Polární prostor - Polar space

v matematika, v oblasti geometrie, a polární prostor hodnosti n (n ≥ 3), nebo projektivní index n − 1, se skládá ze sady P, běžně nazývaná množina bodů, spolu s určitými podmnožinami P, volala podprostory, které splňují tyto axiomy:

• Každý podprostor je izomorfní do a projektivní geometrie P^d(K.) s −1 ≤ d ≤ (n − 1) a K. A dělící prsten. Podle definice pro každý podprostor odpovídající d je jeho rozměr.
• Průsečík dvou podprostorů je vždy podprostor.
• Za každý bod p ne v podprostoru A dimenze n − 1, existuje jedinečný podprostor B dimenze n − 1 takhle A ∩ B je (n − 2)-dimenzionální. Body v A ∩ B jsou přesně body A které jsou ve společném podprostoru dimenze 1 s p.
• Existují alespoň dva nesouvislé podprostory dimenze n − 1.

Je možné definovat a studovat o něco větší třídu objektů pouze pomocí vztahu mezi body a přímkami: a polární prostor je částečný lineární prostor (P,L), takže pro každý bod p ∈ P andeach line l ∈ L, množina bodů l kolineární k p, je buď singleton, nebo celek l.

Konečné polární prostory (kde P je konečná množina) jsou také studovány jako kombinatorické objekty.

Zobecněné čtyřúhelníky

Zobecněný čtyřúhelník se třemi body na řádek; polární prostor 2. úrovně

Polární prostor druhé pozice je a zobecněný čtyřúhelník; v tomto případě v druhé definici množina bodů přímky ℓ kolineární s bodem p je celek ℓ jen když p ∈ ℓ. Jeden obnoví první definici z druhé za předpokladu, že čáry mají více než 2 body, body leží na více než 2 řádcích a existuje čára ℓ a bod p ne na ℓ aby p je kolineární ke všem bodůmℓ.

Konečné klasické polární prostory

Nechat ${displaystyle PG (n, q)}$ být projektivním prostorem dimenze ${displaystyle n}$ přes konečné pole ${displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ a nechte ${displaystyle f}$ být reflexivní sesquilineární forma nebo a kvadratická forma na podkladovém vektorovém prostoru. Pak prvky konečného klasického polárního prostoru spojené s touto formou sestávají z zcela izotropní podprostory (když ${displaystyle f}$ je sesquilineární forma) nebo zcela singulární podprostory (když ${displaystyle f}$ je kvadratická forma) ${displaystyle PG (n, q)}$ s ohledem na ${displaystyle f}$. The Wittův index formuláře se rovná největší dimenzi vektorového prostoru podprostoru obsažené v polárním prostoru a nazývá se hodnost polárního prostoru. Tyto konečné klasické polární prostory lze shrnout do následující tabulky, kde ${displaystyle n}$ je rozměr podkladového projektivního prostoru a ${displaystyle r}$ je hodnost polárního prostoru. Počet bodů v a ${displaystyle PG (k, q)}$ je označen ${displaystyle heta _ {k} (q)}$ a to se rovná ${displaystyle q ^ {k} + q ^ {k-1} + cdots +1}$. Když ${displaystyle r}$ je rovný ${displaystyle 2}$, dostaneme zobecněný čtyřúhelník.

Formulář	${displaystyle n + 1}$	název	Zápis	Počet bodů	Collineation skupina
Střídavě	${displaystyle 2r}$	Symplektický	${displaystyle W (2r-1, q)}$	${displaystyle (q ^ {r} +1) heta _ {r-1} (q)}$	${displaystyle mathrm {PGamma Sp} (2r, q)}$
Hermitian	${displaystyle 2r}$	Hermitian	${displaystyle H (2r-1, q)}$	${displaystyle (q ^ {r-1/2} +1) heta _ {r-1} (q)}$	${displaystyle mathrm {PGamma U (2r, q)}}$
Hermitian	${displaystyle 2r + 1}$	Hermitian	${displaystyle H (2r, q)}$	${displaystyle (q ^ {r + 1/2} +1) heta _ {r-1} (q)}$	${displaystyle mathrm {PGamma U (2r + 1, q)}}$
Kvadratický	${displaystyle 2r}$	Hyperbolický	${displaystyle Q ^ {+} (2r-1, q)}$	${displaystyle (q ^ {r-1} +1) heta _ {r-1} (q)}$	${displaystyle mathrm {PGamma O ^ {+}} (2r, q)}$
Kvadratický	${displaystyle 2r + 1}$	Parabolický	${displaystyle Q (2r, q)}$	${displaystyle (q ^ {r} +1) heta _ {r-1} (q)}$	${displaystyle mathrm {PGamma O} (2r + 1, q)}$
Kvadratický	${displaystyle 2r + 2}$	Eliptický	${displaystyle Q ^ {-} (2r + 1, q)}$	${displaystyle (q ^ {r + 1} +1) heta _ {r-1} (q)}$	${displaystyle mathrm {PGamma O ^ {-}} (2r + 2, q)}$

Klasifikace

Jacques prsa dokázal, že konečný polární prostor hodnosti alespoň tři, je vždy izomorfní s jedním ze tří typů klasických polárních prostorů uvedených výše. To ponechává otevřený pouze problém klasifikace konečných zobecněných čtyřúhelníků.

Reference

• Cameron, Peter J. (2015), Projektivní a polární prostory (PDF), QMW Maths Notes, 13, Londýn: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, PAN  1153019
• Buekenhout, Francis; Cohen, Arjeh M. (2013), Schéma geometrie (související s klasickými skupinami a budovami) Série moderních průzkumů v matematice, část 3, 57, Heidelberg: Springer, PAN  3014979
• Buekenhout, Francis, Prehistorie a historie polárních prostorů a zobecněných polygonů (PDF)
• Ball, Simeon (2015), Konečná geometrie a kombinatorické aplikace Studentské texty London Mathematical Society, Cambridge University Press, ISBN  978-1107518438.