Paradox Burali-Forti - Burali-Forti paradox

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie množin, pole matematika, Paradox Burali-Forti demonstruje konstrukci „množiny všech řadové číslovky "vede k rozporu, a proto ukazuje antinomie v systému, který umožňuje jeho konstrukci. Je pojmenován po Cesare Burali-Forti, který v roce 1897 publikoval dokument dokazující teorém, který, pro něj neznámého, odporoval dříve prokázanému výsledku Cantora. Bertrand Russell rozpor si následně všiml, a když ho publikoval ve své knize z roku 1903 Principy matematikyuvedl, že mu to navrhl Burali-Fortiho článek, takže to bylo známé pod jménem Burali-Forti.

Uvedeno z hlediska von Neumann ordinals

Dokážeme to reductio ad absurdum.

1. Nechat ${ displaystyle Omega}$ být množina, která obsahuje všechna pořadová čísla.
2. ${ displaystyle Omega}$ je tranzitivní protože pro každý prvek ${ displaystyle x}$ z ${ displaystyle Omega}$ (což je pořadové číslo a může to být jakékoli pořadové číslo) a každý prvek ${ displaystyle y}$ z ${ displaystyle x}$ (tj. podle definice Von Neumann ordinals, pro každé pořadové číslo ${ displaystyle y$), máme to ${ displaystyle y}$ je prvek ${ displaystyle Omega}$ protože jakékoli pořadové číslo obsahuje pouze pořadová čísla, a to podle definice této pořadové konstrukce.
3. ${ displaystyle Omega}$ je dobře seřazeno podle vztahu členství, protože všechny jeho prvky jsou také dobře seřazeny podle tohoto vztahu.
4. Kroky 2 a 3 to tedy máme ${ displaystyle Omega}$ je pořadová třída a také v prvním kroku pořadové číslo, protože všechny pořadové třídy, které jsou množinami, jsou také pořadová čísla.
5. To z toho vyplývá ${ displaystyle Omega}$ je prvek ${ displaystyle Omega}$.
6. Podle definice Von Neumann ordinals, ${ displaystyle Omega < Omega}$ je stejné jako ${ displaystyle Omega}$ být prvkem ${ displaystyle Omega}$. Toto prohlášení je prokázáno v kroku 5.
7. Ale máme, že žádná řadová třída není menší než sama, včetně ${ displaystyle Omega}$ kvůli kroku 4 (${ displaystyle Omega}$ je ordinální třída), tj. ${ displaystyle Omega nless Omega}$.

Vyvodili jsme dva protichůdné návrhy (${ displaystyle Omega < Omega}$ a ${ displaystyle Omega nless Omega}$) z sethood of ${ displaystyle Omega}$ a proto to vyvrátil ${ displaystyle Omega}$ je sada.

Uvedeno obecněji

Verze paradoxu výše je anachronická, protože předpokládá definici ordinálu kvůli John von Neumann, pod kterým je každý ordinál množina všech předchozích ordinálů, což v době, kdy paradox formoval Burali- Forti, nebyl znám. Zde je účet s méně předpoklady: předpokládejme, že se spojíme s každým dobře objednávající objekt zvaný jeho typ objednávky neurčeným způsobem (typy řádů jsou pořadová čísla). Samotné typy objednávek (pořadová čísla) jsou přirozeně dobře uspořádány a toto objednávání musí mít typ objednávky ${ displaystyle Omega}$. Je snadno zobrazen vteorie naivní množiny (a zůstává pravdou v ZFC ale ne v Nové základy ) že typ objednávky všech pořadových čísel menší než pevná ${ displaystyle alpha}$ je ${ displaystyle alpha}$ sám. Takže typ objednávky všech pořadových čísel menší než ${ displaystyle Omega}$ je ${ displaystyle Omega}$ sám. To ale znamená ${ displaystyle Omega}$, protože je řádovým typem správného počátečního segmentu řadových řádků, je přísně menší než řádový typ všech řadových řádků, ale ten je ${ displaystyle Omega}$ sám o sobě z definice. To je rozpor.

Použijeme-li definici von Neumanna, pod kterou je každý ordinál identifikován jako množina všech předchozích ordinálů, je paradox nevyhnutelný: urážlivá věta, že typ řádu všech ordinálních čísel je menší než fixní ${ displaystyle alpha}$ je ${ displaystyle alpha}$ sama o sobě musí být pravda. Sbírka von Neumann ordinals, stejně jako sbírka v Russellův paradox, nemůže být množinou v žádné teorii množin s klasickou logikou. Ale kolekce typů objednávek v New Foundations (definovaných jako třídy ekvivalence objednávek za podobnosti) je ve skutečnosti množina a paradoxu se vyhýbáme, protože typ objednávky ordinálů je menší než ${ displaystyle Omega}$Ukázalo se, že není ${ displaystyle Omega}$.

Řešení paradoxu

Moderní axiomy pro formální teorii množin jako ZF a ZFC obcházejí tuto antinomii tím, že neumožňují konstrukci sad pomocí výrazy jako „všechny sady s vlastností ${ displaystyle P}$", jak je to možné v naivní teorie množin a jak je to možné s Gottlob Frege axiomy - konkrétně základní zákon V - v „Grundgesetze der Arithmetik“. Quinův systém Nové základy (NF) používá a jiné řešení. Rosser (1942 ) ukázal, že v původní verzi systému Quine „Mathematical Logic“ (ML), rozšíření nových základů, je možné odvodit paradox Burali-Forti, což ukazuje, že tento systém byl rozporuplný. Quineova revize ML po Rosserově objevu touto vadou netrpí, a následně byla následně prokázána rovnocennost s NF Hao Wang.

Viz také

• Absolutní nekonečno

Reference

• Burali-Forti, Cesare (1897), „Una questione sui numeri transfiniti“ (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 11: 154–164, doi:10.1007 / BF03015911
• Irving Copi (1958) „Burali-Forti Paradox“, Filozofie vědy 25(4): 281–286, doi:10.1086/287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), „Burali-Fortiho paradox: přehodnocení jeho původu“, Historia Mathematica, 8 (3): 319–350, doi:10.1016/0315-0860(81)90070-7
• Rosser, Barkley (1942), „paradox Burali-Forti“, Journal of Symbolic Logic, 7 (1): 1–17, doi:10.2307/2267550, JSTOR  2267550, PAN  0006327

externí odkazy

• Stanfordská encyklopedie filozofie: "Paradoxy a současná logika „- Andrea Cantini.