský pokud je každá konečně vygenerovaná integrální doména japonská a nazývá se a Nagata prsten, pojmenovaný pro Masayoshi Nagata, (nebo a pseudo-geometrický prsten) Pokud to je Noetherian a všeobecně japonský (nebo, což se ukázalo být stejný, pokud je Noetherian a všechny jeho kvocienty podle a hlavní ideál jsou N − 2 kroužky.) Prsten se nazývá geometrický pokud se jedná o místní kruh algebraické odrůdy nebo o doplnění takového místního kruhu (Danilov 2001 ), ale tento koncept se příliš nepoužívá.

Příklady

Pole a prsteny polynomy nebo výkonová řada konečně mnoho neurčitých polí je příkladem japonských prstenů. Dalším důležitým příkladem je a Noetherian integrálně uzavřená doména (např Dedekind doména ) s a perfektní pole zlomků. Na druhou stranu a PID nebo dokonce a DVR není nutně japonština.

Žádný kvazi-vynikající prsten je prsten Nagata, takže zejména téměř všechny noetherské prstence, které se vyskytují v algebraické geometrii, jsou prsteny Nagata. První příklad noetherské domény, která není prstenem Nagata, dal Akizuki (1935).

Zde je příklad diskrétního oceňovacího kruhu, který není japonským kruhem. Vyberte prvočíslo p a rozšíření pole nekonečného stupně K. charakteristiky p pole k, takový, že K.p⊆k. Nechte zazvonit diskrétní ocenění R být kruhem formální mocenské řady znovu K. jehož koeficienty generují konečné rozšíření o k. Li y je nějaká formální mocenská řada, která není v R pak prsten R[y] není prsten N − 1 (jeho integrální uzávěr není definitivně generovaný modul), takže R není japonský prsten.

Li R je podřetězec polynomiálního kruhu k[X1,X2, ...] v nekonečně mnoha generátorech generovaných čtverci a kostkami všech generátorů a S se získává z R připojením inverzí ke všem prvkům, které nejsou v žádném z ideálů generovaných některými Xn, pak S je 1-dimenzionální noetheriánská doména, která není kruhem N-1, jinými slovy její integrální uzavření v poli kvocientu není definitivně generováno S-modul. Taky S má vrchol singularity v každém uzavřeném bodě, takže množina singulárních bodů není uzavřena.

Reference

  • Akizuki, Y. (1935), „Einige Bemerkungen über primäre Integritätsbereiche mit teilerkettensatz“, Sborník Fyzikálně-matematické společnosti v Japonsku, 3. série, 17: 327–336
  • Bosch, Güntzer, Remmert, Non-Archimédova analýza, Springer 1984, ISBN  0-387-12546-9
  • V.I. Danilov (2001) [1994], "geometrický prsten", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
  • A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique Publ. Matematika. IHES, 20, oddíl 23 (1964)
  • H. Matsumura, Komutativní algebra ISBN  0-8053-7026-9, kapitola 12.
  • Nagata, Masayoshi Místní prsteny. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, č. 13 Interscience Publishers, divize společnosti John Wiley & Sons, New York-London 1962, dotisk R. E. Krieger Pub. Co (1975) ISBN  0-88275-228-6

externí odkazy