Morseova-Kelleyova teorie množin - Morse–Kelley set theory

V základy matematiky, Morseova-Kelleyova teorie množin (MK), Teorie množin Kelley – Morse (KM), Morse-Tarski teorie množin (MT), Teorie množin Quine – Morse (QM) nebo systém Quine a Morse je první objednávka axiomatická teorie množin s čím úzce souvisí von Neumann – Bernays – Gödel teorie množin (NBG). Zatímco von Neumann – Bernays – Gödel teorie množin omezuje vázané proměnné ve schematickém vzorci uvedeném v schéma axiomu z Porozumění třídě aby se rozsah pohyboval sám přes sady, teorie množin Morse-Kelley umožňuje, aby tyto vázané proměnné překročily rozsah správné třídy stejně jako sady, jak poprvé navrhl Quine pro svůj systém v roce 1940 ML.

Teorie množin Morse – Kelley je pojmenována podle matematiků John L. Kelley a Anthony Morse a byl poprvé stanoven Wang (1949) a později v dodatku ke Kelleyho učebnici Obecná topologie (1955), úvod do úrovně absolventa topologie. Kelley řekl, že systém ve své knize byl variantou systémů kvůli Thoralf Skolem a Morse. Morseova vlastní verze se objevila později v jeho knize Teorie množin (1965).

Zatímco von Neumann – Bernays – Gödelova teorie množin je a konzervativní rozšíření z Teorie množin Zermelo – Fraenkel (ZFC, kanonická teorie množin) v tom smyslu, že prohlášení v jazyce ZFC je prokazatelné v NBG právě tehdy, je-li prokazatelné v ZFC, teorie množin Morse – Kelley je správné rozšíření ZFC. Na rozdíl od von Neumann – Bernays – Gödelovy teorie množin, kde lze schéma axiomu třídního porozumění nahradit konečně mnoha jeho instancemi, teorii množin Morse – Kelley nelze definitivně axiomatizovat.

MK axiomy a ontologie

NBG a MK sdílejí společné ontologie. The vesmír diskurzu skládá se z třídy. Třídy, které jsou členy jiných tříd, se nazývají sady. Třída, která není množinou, je a správná třída. Primitivní atomové věty zahrnovat členství nebo rovnost.

S výjimkou Class Comprehension jsou následující axiomy stejné jako pro axiomy NBG, nepodstatné detaily stranou. Symbolické verze axiomů používají následující notační zařízení:

• Velká písmena jiná než M, které se objevují v Extensionality, Class Comprehension a Foundation, označují proměnné přesahující třídy. Malé písmeno označuje proměnnou, která nemůže být a správná třída, protože se zobrazuje nalevo od ∈. Jelikož MK je jednorázová teorie, je tato notační konvence pouze mnemotechnická pomůcka.
• The monadický predikát ${ displaystyle Mx,}$ jehož zamýšleným čtením je „třída X is a set “, zkracuje ${ displaystyle existuje W (x ve W).}$
• The prázdná sada ${ displaystyle varnothing}$ je definováno ${ displaystyle forall x (x not in varnothing).}$
• Třída PROTI, univerzální třída mít všechny možné sady jako členy, je definováno ${ displaystyle forall x (Mx až x ve V).}$ PROTI je také Von Neumannův vesmír.

Roztažnost: Třídy se stejnými členy jsou stejné třídy.

${ displaystyle forall X , forall Y , ( forall z , (z v X leftrightarrow z v Y) rightarrow X = Y).}$

Sada a třída se stejnou příponou jsou identické. MK tedy není teorií dvou tříd, navzdory zdání opačného.

Nadace: Každá neprázdná třída A je disjunktní alespoň od jednoho z jejích členů.

${ displaystyle forall A [A not = varnothing rightarrow existuje b (b v A land forall c (c in b rightarrow c not v A))]}}$

Porozumění třídě: Nechť φ (X) být jakýkoli vzorec v jazyce MK, ve kterém X je volná proměnná a Y není zdarma. φ (X) může obsahovat parametry, které jsou buď množinami, nebo správnými třídami. V důsledku toho kvantifikované proměnné v φ (X) se může pohybovat ve všech třídách, nejen ve všech sadách; toto je jediný způsob, kterým se MK liší NBG. Pak existuje a třída ${ displaystyle Y = {x mid phi (x) }}$ jejichž členy jsou přesně tito sady X takhle ${ displaystyle phi (x)}$ vyjde pravda. Formálně, pokud Y není zdarma v φ:

${ displaystyle forall W_ {1} ... W_ {n} existuje Y forall x [x in Y leftrightarrow ( phi (x, W_ {1}, ... W_ {n}) land Mx)].}$

Párování: Pro všechny sady X a y, existuje sada ${ displaystyle z = {x, y }}$ jejichž členové jsou přesně X a y.

${ displaystyle forall x , forall y , [(Mx land My) rightarrow existuje z , (Mz land forall s , [s in z leftrightarrow (s = x , lor , s = y)])].}$

Spárování licencí na neuspořádaný pár, pokud jde o objednaný pár, ${ displaystyle langle x, y rangle}$, lze definovat obvyklým způsobem, jako ${ displaystyle { {x }, {x, y } }}$. S objednanými páry v ruce umožňuje Class Classrehreh definování vztahy a funkce na množinách jako množiny uspořádaných párů, což umožňuje další axiom:

Omezení velikosti: C je správná třída kdyby a jen kdyby PROTI může být mapováno jedna ku jedné do C.

${ displaystyle { begin {array} {l} forall C [ notnota leftrightarrow existuje F ( forall x [Mx rightarrow existuje s (s v C land langle x, s rangle ve F)] land qquad forall x forall y forall s [( langle x, s rangle ve F land langle y, s rangle ve F) rightarrow x = y] )]. end {pole}}}$

Formální verze tohoto axiomu se podobá axiomové schéma nahrazení, a ztělesňuje funkci třídy F. Následující část vysvětluje, jak je omezení velikosti silnější než obvyklé formy souboru axiom volby.

Napájecí sada: Nechat str být třídou, jejíž členové jsou všichni možní podmnožiny sady A. Pak str je sada.

${ displaystyle forall a , forall p , [(Ma land forall x , [x in p leftrightarrow forall y , (y in x rightarrow y in a)])) rightarrow Mp].}$

svaz: Nechat ${ displaystyle s = bigcup a}$ být součtem třídy množiny A, jmenovitě svaz všech členů A. Pak s je sada.

${ displaystyle forall a , forall s , [(Ma land forall x , [x in s leftrightarrow existuje y , (x in y land y in a)]) rightarrow Ms].}$

Nekonečno: Existuje indukční sada y, což znamená, že (i) prázdná sada je členem y; ii) pokud X je členem y, pak také je ${ displaystyle x cup {x }.}$.

${ displaystyle existuje y [moje země varnothing in y země forall z (z in y rightarrow existuje x [x in y land forall w (w in x leftrightarrow [w = z lor w in z])])].}$

Všimněte si, že str a s v Power Set a Union jsou univerzálně, nikoli existenciálně, kvantifikovány, protože k prokázání existence str a s. Power Set a Union slouží pouze k tomu, aby to bylo možné str a s nemohou být správné třídy.

Výše uvedené axiomy jsou sdíleny s dalšími teoriemi množin následujícím způsobem:

• ZFC a NBG: Párování, Power Set, Union, Infinity;
• NBG (a ZFC, pokud byly kvantifikované proměnné omezeny na množiny): Extensionality, Foundation;
• NBG: Omezení velikosti.

Diskuse

Monk (1980) a Rubin (1967) jsou texty teorie množin postavené na MK; Rubin ontologie zahrnuje prvky. Tito autoři a Mendelson (1997: 287) tvrdí, že MK dělá to, co se od teorie množin očekává, zatímco je méně těžkopádné než ZFC a NBG.

MK je přísně silnější než ZFC a jeho konzervativní rozšíření NBG, další známá teorie množin s správné třídy. Ve skutečnosti lze NBG - a tedy i ZFC - v MK prokázat jako konzistentní. Síla MK vychází z jeho axiomového schématu bytí Class Comprehension předběžný, což znamená, že φ (X) může obsahovat kvantifikované proměnné v rozmezí tříd. Kvantifikované proměnné ve schématu axiomu NBG s porozuměním třídy jsou omezeny na množiny; proto musí být chápání třídy v NBG predikativní. (Oddělení s ohledem na množiny je v NBG stále nepřiměřené, protože kvantifikátory v φ (X) se může pohybovat ve všech sadách.) Schéma axiomu NBG Class Comprehension lze nahradit konečně mnoha jeho instancemi; v MK to není možné. MK je konzistentní vzhledem k ZFC rozšířené o axiom tvrdící existenci silně nepřístupní kardinálové.

Jedinou výhodou axiom omezení velikosti je to, že to znamená axiom globální volby. Omezení velikosti se neobjevuje u Rubina (1967), Monka (1980) nebo Mendelsona (1997). Místo toho se tito autoři dovolávají obvyklé formy místní axiom volby a „axiom nahrazení“^[1] tvrdí, že pokud doména funkce třídy je množina rozsah je také sada. Výměna může prokázat vše, co dokazuje omezení velikosti, kromě prokázání nějaké formy axiom volby.

Omezení velikosti Plus Já být sadou (proto je vesmír neprázdný) činí prokazatelnou setset prázdné sady; proto není potřeba axiom prázdné množiny. Takový axiom lze samozřejmě přidat a menší narušení výše uvedených axiomů by toto přidání vyžadovalo. Sada Já není identifikován s mezní pořadové číslo ${ displaystyle omega,}$ tak jako Já může být množina větší než ${ displaystyle omega.}$ V tomto případě existence ${ displaystyle omega}$ vyplývá z obou forem omezení velikosti.

Třída von Neumann ordinals může být dobře objednané. Nemůže to být množina (pod bolestí paradoxu); tedy tato třída je správná třída a všechny správné třídy mají stejnou velikost jako PROTI. Proto PROTI také lze dobře objednat.

MK může být zaměňována s ZFC druhého řádu, ZFC s logika druhého řádu (představující objekty druhého řádu v množině spíše než v predikátovém jazyce) jako logiku pozadí. Jazyk ZFC druhého řádu je podobný jazyku MK (i když již nelze identifikovat sadu a třídu se stejnou příponou) a jejich syntaktický zdroje pro praktický důkaz jsou téměř identické (a jsou identické, pokud MK obsahuje silnou formu omezení velikosti). Ale sémantika ZFC druhého řádu se zcela liší od MK. Například pokud je MK konzistentní, pak má spočítatelný model prvního řádu, zatímco ZFC druhého řádu nemá žádné spočetné modely.

Teorie modelů

ZFC, NBG a MK mají modely popsatelné z hlediska PROTI, standardní model z ZFC a vesmír von Neumann. Nech nepřístupný kardinál κ být členem PROTI. Také nechte Def (X) označte Δ₀ definovatelný podmnožiny z X (vidět konstruovatelný vesmír ). Pak:

• PROTI_κ je zamýšlený model z ZFC;
• Def (PROTI_κ) je zamýšlený model Mendelsonovy verze NBG který vylučuje globální výběr, nahrazuje omezení velikosti nahrazením a běžnou volbou;
• PROTI_{κ + 1}, napájecí sada z PROTI_κ, je zamýšlený model MK.

Dějiny

MK byl poprvé uveden v roce Wang (1949) a popularizován v příloze J. L. Kelley (1955) Obecná topologiepomocí axiomů uvedených v následující části. Systém Anthonyho Morseho (1965) Teorie množin je ekvivalentní Kelleyho, ale je formulován spíše v idiosynkratickém formálním jazyce než ve standardu logika prvního řádu. První teorie množin, která se má zahrnout předběžný třídní porozumění bylo Quine ML, který stavěl na Nové základy spíše než dál ZFC.^[2] Nepředvídatelné třídní porozumění bylo také navrženo v Mostowski (1951) a Lewis (1991).

Axiomy v Kelleyho Obecná topologie

Axiomy a definice v této části jsou, ale pro několik nepodstatných podrobností převzaty z Dodatku ke Kelleymu (1955). Níže uvedené vysvětlující poznámky nejsou jeho. Příloha uvádí 181 vět a definic a zaručuje pečlivé čtení jako zkrácenou expozici teorie axiomatických množin pracovním matematikem prvního stupně. Kelley představoval své axiomy postupně, podle potřeby k rozvíjení témat uvedených po každé instanci Rozvíjet níže.

Níže uvedené notace, které jsou nyní dobře známé, nejsou definovány. Zvláštnosti Kelleyho notace zahrnují:

• Udělal ne rozlišovat proměnné přesahující třídy od těch přesahujících množiny;
• doména f a rozsah f označují doménu a rozsah funkce F; níže byla tato zvláštnost pečlivě respektována;
• Jeho primitivní logický jazyk zahrnuje třídní souhrny formuláře ${ displaystyle {x: A (x) },}$ "třída všech sad X uspokojující A(X)."

Definice: X je soubor (a tedy není správná třída ) pokud, pro některé y, ${ displaystyle x in y}$.

I. Rozsah: Pro každého X a každý y, x = y jen a jen pokud pro každého z, ${ displaystyle z v x}$ kdy a jen kdy ${ displaystyle z in y.}$

Stejný jako Roztažnost výše. Já by bylo totožné s axiom roztažnosti v ZFC, kromě toho, že rozsah Já zahrnuje správné třídy i sady.

II. Klasifikace (schéma): Výsledkem je axiom

Pro každého ${ displaystyle beta}$, ${ displaystyle beta in { alpha: A }}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle beta}$ je sada a ${ displaystyle B,}$

„α“ a „β“ jsou nahrazeny proměnnými, “ A „podle vzorce Æ a“ B „vzorcem získaným z Æ nahrazením každého výskytu proměnné, která nahradila α, proměnnou, která nahradila β, za předpokladu, že proměnná, která nahradila β, není v A.

Rozvíjet: Boolean algebra množin. Existence nulová třída a univerzální třídy PROTI.

III. Podmnožiny: Li X je množina, existuje množina y takové, že pro každého z, pokud ${ displaystyle z subseteq x}$, pak ${ displaystyle z in y.}$

Dovoz III je to z Napájecí sada výše. Náčrt důkazu o Power Setu z III: pro všechny třída z což je podtřída množiny X, třída z je členem sady y jehož existence III tvrdí. Proto z je sada.

Rozvíjet: PROTI není sada. Existence singletons. Oddělení prokazatelné.

IV. Svaz: Li X a y jsou tedy obě sady ${ displaystyle x cup y}$ je sada.

Dovoz IV je to z Párování výše. Náčrt dokladu o spárování z IV: singleton ${ displaystyle {x }}$ sady X je množina, protože je to podtřída výkonové sady X (dvěma aplikacemi III). Pak IV to naznačuje ${ displaystyle {x, y }}$ je sada, pokud X a y jsou sady.

Rozvíjet: Neuspořádané a objednané páry, vztahy, funkce, doména, rozsah, složení funkce.

V. Střídání: Li F je funkce [třídy] a doména f je tedy sada rozsah f je sada.

Dovoz PROTI je to z axiomové schéma nahrazení v NBG a ZFC.

VI. Sloučení: Li X je tedy sada ${ displaystyle bigcup x}$ je sada.

Dovoz VI je to z svaz výše. IV a VI lze spojit do jednoho axiomu.^[3]

Rozvíjet: kartézský součin, injekce, surjection, bijekce, teorie objednávek.

VII. Pravidelnost: Li ${ displaystyle x neq varnothing}$ existuje člen y z X takhle ${ displaystyle x cap y = varnothing.}$

Dovoz VII je to z Nadace výše.

Rozvíjet: Řadové číslovky, transfinitní indukce.

VIII. Nekonečno: Existuje sada y, takový, že ${ displaystyle varnothing y$ a ${ displaystyle x cup {x } v y}$ kdykoli ${ displaystyle x v y.}$

Tento axiom nebo jeho ekvivalenty jsou zahrnuty v ZFC a NBG. VIII tvrdí bezpodmínečnou existenci dvou sad, nekonečný indukční sada ya nulová množina ${ displaystyle varnothing.}$ ${ displaystyle varnothing}$ je množina jednoduše proto, že je členem y. Až do tohoto okamžiku je vše, co se dokázalo, že existuje, třídou a Kelleyova diskuse o sadách byla zcela hypotetická.

Rozvíjet: Přirozená čísla, N je sada, Peanoovy axiomy, celá čísla, racionální čísla, reálná čísla.

Definice: C je funkce volby -li C je funkce a ${ displaystyle c (x) v x}$ pro každého člena X z doména c.

IX. Výběr: Existuje funkce výběru C jehož doména je ${ displaystyle V - { varnothing }.}$.

IX je velmi podobný axiom globální volby odvozitelné od Omezení velikosti výše.

Rozvíjet: Ekvivalenty axiomu volby. Stejně jako v případě ZFC, vývoj základní čísla vyžaduje určitou formu volby.

Pokud je rozsah všech kvantifikovaných proměnných ve výše uvedených axiomech omezen na množiny, všechny axiomy kromě III a schéma IV jsou ZFC axiomy. IV je prokazatelné v ZFC. Proto Kelleyova léčba MK jasně ukazuje, že vše, co odlišuje MK od ZFC jsou proměnné sahající přes správné třídy stejně jako sady a klasifikační schéma.

Poznámky

Reference

• John L. Kelley 1975 (1955) Obecná topologie. Springer. Dříve ed., Van Nostrand. Dodatek „Teorie elementárních množin“.
• Lemmon, E. J. (1986) Úvod do teorie axiomatické množiny. Routledge a Kegan Paul.
• David K. Lewis (1991) Části tříd. Oxford: Basil Blackwell.
• Mendelson, Elliott (1997). Úvod do matematické logiky. Chapman & Hall. ISBN  0-534-06624-0. Definitivní zpracování úzce související teorie množin NBG, následovaná stránkou na MK. Těžší než mnich nebo Rubin.
• Monk, J. Donald (1980) Úvod do teorie množin. Krieger. Snadnější a méně důkladné než Rubin.
• Morse, A. P., (1965) Teorie množin. Akademický tisk.
• Mostowski, Andrzej (1950), „Některé nedefinovatelné definice v teorii axiomatických množin“ (PDF), Fundamenta Mathematicae, 37: 111–124, doi:10,4064 / fm-37-1-111-124.
• Rubin, Jean E. (1967) Teorie množin pro matematika. San Francisco: Holden Day. Důkladnější než Monk; ontologie zahrnuje prvky.
• Wang, Hao (1949), „K Zermelovým a von Neumannovým axiomům pro teorii množin“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 35: 150–155, doi:10.1073 / pnas.35.3.150, JSTOR  88430, PAN  0029850, PMC  1062986, PMID  16588874.

externí odkazy

• Stažení Obecná topologie (1955) John L. Kelley v různých formátech. Příloha obsahuje Kelleyho axiomatický vývoj MK.

Z diskusní skupiny Foundations of Mathematics (FOM):

• Allen Hazen na teorii množin s třídami.
• Pochybnosti Josepha Shoenfielda o MK.