Sestavitelná sada (topologie) - Constructible set (topology)

Pro Gödelova konstruktivní sada viz konstruovatelný vesmír.

v topologie, a konstruovatelná sada v topologický prostor je konečný svazek lokálně uzavřené sady. (Sada je místně uzavřena, pokud se jedná o průsečík otevřená sada a uzavřená sada, nebo ekvivalentně, pokud je ve svém uzávěru otevřený.) Sestavitelné množiny tvoří a Booleova algebra (tj. je uzavřena pod konečným spojením a komplementací.) Ve skutečnosti jsou konstruovatelné množiny přesně booleovská algebra generovaná otevřenými množinami a uzavřenými množinami; odtud název „konstruovatelný“. Pojem se objevuje klasicky algebraická geometrie.

Chevalleyova věta (EGA IV, 1.8.4.) Uvádí: Let ${displaystyle f: X o Y}$ být morfismem konečné prezentace schémat. Pak obrázek jakékoli konstruktivní sady pod F je konstruovatelný. Zejména obraz odrůdy nemusí být odrůdou, ale je (za předpokladů) vždy konstruktivní množinou. Například mapa ${displaystyle mathbf {A} ^ {2} ightarrow mathbf {A} ^ {2}}$ který posílá ${displaystyle (x, y)}$ na ${displaystyle (x, xy)}$ má obrázek sadu ${displaystyle {xeq 0} šálek {x = y = 0}}$, což není odrůda, ale je konstruovatelné.

V jakémkoli (ne nutně noetherském) topologickém prostoru obsahuje každá konstruovatelná množina hustou otevřenou podmnožinu jejího uzavření.^[1]

Varování: V EGA III, Def. 9.1.2, jsou konstruovatelné sady definovány pouze pomocí retrokompaktní otevře se. To znamená, že rodina konstruovatelných množin topologického prostoru je definována jako nejmenší rodina uzavřená pod konečným průnikem a doplňující se a obsahující všechny retrokompaktní otevřené podmnožiny.

Například původ ${displaystyle V (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, tečky)}$ v nekonečném afinním prostoru ${displaystyle mathbb {A} ^ {infty} = Spec (k [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, dots])}$ je ne konstruovatelný.

V jakémkoli lokálně noetherickém topologickém prostoru Všechno podmnožiny jsou retrokompaktní (EGA III, 9.1), takže dvě definice jsou v tomto nastavení stejné.

Viz také

• Vytvořitelná topologie
• Konstruktivní svazek

Poznámky

Reference

• Allouche, Jean Paul. Poznámka k konstruovatelným množinám topologického prostoru.
• Andradas, Carlos; Bröcker, Ludwig; Ruiz, Jesús M. (1996). Sestavitelné sady ve skutečné geometrii. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3). 33. Berlín: Springer-Verlag. str. x + 270. ISBN  3-540-60451-0. PAN  1393194.
• Borel, Armand. Lineární algebraické skupiny.
• Grothendieck, Alexander. EGA 0 §9
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (ve francouzštině). 166 (2. vyd.). Berlín; New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-05113-8.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 4: 5–228. doi:10.1007 / bf02684778. PAN  0217083.
• Mostowski, A. (1969). Konstruktivní sady s aplikacemi. Studie v logice a základech matematiky. Amsterdam --- Varšava: North-Holland Publishing Co. ---- PWN - polští vědečtí vydavatelé. str. ix + 269. PAN  0255390.