Predikát (matematická logika) - Predicate (mathematical logic)
v matematická logika, a predikát je formalizace matematického konceptu prohlášení. A prohlášení se běžně chápe jako tvrzení, které může být skutečný nebo Nepravdivé, v závislosti na hodnotách proměnné které se v něm vyskytují. A predikát je dobře formulovaný vzorec které lze vyhodnotit na skutečný nebo Nepravdivé ve funkci hodnot proměnných, které se v něm vyskytují. Lze jej tedy považovat za Funkce s booleovskou hodnotou.
Predikát se skládá z atomové vzorce spojeno s logické spojky. An atomový vzorec je dobře formulovaný vzorec nějaké matematické teorie. Hlavní logické spojky jsou negace (ne nebo ¬), logická spojka (a nebo ∧), logická disjunkce (nebo nebo ∨), existenční kvantifikace (∃) a univerzální kvantifikace (∀); predikáty vždy pravda (označeno skutečný nebo ⊤) a vždy nepravdivé (označeno Nepravdivé nebo ⊥) jsou běžně považovány také za logická spojovací zařízení.
Predikát, který žádné neobsahuje kvantifikátor (∃ nebo ∀), se nazývá a výrokový vzorec. Predikát, jako jsou všechny kvantifikátory, se vztahuje na jednotlivé prvky, nikoli na množiny nebo predikáty se nazývá a predikát prvního řádu.
Zjednodušený přehled
Neformálně predikát, často označovaný kapitálem římská písmena jako , a ,[1] je prohlášení, které může být pravdivé nebo nepravdivé v závislosti na hodnotách jeho proměnných.[2] Lze jej považovat za operátor nebo funkci, která vrací hodnotu, která je buď true, nebo false v závislosti na jejím vstupu.[3][4] Například predikáty se někdy používají k označení členství v sadě: když mluvíme o sadách, je někdy nepohodlné nebo nemožné popsat sadu uvedením všech jejích prvků. Tedy predikát P (x) bude pravda nebo nepravda, podle toho, zda X patří do sady nebo ne.
Predikát může být propozicí, pokud je zástupný symbol x definován doménou nebo výběrem.
Predikáty se také běžně používají k mluvení o vlastnosti objektů definováním množiny všech objektů, které mají nějakou společnou vlastnost. Například když P je predikát X, dalo by se někdy říci P je vlastnictví z X. Podobně i notace P(X) se používá k označení věty nebo výroku P týkající se proměnného objektu x. Sada definovaná P(X), také nazývaný přípona[5] z P, je psáno jako {X | P(X)}, a je množina objektů, pro které P je pravda.
Například, {X | X je kladné celé číslo menší než 4} je množina {1,2,3}.
Li t je prvkem množiny {X | P(X)}, pak prohlášení P(t) je skutečný.
Tady, P(X) se označuje jako predikát, a X the zástupný symbol z tvrzení. Někdy, P(X) se také nazývá (šablona v roli) výroková funkce, jako každá volba zástupného symbolu X vytváří návrh.
Jednoduchá forma predikátu je a Booleovský výraz, v takovém případě jsou vstupy do výrazu samy booleovské hodnoty kombinované pomocí booleovských operací. Podobně je logický výraz se vstupními predikáty komplexnějším predikátem.
Formální definice
Přesná sémantická interpretace atomový vzorec a atomová věta se bude lišit od teorie k teorii.
- v výroková logika, nazývají se atomové vzorce výrokové proměnné.[6] V jistém smyslu se jedná o nullary (tj. 0-arity ) predikáty.
- v logika prvního řádu, atomový vzorec se skládá z a predikátový symbol aplikován na odpovídající počet podmínek.
- v teorie množin se rozumí predikáty charakteristické funkce nebo nastavit funkce indikátorů (tj., funkce ze sady prvků do a pravdivostní hodnota ). Set-builder notace využívá predikáty k definování množin.
- v autoepistemická logika, který odmítá zákon vyloučeného prostředku, predikáty mohou být pravdivé, nepravdivé nebo jednoduše neznámý. Zejména může být daná sbírka faktů nedostatečná k určení pravdivosti nebo lži predikátu.
- v fuzzy logika, predikáty jsou charakteristické funkce a rozdělení pravděpodobnosti. To znamená, že přísné pravdivé / nepravdivé ocenění predikátu je nahrazeno veličinou interpretovanou jako stupeň pravdy.
Viz také
- Klasifikace topos
- Volné proměnné a vázané proměnné
- Vícestupňový predikát
- Neprůhledný predikát
- Logika funktoru predikátu
- Proměnná predikátu
- Nositel pravdy
- Dobře formulovaný vzorec
Reference
- ^ "Úplný seznam logických symbolů". Matematický trezor. 2020-04-06. Citováno 2020-08-20.
- ^ Cunningham, Daniel W. (2012). Logický úvod k důkazu. New York: Springer. str. 29. ISBN 9781461436317.
- ^ Haas, Guy M. „Co když? (Predikáty)“. Úvod do počítačového programování. Berkeley Foundation for Opportunities in IT (BFOIT). Archivovány od originál dne 13. srpna 2016. Citováno 20. července 2013.
- ^ "Matematika | Predikáty a kvantifikátory | Sada 1". GeeksforGeeks. 2015-06-24. Citováno 2020-08-20.
- ^ „Predicate Logic | Brilliant Math & Science Wiki“. brilliant.org. Citováno 2020-08-20.
- ^ Lavrov, Igor Andreevich; Maksimova, Larisa (2003). Problémy v teorii množin, matematické logice a teorii algoritmů. New York: Springer. str. 52. ISBN 0306477122.