Vodič (prstencová teorie) - Conductor (ring theory)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Teorie prstence „dirigent“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Února 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie prstenů, pobočka matematika, dirigent je měření toho, jak daleko jsou komutativní kruh a prodlužovací kruh. Větší kruh je nejčastěji doménou integrálně uzavřeno v jeho pole zlomků, a poté vodič měří poruchu menšího kruhu, který má být integrálně uzavřen.

Dirigent má velký význam při studiu maximálních řádů v kruhu celých čísel algebraického číselného pole. Jedna interpretace dirigenta spočívá v tom, že měří selhání jedinečné faktorizace v hlavních ideálech.

Definice

Nechat A a B být komutativní kruhy a předpokládat A ⊆ B. The dirigent ^[1] z A v B je ideální

${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A) = operatorname {Ann} _ {A} (B / A).}$

Tady B / A se považuje za kvocient ve výši A-moduly a Ann označuje zničit. Přesněji řečeno, vodič je sada

${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A) = {ain Acolon aBsubseteq A}.}$

Protože vodič je definován jako anihilátor, je jeho ideálem A.

Li B je integrální doménou, pak může být vodič přepsán jako

${displaystyle {0} cup {ain Asetminus {0}: Bsubseteq extstyle {frac {1} {a}} A},}$

kde ${displaystyle extstyle {frac {1} {a}} A}$ se považuje za podmnožinu pole zlomku B. To je, pokud A je nenulová a ve vodiči, pak každý prvek B lze psát jako zlomek, jehož čitatel je v A a jehož jmenovatelem je A. Nenulové prvky vodiče jsou tedy ty, které postačují jako společný jmenovatel při psaní prvků B jako kvocienty prvků A.

Předpokládat R je prsten obsahující B. Například, R se může rovnat Bnebo B může to být doména a R jeho pole zlomků. Potom, protože 1 ∈ B, vodič je také roven

${displaystyle {rin R: rBsubseteq A}.}$

Základní vlastnosti

Dirigent je celý kruh A jen a jen pokud obsahuje 1 ∈ A a proto, kdyby a jen kdyby A = B. Jinak je vodič vhodným ideálem A.

Pokud index m = [B : A] je tedy konečný mB ⊆ A, tak ${displaystyle min {mathfrak {f}} (B / A)}$. V tomto případě je vodič nenulový. To platí zejména, když B je kruh celých čísel v algebraickém číselném poli a A je objednávka (podřetězec, pro který B / A je konečný).

Vodič je také ideálem B, protože, pro všechny b ∈ B a jakékoli ${displaystyle ain {mathfrak {f}} (B / A)}$, baB ⊆ AB ⊆ A. Ve skutečnosti ideál J z B je obsažen v A kdyby a jen kdyby J je obsažen ve vodiči. Opravdu, pro takové J, JB ⊆ J ⊆ A, tedy z definice J je obsažen v ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$. Naopak, vodič je ideál A, takže jakýkoli ideál v něm obsažený je obsažen v A. Tato skutečnost to naznačuje ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ je největším ideálem A což je také ideál B. (Může se stát, že existují ideály A obsažené ve vodiči, které nejsou ideály B.)

Předpokládejme to S je multiplikativní podmnožina A. Pak

${displaystyle S ^ {- 1} {mathfrak {f}} (B / A) subseteq {mathfrak {f}} (S ^ {- 1} B / S ^ {- 1} A),}$

s rovností v případě, že B je definitivně generován A-modul.

Dirigenti domén Dedekind

Některé z nejdůležitějších aplikací vodiče vznikají, když B je Dedekind doména a B / A je konečný. Například, B může být prsten celých čísel a pole s číslem a A ne-maximální objednávka. Nebo, B může být afinní souřadnicový kruh hladké projektivní křivky přes konečné pole a A afinní souřadnicový kruh singulárního modelu. Prsten A nemá jedinečnou faktorizaci do hlavních ideálů a selhání jedinečné faktorizace je měřeno vodičem ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$.

Ideály coprime dirigentovi sdílejí mnoho příjemných vlastností ideálů v doménách Dedekind. Navíc pro tyto ideály existuje těsná korespondence mezi ideály B a ideály A:

• Ideály A které jsou relativně nejlepší ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ mají jedinečnou faktorizaci do produktů invertibilních hlavních ideálů, které jsou coprime pro dirigenta. Zejména jsou všechny takové ideály invertibilní.
• Li Já je ideál B to je relativně nejlepší ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$, pak Já ∩ A je ideál A to je relativně nejlepší ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ a homomorfismus přirozeného kruhu ${displaystyle A / (Icap A) o B / I}$ je izomorfismus. Zejména, Já je hlavní právě tehdy Já ∩ A je hlavní.
• Li J je ideál A to je relativně nejlepší ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$, pak JB je ideál B to je relativně nejlepší ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ a homomorfismus přirozeného kruhu ${displaystyle A / J o B / JB}$ je izomorfismus. Zejména, J je hlavní právě tehdy JB je hlavní.
• Funkce ${displaystyle Imapsto Icap A}$ a ${displaystyle Jmapsto JB}$ definovat bijekci mezi ideály A relativně prime to ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ a ideály B relativně prime to ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$. Tato bijekce zachovává vlastnost toho, že je hlavní. Je to také multiplikativní, to znamená ${displaystyle (Icap A) (I'cap A) = II'cap A}$ a ${displaystyle (JB) (J'B) = JJ'B}$.

Všechny tyto vlastnosti obecně selhávají, protože ideály nejsou coprime k vodiči. Chcete-li vidět některé z obtíží, které mohou nastat, předpokládejte to J je nenulový ideál obou A a B (zejména je obsažen ve vodiči, a proto není coprime). Pak J nemůže být invertibilní zlomkový ideál z A ledaže A = B. Protože B je doména Dedekind, J je invertibilní v B, a proto

${displaystyle {xin Kcolon xJsubseteq J} = B,}$

protože můžeme znásobit obě strany rovnice xJ ⊆ J podle J⁻¹. Li J je také invertibilní v A, pak platí stejné uvažování. Ale levá strana výše uvedené rovnice neodkazuje A nebo B, pouze do jejich sdíleného zlomkového pole, a proto A = B. Proto je ideál obou A a B implikuje non-invertibility v A.

Vodiče kvadratických číselných polí

Nechat K. být kvadratickým rozšířením Qa nechte Ó_K. být jeho prsten celých čísel. Prodloužením 1 ∈ Ó_K. do a Z-základ, vidíme, že každá objednávka Ó v K. má formu Z + CO_K. pro nějaké kladné celé číslo C. Vodič tohoto řádu se rovná ideálu CO_K.. Je skutečně jasné, že CO_K. je ideál Ó_K. obsaženo v Ó, takže je obsažen ve vodiči. Na druhou stranu ideály Ó obsahující CO_K. jsou stejné jako ideály kvocientového kruhu (Z + CO_K.) / CO_K.. Druhý prsten je isomorfní s Z / CZ druhou větou o izomorfismu, takže všechny takové ideály Ó jsou součtem CO_K. s ideálem Z. Pod tímto izomorfismem vodič zničí Z / CZ, tak to musí být CZ.

V tomto případě index [Ó_K. : Ó] se také rovná C, takže pro objednávky kvadratických číselných polí může být index identifikován s vodičem. Tato identifikace selže pro vyšší počet polí.

Odkaz

Viz také

• Integrální prvek