v teorie množin , pobočka matematika , a soubor A je nazýván tranzitivní pokud platí některá z následujících rovnocenných podmínek:
Podobně, a třída M je tranzitivní, pokud každý prvek M je podmnožinou M .
Příklady Pomocí definice řadové číslovky navrhl John von Neumann , pořadová čísla jsou definována jako dědičně přechodné množiny: pořadové číslo je přechodná množina, jejíž členy jsou také přechodné (a tedy řadové). Třída všech ordinálů je tranzitivní třídou.
Kterákoli z fází PROTI α a L α vedoucí k výstavbě vesmír von Neumann PROTI a Gödelův konstruovatelný vesmír L jsou tranzitivní množiny. The vesmíry L a PROTI samy o sobě jsou tranzitivní třídy.
Toto je kompletní seznam všech konečných tranzitivních sad s až 20 závorkami:[1]
{ } , { displaystyle {},} { { } } , { displaystyle { {} },} { { } , { { } } } , { displaystyle { {}, { {} } },} { { } , { { } } , { { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } } },} { { } , { { } } , { { } , { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { {}, { {} } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } } } ,} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { {} }, { { { } } } } },} { { } , { { } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {}, { {} } } }, { {}, { {} } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { {}, { {} } }, { {}, { {} , { {} } } } },} { { } , { { } } , { { } , { { } } } , { { { } } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { {}, { {} } }, { { {} }, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { {}, { {} } } },} { { } , { { } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { {}, { {} } }, { {}, { {} }, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { { { { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { {}, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { {}, { {} } } }, { {}, { {} } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } }, { {}, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { {}, { { { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } }, { {}, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } }, { { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { } } , { { { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { { {} }, { { { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { {}, { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { } , { { { } } } } } , { { } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { {}, { { {} } } } }, { {}, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { { } } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } }, { { {} }, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } }, { {}, { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } , { { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { { {} } } }, { { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { { } } } , { { { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { { { {} } }, { { { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { } } , { { { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { {}, { {} }, { { { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { { { } } } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } }, { { { {} } }, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } }, { {}, { {} }, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } , { { } , { { } , { { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { { {} } } }, { {}, { {}, { { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { { {} } } }, { {}, { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { { } , { { } } } } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { { {}, { {} } } } }, { { {}, { {} } } }, { {}, { {} } } },} { { } , { { } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {}, { {} } } }, { {}, { {} } }, { {}, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { { } } } , { { { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { {}, { { {} } }, { { { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } , { { { } } } } } , { { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} }, { { {} } } } }, { { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { { } } } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { {} } }, { {}, { { {} } }, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { } , { { { } } } } , { { { } } , { { } , { { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { {}, { { {} } } }, { { {} }, { {}, { { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { } } , { { { } } } } , { { } , { { } } , { { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { {} }, { { { } } } }, { {}, { {} }, { { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { { } , { { } } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {}, { {} } } }, { {}, { {} } }, { {}, { { {}, { {} } } } } },} { { } , { { } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } , { { { } } , { { } , { { } } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {}, { {} } } }, { {}, { {} } }, { { {} }, { {}, { {} } } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { { { } } } } } , { { } , { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { { { { {} } } } }, { {}, { {} } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { { } , { { } } } } , { { } , { { } } } } , { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { { {}, { {} } } }, { {}, { {} } } },} { { } , { { } } , { { { } } } , { { { { } } } } , { { } , { { } } } , { { } , { { { } } } } } . { displaystyle { {}, { {} }, { { {} } }, { { { {} } } }, { {}, { {} } }, { {}, { { {} } } } }.} Vlastnosti Sada X je tranzitivní právě tehdy ⋃ X ⊆ X { textstyle bigcup X subseteq X} , kde ⋃ X { textstyle bigcup X} je unie všech prvků X to jsou sady, ⋃ X = { y ∣ ∃ X ∈ X : y ∈ X } { textstyle bigcup X = {y mid existuje x v X: y v x }} .
Li X je tedy tranzitivní ⋃ X { textstyle bigcup X} je tranzitivní. Li X a Y jsou tedy tranzitivní X ∪Y ∪{X ,Y } je tranzitivní. Obecně, pokud X je třída, jejíž prvky jsou tedy tranzitivní množiny X ∪ ⋃ X { textstyle X cup bigcup X} je tranzitivní.
Sada X který neobsahuje urelementy, je tranzitivní právě tehdy, pokud jde o jeho vlastní podmnožinu napájecí sada , X ⊆ P ( X ) . { textstyle X subseteq { mathcal {P}} (X).} Sada výkonů tranzitivní sady bez prvků je tranzitivní.
Přechodné uzavření The přechodné uzavření sady X je nejmenší (s ohledem na zařazení) tranzitivní sada, která obsahuje X . Předpokládejme, že jeden dostane sadu X , pak přechodné uzavření X je
TC ( X ) = ⋃ { X , ⋃ X , ⋃ ⋃ X , ⋃ ⋃ ⋃ X , ⋃ ⋃ ⋃ ⋃ X , … } . { displaystyle operatorname {TC} (X) = bigcup left {X, ; bigcup X, ; bigcup bigcup X, ; bigcup bigcup bigcup X, ; bigcup bigcup bigcup bigcup X, ldots right }.} Důkaz. Označit X 0 = X { textstyle X_ {0} = X} a X n + 1 = ⋃ X n { textstyle X_ {n + 1} = bigcup X_ {n}} . Pak tvrdíme, že soubor
T = TC ( X ) = ⋃ n = 0 ∞ X n { displaystyle T = operatorname {TC} (X) = bigcup _ {n = 0} ^ { infty} X_ {n}} je tranzitivní a kdykoli T 1 { textstyle T_ {1}} je tranzitivní sada obsahující X { textstyle X} pak T ⊆ T 1 { textstyle T subseteq T_ {1}} .
Převzít y ∈ X ∈ T { textový styl y v x v T} . Pak X ∈ X n { textstyle x v X_ {n}} pro některé n { textstyle n} a tak y ∈ ⋃ X n = X n + 1 { textstyle y in bigcup X_ {n} = X_ {n + 1}} . Od té doby X n + 1 ⊆ T { textstyle X_ {n + 1} subseteq T} , y ∈ T { textový styl v T} . Tím pádem T { textstyle T} je tranzitivní.
Tak teď T 1 { textstyle T_ {1}} být jako výše. Dokazujeme to indukcí X n ⊆ T 1 { textstyle X_ {n} subseteq T_ {1}} pro všechny n { displaystyle n} , což dokazuje T ⊆ T 1 { textstyle T subseteq T_ {1}} : Základní případ platí od X 0 = X ⊆ T 1 { textstyle X_ {0} = X subseteq T_ {1}} . Nyní předpokládejme X n ⊆ T 1 { textstyle X_ {n} subseteq T_ {1}} . Pak X n + 1 = ⋃ X n ⊆ ⋃ T 1 { textstyle X_ {n + 1} = bigcup X_ {n} subseteq bigcup T_ {1}} . Ale T 1 { textstyle T_ {1}} je tranzitivní, takže ⋃ T 1 ⊆ T 1 { textstyle bigcup T_ {1} subseteq T_ {1}} odkud X n + 1 ⊆ T 1 { textstyle X_ {n + 1} subseteq T_ {1}} . Tím je důkaz dokončen.
Všimněte si, že toto je sada všech souvisejících objektů X podle přechodné uzavření členského vztahu, protože svazek množiny lze vyjádřit pomocí relativní produkt členského vztahu sama se sebou.
Tranzitivní modely teorie množin Transitivní třídy se často používají pro konstrukci interpretace teorie množin sama o sobě, obvykle nazývaná vnitřní modely . Důvodem je, že vlastnosti definované omezené vzorce jsou absolutní pro tranzitivní třídy.
Přechodná množina (nebo třída), která je modelem a formální systém teorie množin se nazývá a tranzitivní model systému (za předpokladu, že prvkový vztah modelu je omezením vztahu skutečných prvků k vesmíru modelu). Transitivita je důležitým faktorem při určování absolutnosti vzorců.
V nadstavbovém přístupu k nestandardní analýza , nestandardní vesmíry uspokojují silnou tranzitivitu.[je zapotřebí objasnění ] [2]
Viz také Reference Ciesielski, Krzysztof (1997), Teorie množin pro pracujícího matematika , London Mathematical Society Student Texts, 39 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-59441-3 , Zbl 0938.03067 Goldblatt, Robert (1998), Přednášky o hyperrealech. Úvod do nestandardní analýzy , Postgraduální texty z matematiky , 188 , New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98464-X , Zbl 0911.03032 Jech, Thomas (2008) [původně publikováno v roce 1973], Axiom výběru , Dover Publications , ISBN 0-486-46624-8 , Zbl 0259.02051 externí odkazy