Integrální uzavření ideálu - Integral closure of an ideal

V algebře je integrální uzávěr ideálu Já komutativního kruhu R, označeno ${ displaystyle { overline {I}}}$, je množina všech prvků r v R které jsou nedílnou součástí Já: existují ${ displaystyle a_ {i} v I ^ {i}}$ takhle

${ displaystyle r ^ {n} + a_ {1} r ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} r + a_ {n} = 0.}$

Je to podobné jako u integrální uzávěr podřetězce. Například pokud R je doména, prvek r v R patří ${ displaystyle { overline {I}}}$ právě tehdy, pokud existuje konečně vygenerovaný R-modul M, zničen pouze nulou, takový ${ displaystyle rM podmnožina IM}$. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle { overline {I}}}$ je ideál R (Ve skutečnosti je integrální uzavření ideálu vždy ideál; viz níže.) Já se říká, že je integrálně uzavřeno -li ${ displaystyle I = { overline {I}}}$.

Integrální uzavření ideálu se objevuje ve větě Rees který charakterizuje analyticky unramified kruh.

Příklady

• v ${ displaystyle mathbb {C} [x, y]}$, ${ displaystyle x ^ {i} y ^ {d-i}}$ je integrální konec ${ displaystyle (x ^ {d}, y ^ {d})}$. Vyhovuje rovnici ${ displaystyle r ^ {d} + (- x ^ {di} y ^ {d (d-i)}) = 0}$kde ${ displaystyle a_ {d} = - x ^ {di} y ^ {d (d-i)}}$je v ideálu.
• Radikální ideály (např. hlavní ideály) jsou integrálně uzavřeny. Průsečík integrálně uzavřených ideálů je integrálně uzavřený.
• V normální prsten, pro každého, kdo není zerodivisor X a jakýkoli ideál Já, ${ displaystyle { overline {xI}} = x { overline {I}}}$. Zejména v normálním kruhu je hlavní ideál generovaný nenulovým derivátem integrálně uzavřen.
• Nechat ${ displaystyle R = k [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ být polynomiálním prstencem nad polem k. Ideál Já v R je nazýván monomiální pokud je generován monomials; tj., ${ displaystyle X_ {1} ^ {a_ {1}} cdots X_ {n} ^ {a_ {n}}}$. Integrální uzavření monomického ideálu je monomiální.

Výsledky struktury

Nechat R ložisko. The Reesova algebra ${ displaystyle R [It] = oplus _ {n geq 0} I ^ {n} t ^ {n}}$ lze použít k výpočtu integrálního uzavření ideálu. Výsledek struktury je následující: integrální uzavření ${ displaystyle R [It]}$ v ${ displaystyle R [t]}$, který je klasifikován, je ${ displaystyle oplus _ {n geq 0} { overline {I ^ {n}}} t ^ {n}}$. Zejména, ${ displaystyle { overline {I}}}$ je ideální a ${ displaystyle { overline {I}} = { overline { overline {I}}}}$; tj. integrální uzavření ideálu je integrálně uzavřeno. Z toho také vyplývá, že integrální uzavření homogenního ideálu je homogenní.

Následující typ výsledků se nazývá Briancon – Věta o škodě: nechte R být pravidelným prstenem a Já ideál generovaný l elementy. Pak ${ displaystyle { overline {I ^ {n + l}}} podmnožina I ^ {n + 1}}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 0}$.

Reesova věta říká: let (R, m) být noetherian místní prsten. Předpokládejme, že je formálně ekvidimenzionální (tj. dokončení je ekvidimenzionální.). Pak dva m- primární ideály ${ displaystyle I podmnožina J}$ mají stejný integrální uzávěr, jen pokud mají stejný multiplicita.^[1]

Poznámky

Reference

• Eisenbud, David, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8.
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integrální uzavření ideálů, prstenů a modulů, Série přednášek London Mathematical Society, 336, Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-68860-4, PAN  2266432

Další čtení

• Irena Swanson, Reesova ocenění.