Schéma axiomu - Axiom schema

v matematická logika, an schéma axiomu (množný: schémata axiomu nebo schémata axiomu) zobecňuje pojem axiom.

Formální definice

Schéma axiomu je a vzorec v metajazyk z axiomatický systém, ve kterém jeden nebo více schematické proměnné objevit. Tyto proměnné, které jsou metalingvistickými konstrukty, představují jakoukoli období nebo podformule systému, který může nebo nemusí být vyžadován pro splnění určitých podmínek. Takové podmínky často vyžadují, aby byly určité proměnné volný, uvolnit nebo že určité proměnné se v podformulích nebo výrazech neobjevují^{[Citace je zapotřebí ]}.

Konečná axiomatizace

Vzhledem k tomu, že počet možných podformulí nebo výrazů, které lze vložit namísto schematické proměnné, je počítatelně nekonečný, schéma axiomu znamená nespočetně nekonečnou množinu axiomů. Tato sada obvykle může být definováno rekurzivně. Teorie, kterou lze axiomatizovat bez schémat, se říká konečně axiomatizovaný. Teorie, které lze konečně axiomatizovat, jsou považovány za metamathematicky elegantnější, i když jsou pro deduktivní práci méně praktické.^{[Citace je zapotřebí ]}

Příklady

Dvě velmi známé instance schémat axiomu jsou:

• indukce schéma, které je součástí Peanoovy axiomy pro aritmetiku přirozená čísla;
• axiomové schéma nahrazení to je součást standardu ZFC axiomatizace teorie množin.

Czesław Ryll-Nardzewski dokázal, že Peanoovu aritmetiku nelze definitivně axiomatizovat a Richard Montague dokázal, že ZFC nelze definitivně axiomatizovat.^[1] Schémata axiomu tedy nelze z těchto teorií vyloučit. To je případ i několika dalších axiomatických teorií v matematice, filozofii, lingvistice atd.

Konečně axiomatizované teorie

Všechny věty o ZFC jsou také věty o von Neumann – Bernays – Gödel teorie množin, ale ten může být definitivně axiomatizován. Teorie množin Nové základy lze konečně axiomatizovat, ale jen s určitou ztrátou elegance.

V logice vyššího řádu

Schematické proměnné v logika prvního řádu jsou obvykle triviálně odstranitelné v logika druhého řádu, protože schematická proměnná je často zástupným symbolem pro libovolnou vlastnictví nebo vztah nad jednotlivci teorie. To je případ schémat Indukce a Výměna, nahrazení zmíněno výše. Logika vyššího řádu umožňuje kvantifikovaným proměnným dosahovat přes všechny možné vlastnosti nebo vztahy.

Viz také

• Axiomové schéma predikativní separace
• Axiomové schéma nahrazení
• Axiomové schéma specifikace

Poznámky

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• Corcoran, Johne (2006), „Schémata: Koncept schématu v historii logiky“, Bulletin of Symbolic Logic, 12: 219–240.
• Corcoran, John (2016). "Schéma". v Zalta, Edward N. (vyd.). Stanfordská encyklopedie filozofie.
• Mendelson, Elliott (1997), Úvod do matematické logiky (4. vydání), Chapman & Hall, ISBN  0-412-80830-7.
• Montague, Richard (1961), „Sémantická uzávěrka a neurčitá axiomatizovatelnost I“, Samuel R. Buss (ed.), Infinitistické metody: sborník ze sympozia o základech matematiky, Pergamon Press, str. 45–69.
• Potter, Michael (2004), Teorie množin a její filozofie, Oxford University Press, ISBN  9780199269730.
• Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), „Role indukčního axiomu v elementární aritmetice“ (PDF), Fundamenta Mathematicae, 39: 239–263.